Qu'est-ce que « convergence simple » ?

Exemple 10.2

Sur $\intcc{0}{1}$, $f_n(x) = x^n$ converge simplement vers la limite discontinue $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ ; la convergence n’est pas uniforme : $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$. Sur $\intcc{0}{a}$ avec $a < 1$ elle l’est ($\sup = a^n \to 0$) : l’uniformité est une propriété du domaine autant que de la suite.

Exemple 10.3 (Deux limites qui refusent de commuter)

Tout le chapitre porte sur l’interversion de limites, voici donc le plus petit échec possible. Posons $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ pour $n, m \geq 1$. Alors

les deux limites itérées existent et diffèrent. Chaque théorème de transfert de ce chapitre est un permis d’intervertir deux limites — $\lim_n$ avec $\lim_{x\to a}$ (continuité), avec $\int$ (intégration), avec $\frac{\dd}{\dd x}$ (dérivation) — et la convergence uniforme est précisément le prix qui rend l’interversion licite. Éclairage final : chaque fois qu’une « démonstration » échange silencieusement deux opérations de limite, ce tableau de deux lignes est le contre-exemple à lui opposer ; les bosses glissantes de l’Exercice 10.2 sont le même phénomène affublé d’un signe intégral.

Exemple 10.5 (L’uniformité échoue exactement là où la limite se brise)

Sur $\intcc{0}{2}$, posons $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$. La limite simple est une fonction en trois morceaux :

discontinue en $1$, donc d’après le Théorème 10.4 la convergence ne peut être uniforme sur $\intcc{0}{2}$. Sur les morceaux fermés évitant le seuil elle l’est : pour $0 \leq x \leq a < 1$,

et pour $1 < b \leq x \leq 2$,

les deux suprema étant calculés par monotonie de $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ et de $x \mapsto x^n$. Éclairage final : l’échec de l’uniformité est localisé à la discontinuité de la limite — la même géométrie que l’Exemple 10.2, et la raison pour laquelle la discipline « uniforme sur tout segment intérieur » revient tout au long du chapitre.