Wat is puntsgewijze convergentie?

Voorbeeld 10.2

Op $\intcc{0}{1}$ convergeert $f_n(x) = x^n$ puntsgewijs naar de discontinue limiet $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$; de convergentie is niet uniform: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$. Op $\intcc{0}{a}$ met $a < 1$ is zij wel uniform ($\sup = a^n \to 0$): uniformiteit is evenzeer een eigenschap van het domein als van de rij.

Voorbeeld 10.3 (Twee limieten die weigeren te commuteren)

Het hele hoofdstuk gaat over het verwisselen van limieten, dus hier is het kleinst mogelijke falen. Zij $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ voor $n, m \geq 1$. Dan is

beide herhaalde limieten bestaan en zij verschillen. Elke overdrachtsstelling van dit hoofdstuk is een vergunning om twee limieten te verwisselen — $\lim_n$ met $\lim_{x\to a}$ (continuïteit), met $\int$ (integratie), met $\frac{\dd}{\dd x}$ (differentiatie) — en de uniforme convergentie is precies het tarief dat de verwisseling legaal maakt. Het inzicht om te onthouden: zodra een “bewijs” stilzwijgend twee limietbewerkingen omwisselt, is dit tweeregelige rooster het tegenvoorbeeld dat men ertegenover moet zetten; de glijdende bulten van Oefening 10.2 zijn hetzelfde verschijnsel in het kostuum van een integraal.

Voorbeeld 10.5 (Uniformiteit faalt precies waar de limiet breekt)

Zij op $\intcc{0}{2}$ de rij $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$. De puntsgewijze limiet is een functie in drie stukken:

discontinu in $1$, dus kan de convergentie volgens Stelling 10.4 op $\intcc{0}{2}$ niet uniform zijn. Op de gesloten stukken die de drempel vermijden is zij dat wel: voor $0 \leq x \leq a < 1$ is

en voor $1 < b \leq x \leq 2$ is

beide suprema berekend met de monotonie van $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ en van $x \mapsto x^n$. Het inzicht om te onthouden: het falen van de uniformiteit is gelokaliseerd bij de discontinuïteit van de limiet — dezelfde meetkunde als in Voorbeeld 10.2, en de reden dat de discipline “uniform op elk segment binnenin” het hele hoofdstuk terugkeert.