बिंदुवार अभिसरण क्या है? — गणित

परिभाषा 10.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 10 — फलनों के अनुक्रम और श्रेणियाँ

मान लीजिए $f_n, f \colon X \to \R$ (अथवा $\C$ , या कोई मानदंडित समष्टि), और $X$ कोई समुच्चय। $(f_n)$ $f$ पर बिंदुवार अभिसरित होता है जब प्रत्येक $x$ के लिए $f_n(x) \to f(x)$ हो; और एकसमान रूप से तब जब

\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .

एकसमान से बिंदुवार निकलता है; और $C(\intcc{a}{b})$ पर एकसमान अभिसरण ठीक अध्याय 5 की बानाख समष्टि $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ में अभिसरण है।

[0, 1] पर अनुक्रम xn: आलेख 0 की ओर झुकते जाते हैं पर सबको x = 1 पर 1 तक चढ़ना ही पड़ता है — और असंतत बिंदुवार सीमा से उच्चतम दूरी कभी किसी अचर से नीचे नहीं सिकुड़ती। — $\intcc{0}{1}$ पर अनुक्रम $x^n$ : आलेख $0$ की ओर झुकते जाते हैं पर सबको $x = 1$ पर $1$ तक चढ़ना ही पड़ता है — और असंतत बिंदुवार सीमा से उच्चतम दूरी कभी किसी अचर से नीचे नहीं सिकुड़ती।

उदाहरण

उदाहरण 10.2

$\intcc{0}{1}$ पर $f_n(x) = x^n$ असंतत सीमा $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ पर बिंदुवार अभिसरित होता है; और यह अभिसरण एकसमान नहीं है: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$ । जबकि $a < 1$ वाले $\intcc{0}{a}$ पर वह एकसमान है ( $\sup = a^n \to 0$ ): अर्थात् एकसमानता जितनी अनुक्रम का गुणधर्म है उतनी ही प्रांत का भी।

उदाहरण 10.3 (दो सीमाएँ जो क्रम बदलने से इनकार करती हैं)

पूरा अध्याय सीमाओं की अदला-बदली के बारे में है, अतः यह रही सबसे छोटी संभव विफलता। $n, m \geq 1$ के लिए $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ लीजिए। तब

\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{m\to\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :

दोनों क्रमिक सीमाएँ विद्यमान हैं और वे भिन्न हैं। इस अध्याय की हर स्थानांतरण प्रमेय दो सीमाओं की अदला-बदली का लाइसेंस है — $\lim_n$ के साथ $\lim_{x\to a}$ (संततता), $\int$ (समाकलन), $\frac{\dd}{\dd x}$ (अवकलन) — और एकसमान अभिसरण ठीक वह शुल्क है जो इस अदला-बदली को क़ानूनी बना देता है। समापन दृष्टि: जब भी कोई “उपपत्ति” चुपचाप दो सीमा-संक्रियाएँ आपस में बदल दे, तब उसके सामने रखने के लिए यही दो-पंक्ति की सारणी प्रतिउदाहरण है; और अभ्यास 10.2 के सरकते उभार वही परिघटना हैं, बस समाकल-चिह्न पहने हुए।

उदाहरण 10.5 (एकसमानता ठीक वहीं विफल होती है जहाँ सीमा टूटती है)

$\intcc{0}{2}$ पर $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ लीजिए। बिंदुवार सीमा तीन टुकड़ों वाला फलन है:

f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt] \tfrac12 & x = 1,\\[2pt] 1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}

जो $1$ पर असंतत है, अतः प्रमेय 10.4 के अनुसार अभिसरण $\intcc{0}{2}$ पर एकसमान हो ही नहीं सकता। परंतु देहली से बचने वाले संवृत टुकड़ों पर वह एकसमान है: $0 \leq x \leq a < 1$ के लिए

\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0} = \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,

और $1 < b \leq x \leq 2$ के लिए

\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1} = \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,

जिनके दोनों उच्चतम $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ तथा $x \mapsto x^n$ की एकदिष्टता से परिकलित हुए। समापन दृष्टि: एकसमानता की विफलता सीमा की असंततता पर स्थानीयकृत है — वही ज्यामिति जो उदाहरण 10.2 में थी, और यही कारण है कि “भीतर के हर खंड पर एकसमान” वाला अनुशासन पूरे अध्याय में लौटता रहता है।

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