O que é convergência pontual?

Exemplo 10.2

Em $\intcc{0}{1}$, $f_n(x) = x^n$ converge pontualmente para o limite descontínuo $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$; a convergência não é uniforme: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$. Em $\intcc{0}{a}$ com $a < 1$ ela é uniforme ($\sup = a^n \to 0$): a uniformidade é uma propriedade do domínio tanto quanto da sequência.

Exemplo 10.3 (Dois limites que se recusam a comutar)

O capítulo inteiro trata de trocar limites, então eis o menor fracasso possível. Seja $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ para $n, m \geq 1$. Então

os dois limites iterados existem e diferem. Todo teorema de transferência deste capítulo é uma licença para comutar dois limites — $\lim_n$ com $\lim_{x\to a}$ (continuidade), com $\int$ (integração), com $\frac{\dd}{\dd x}$ (derivação) — e a convergência uniforme é precisamente a taxa que torna a comutação legal. Lição final: sempre que uma “demonstração” troca silenciosamente duas operações de limite, este quadro de duas linhas é o contraexemplo a levantar contra ela; as corcovas deslizantes do Exercício 10.2 são o mesmo fenômeno vestido de sinal de integral.

Exemplo 10.5 (A uniformidade falha exatamente onde o limite quebra)

Em $\intcc{0}{2}$, seja $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$. O limite pontual é uma função de três peças:

descontínua em $1$, de modo que, pelo Teorema 10.4, a convergência não pode ser uniforme em $\intcc{0}{2}$. Nas peças fechadas que evitam o limiar ela é: para $0 \leq x \leq a < 1$,

e para $1 < b \leq x \leq 2$,

os dois supremos calculados pela monotonicidade de $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ e de $x \mapsto x^n$. Lição final: o fracasso da uniformidade está localizado na descontinuidade do limite — a mesma geometria do Exemplo 10.2, e a razão pela qual a disciplina do “uniforme em todo segmento interior” volta o capítulo inteiro.