बिंदुवार अभिसरण क्या है?

उदाहरण 10.2

$\intcc{0}{1}$ पर $f_n(x) = x^n$ असंतत सीमा $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ पर बिंदुवार अभिसरित होता है; और यह अभिसरण एकसमान नहीं है: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$। जबकि $a < 1$ वाले $\intcc{0}{a}$ पर वह एकसमान है ($\sup = a^n \to 0$): अर्थात् एकसमानता जितनी अनुक्रम का गुणधर्म है उतनी ही प्रांत का भी।

उदाहरण 10.3 (दो सीमाएँ जो क्रम बदलने से इनकार करती हैं)

पूरा अध्याय सीमाओं की अदला-बदली के बारे में है, अतः यह रही सबसे छोटी संभव विफलता। $n, m \geq 1$ के लिए $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ लीजिए। तब

दोनों क्रमिक सीमाएँ विद्यमान हैं और वे भिन्न हैं। इस अध्याय की हर स्थानांतरण प्रमेय दो सीमाओं की अदला-बदली का लाइसेंस है — $\lim_n$ के साथ $\lim_{x\to a}$ (संततता), $\int$ (समाकलन), $\frac{\dd}{\dd x}$ (अवकलन) — और एकसमान अभिसरण ठीक वह शुल्क है जो इस अदला-बदली को क़ानूनी बना देता है। समापन दृष्टि: जब भी कोई “उपपत्ति” चुपचाप दो सीमा-संक्रियाएँ आपस में बदल दे, तब उसके सामने रखने के लिए यही दो-पंक्ति की सारणी प्रतिउदाहरण है; और अभ्यास 10.2 के सरकते उभार वही परिघटना हैं, बस समाकल-चिह्न पहने हुए।

उदाहरण 10.5 (एकसमानता ठीक वहीं विफल होती है जहाँ सीमा टूटती है)

$\intcc{0}{2}$ पर $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ लीजिए। बिंदुवार सीमा तीन टुकड़ों वाला फलन है:

जो $1$ पर असंतत है, अतः प्रमेय 10.4 के अनुसार अभिसरण $\intcc{0}{2}$ पर एकसमान हो ही नहीं सकता। परंतु देहली से बचने वाले संवृत टुकड़ों पर वह एकसमान है: $0 \leq x \leq a < 1$ के लिए

और $1 < b \leq x \leq 2$ के लिए

जिनके दोनों उच्चतम $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ तथा $x \mapsto x^n$ की एकदिष्टता से परिकलित हुए। समापन दृष्टि: एकसमानता की विफलता सीमा की असंततता पर स्थानीयकृत है — वही ज्यामिति जो उदाहरण 10.2 में थी, और यही कारण है कि “भीतर के हर खंड पर एकसमान” वाला अनुशासन पूरे अध्याय में लौटता रहता है।