¿Qué es convergencia puntual? — Matemáticas

Definición 10.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 10 — Sucesiones y series de funciones

Sean $f_n, f \colon X \to \R$ (o $\C$ , o un espacio normado), con $X$ un conjunto cualquiera. $(f_n)$ converge a $f$ puntualmente cuando $f_n(x) \to f(x)$ para todo $x$ , y uniformemente cuando

\norm{f_n - f}_\infty = \sup_{x \in X}\, \abs{f_n(x) - f(x)} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 .

La convergencia uniforme implica la puntual; y sobre $C(\intcc{a}{b})$ , la convergencia uniforme es exactamente la convergencia en el espacio de Banach $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ del Capítulo 5.

La sucesión xn sobre [0, 1]: las gráficas se hunden hacia 0, pero todas han de trepar hasta 1 en x = 1; la distancia del supremo al límite puntual discontinuo nunca baja de una constante. — La sucesión $x^n$ sobre $\intcc{0}{1}$ : las gráficas se hunden hacia $0$ , pero todas han de trepar hasta $1$ en $x = 1$ ; la distancia del supremo al límite puntual discontinuo nunca baja de una constante.

Ejemplos

Ejemplo 10.2

Sobre $\intcc{0}{1}$ , $f_n(x) = x^n$ converge puntualmente al límite discontinuo $f = \mathbf{1}_{\{1\}}$ ; la convergencia no es uniforme: $\norm{f_n - f}_\infty \geq f_n\bigl(1 - \tfrac1n\bigr) = (1 - \tfrac1n)^n \to \eu^{-1} \neq 0$ . Sobre $\intcc{0}{a}$ con $a < 1$ sí lo es ( $\sup = a^n \to 0$ ): la uniformidad es una propiedad del dominio tanto como de la sucesión.

Ejemplo 10.3 (Dos límites que se niegan a conmutar)

Todo el capítulo trata de intercambiar límites, así que he aquí el fallo más pequeño posible. Sea $a_{n,m} = \dfrac{n}{n+m}$ para $n, m \geq 1$ . Entonces

\lim_{m\to\infty}\Bigl(\lim_{n\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{m\to\infty} 1 = 1, \qquad \lim_{n\to\infty}\Bigl(\lim_{m\to\infty}a_{n,m}\Bigr) = \lim_{n\to\infty} 0 = 0 :

ambos límites iterados existen y son distintos. Todo teorema de transferencia de este capítulo es una licencia para conmutar dos límites — $\lim_n$ con $\lim_{x\to a}$ (continuidad), con $\int$ (integración), con $\frac{\dd}{\dd x}$ (derivación)—, y la convergencia uniforme es precisamente el peaje que legaliza la conmutación. Moraleja: siempre que una “demostración” intercambie en silencio dos operaciones de paso al límite, este cuadro de dos líneas es el contraejemplo que conviene oponerle; las jorobas deslizantes del Ejercicio 10.2 son el mismo fenómeno vestido con un signo integral.

Ejemplo 10.5 (La uniformidad falla justo donde se rompe el límite)

Sobre $\intcc{0}{2}$ , sea $f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^n}$ . El límite puntual es una función de tres piezas:

f(x) = \begin{cases} 0 & 0 \leq x < 1,\\[2pt] \tfrac12 & x = 1,\\[2pt] 1 & 1 < x \leq 2, \end{cases}

discontinua en $1$ , de modo que por el Teorema 10.4 la convergencia no puede ser uniforme sobre $\intcc{0}{2}$ . Sobre las piezas cerradas que evitan el umbral sí lo es: para $0 \leq x \leq a < 1$ ,

\sup_{\intcc{0}{a}}\abs{f_n - 0} = \frac{a^n}{1 + a^n} \leq a^n \to 0 ,

y para $1 < b \leq x \leq 2$ ,

\sup_{\intcc{b}{2}}\abs{f_n - 1} = \frac{1}{1 + b^n} \leq b^{-n} \to 0 ,

ambos supremos calculados por la monotonía de $u \mapsto \frac{u}{1+u}$ y de $x \mapsto x^n$ . Moraleja: el fallo de la uniformidad está localizado en la discontinuidad del límite —la misma geometría que en el Ejemplo 10.2— y es la razón de que la disciplina de “uniforme sobre cada segmento interior” se repita a lo largo de todo el capítulo.

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