ما معنى العدد الأولي؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 64.5 الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · অধ্যায় 64 — الحساب: القواسم والأعداد الأولية

العدد الأولي عدد صحيح $\geq 2$ قواسمه الوحيدة هي $1$ ونفسه. والأعداد الأولية الأصغر من $30$ هي

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

والعدد $1$ ليس أوليًا (باصطلاح)، وكل عدد صحيح $\geq 2$ غير أولي يُسمّى مركّبًا.

شجرة عوامل العدد 360: كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير 5: 360 = 23 × 32 × 5. — شجرة عوامل العدد $360$ : كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير $5$ : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

تعريف 6.12 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · অধ্যায় 6 — حساب الأعداد الصحيحة

العدد الصحيح $p \geq 2$ يكون أوليًا عندما تكون قواسمه الموجبة الوحيدة هي $1$ و $p$ . ومن أجل $p$ أوليّ و $a \in \Z$ : إمّا $p \mid a$ وإمّا $\gcd(p, a) = 1$ . ومنه (المبرهنة 6.8) تصحّ مبرهنة إقليدس المساعدة: إذا كان $p \mid ab$ فإن $p \mid a$ أو $p \mid b$ .

উদাহরণ

مثال 6.24 (عكس مبرهنة فيرما يخفق: العدد $341$ )

تعطي مبرهنة فيرما الصغرى اختبارَ تركيبٍ رخيصًا: فإذا كان $a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod n$ من أجل $a$ ما أوليّ مع $n$ فإن $n$ ليس أوليًا. فهل يمكن للاختبار أن يشهد بالأولية كذلك؟ لا: خذ $n = 341 = 11 \times 31$ ، وهو مركّب، و $a = 2$ . وبما أن $2^{10} = 1024 = 3 \times 341 + 1$ ، يكون

2^{10} \equiv 1 \pmod{341} \qquad\Longrightarrow\qquad 2^{340} = \bigl(2^{10}\bigr)^{34} \equiv 1 \pmod{341} :

فيجتاز العدد المركّب $341$ اختبار فيرما من أجل الأساس $2$ (وهو أصغر شبه أوليّ كهذا). ويكشفه الأساس $3$ (إذ $3^{340} \not\equiv 1$ )، ومنه فاختبار الأولية العملي يُجري الاختبار على عدة أسس، مع تحسينات — والنسخ الصناعية من هذه الفكرة هي التي تشهد بأولية الأعداد الكبيرة في الملاحظة 6.27. والعبرة: أن الاستلزام وعكسه يحيا كلٌّ منهما حياته (الملاحظة 1.10)، حتى في المبرهنات.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←