الرياضيات في المرحلتين الابتدائية والإعدادية · Grades 1–9

64الحساب: القواسم والأعداد الأولية

يدرس الحساب الأعداد الصحيحة وكيف يقسم بعضها بعضًا. وأبطاله الرئيسيون هم الأعداد الأولية، اللبنات التي يُبنى منها كل عدد صحيح بالضرب. وينتهي الفصل عند القاسم المشترك الأكبر، وهو الأداة المناسبة لِاختزال الكسور مرّة واحدة وإلى الأبد. وتتواصل هذه الحكاية، إلى أبعد من ذلك بكثير، في مجلّد الثانوية وما بعده.

64.1 القواسم والمضاعفات

تعريف 64.1 (القاسم، المضاعف)

ليكن $a$ و $b$ عددين صحيحين موجبين. نقول إنّ $b$ يقسم $a$ (أو إنّ $b$ قاسم للعدد $a$ ، أو إنّ $a$ مضاعف للعدد $b$ ) حين يكون $a = b \times k$ من أجل عدد صحيح $k$ — أي حين تترك قسمة $a$ على $b$ الباقي $0$ .

مثال 64.2

قواسم العدد $24$ هي $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — وهي تأتي أزواجًا جداء كلٍّ منها $24$ : $(1,24)$ ، $(2,12)$ ، $(3,8)$ ، $(4,6)$ . ومضاعفات العدد $7$ هي $7, 14, 21, 28, \dots$

قضية 64.3 (قواعد قابلية القسمة)

العدد الصحيح قابل للقسمة:

على $2$ حين يكون رقمه الأخير زوجيًا ( $0, 2, 4, 6, 8$ )؛
على $5$ حين يكون رقمه الأخير $0$ أو $5$ ؛
على $10$ حين يكون رقمه الأخير $0$ ؛
على $3$ (وكذلك $9$ ) حين يكون مجموع أرقامه قابلًا للقسمة على $3$ (وكذلك $9$ )؛
على $4$ حين يشكّل رقماه الأخيران عددًا قابلًا للقسمة على $4$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 64.4

العدد $7\,215$ ينتهي بالرقم $5$ : فهو قابل للقسمة على $5$ . ومجموع أرقامه $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ ، وهو قابل للقسمة على $3$ لا على $9$ : إذن $7\,215$ قابل للقسمة على $3$ لا على $9$ . وبالفعل $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ .

64.2 الأعداد الأولية

تعريف 64.5 (العدد الأولي)

العدد الأولي عدد صحيح $\geq 2$ قواسمه الوحيدة هي $1$ ونفسه. والأعداد الأولية الأصغر من $30$ هي

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

والعدد $1$ ليس أوليًا (باصطلاح)، وكل عدد صحيح $\geq 2$ غير أولي يُسمّى مركّبًا.

مبرهنة 64.6 (التفكيك إلى عوامل أولية)

كل عدد صحيح $\geq 2$ هو جداء أعداد أولية، وهذا التفكيك وحيد إلى حدّ ترتيب العوامل.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

طريقة 64.7 (تفكيك عدد صحيح)

اِقسم على أصغر عدد أولي ممكن، مرارًا وتكرارًا، حتى تصل إلى $1$ :

جرّب $2$ ما دام العدد زوجيًا؛
ثم جرّب $3$ ، ثم $5$ ، ثم $7$ ، … (الأعداد الأولية وحدها)؛
وقف حين يصير خارج القسمة $1$ ؛ واِجمع العوامل مع أُسُسها.

ويكفي أن تجرّب الأعداد الأولية $p$ التي لا يتجاوز $p^2$ العدد الحالي: فإن لم يقسمه أيٌّ منها، كان العدد نفسه أوليًا.

مثال 64.8

فكّك العدد $360$ ، قسمةً قسمة:

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

إذن

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

شجرة عوامل العدد 360: كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير 5: 360 = 23 × 32 × 5. — شجرة عوامل العدد $360$ : كل خطوة تفصل أصغر عامل أولي (بالأحمر). وبقراءة الأوراق الحمراء والعدد الأخير $5$ : $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

مبرهنة 64.9 (إقليدس)

الأعداد الأولية غير منتهية العدد.

برهان. لنفترض أنّها منتهية العدد، ولتكن $p_1, p_2, \dots, p_k$ ، ولنتأمّل العدد

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

قسمة $N$ على أيّ $p_i$ تترك الباقي $1$ ، فلا يقسم أيٌّ من الأعداد $p_i$ العدد $N$ . لكن $N \geq 2$ له قاسم أولي واحد على الأقل (المبرهنة 64.6) — وهو عدد أولي ليس في قائمتنا. وهذا تناقض: فلا قائمة منتهية تسع كل الأعداد الأولية. ∎

64.3 القاسم المشترك الأكبر

تعريف 64.10 (القاسم المشترك الأكبر)

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين موجبين $a$ و $b$ ، ويُكتب $\gcd(a, b)$ ، هو أكبر عدد صحيح يقسمهما معًا. وحين يكون $\gcd(a, b) = 1$ ، يُقال إنّ العددين أوليان فيما بينهما: فلا يشتركان في أيّ قاسم سوى $1$ .

مثال 64.11

قواسم العدد $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . وقواسم العدد $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . والقواسم المشتركة: $1, 2, 3, 6$ ؛ إذن $\gcd(18, 24) = 6$ . والعددان $15$ و $28$ أوليان فيما بينهما.

قضية 64.12 (القاسم المشترك الأكبر من التفكيكين)

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين هو جداء الأعداد الأولية التي تظهر في كلا التفكيكين، مع أخذ الأصغر من أُسّيه في كل مرّة.

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ و $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . والأعداد الأولية المشتركة: $2$ (الأُسّان $3$ و $2$ : نُبقي $2$ ) و $3$ (الأُسّان $2$ و $1$ : نُبقي $1$ ). إذن

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

مبرهنة 64.14 (خوارزمية إقليدس)

إذا كانت $a = bq + r$ قسمة $a$ على $b$ حيث الباقي هو $r$ ، فإنّ

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

وبتكرار القسمات حتى يصير الباقي $0$ ، يكون القاسم المشترك الأكبر للعددين $a$ و $b$ هو آخر باقٍ غير معدوم.

برهان. من $a = bq + r$ : كل عدد صحيح يقسم $b$ و $r$ يقسم $bq + r = a$ ؛ ومن $r = a - bq$ : كل عدد صحيح يقسم $a$ و $b$ يقسم $r$ . إذن للزوجين $(a, b)$ و $(b, r)$ القواسم المشتركة نفسها تمامًا — وبخاصّة أكبرها نفسه. وبما أنّ البواقي تتناقص تناقصًا تامًّا، تنتهي الخوارزمية، ويعطي $\gcd(x, 0) = x$ آخر باقٍ غير معدوم. ∎

مثال 64.15

اِحسب $\gcd(1071, 462)$ :

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

آخر باقٍ غير معدوم هو $21$ : أي $\gcd(1071, 462) = 21$ .

طريقة 64.16 (اِختزال كسر اِختزالًا تامًّا)

لكتابة $\dfrac ab$ على أبسط صورة:

اِحسب $d = \gcd(a, b)$ ، بخوارزمية إقليدس مثلًا؛
واِقسم البسط والمقام على $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ؛
فيكون الكسر الناتج غير قابل للاِختزال: بسطه ومقامه أوليان فيما بينهما.

مثال 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ ، و $\gcd(22, 51) = 1$ : فهو غير قابل للاِختزال.

64.4 تمارين

تمرين 64.1 ★

اُذكر جميع قواسم العدد $36$ ، والعدد $45$ ، والعدد $17$ .

حل

حل التمرين 64.1.

قواسم العدد $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . وقواسم العدد $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . وقواسم العدد $17$ : $1$ و $17$ فقط (فالعدد $17$ أولي).

تمرين 64.2 ★

باِستعمال قواعد قابلية القسمة، حدّد ما إذا كان $2\,346$ قابلًا للقسمة على $2$ ، و $3$ ، و $4$ ، و $5$ ، و $9$ .

حل

حل التمرين 64.2.

العدد $2\,346$ ينتهي بالرقم $6$ : فهو قابل للقسمة على $2$ لا على $5$ . ومجموع أرقامه $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : فهو قابل للقسمة على $3$ لا على $9$ . ورقماه الأخيران $46$ ، و $46 = 4 \times 11 + 2$ ليس قابلًا للقسمة على $4$ : إذن $2\,346$ ليس قابلًا للقسمة على $4$ .

تمرين 64.3 ★

أعطِ التفكيك إلى عوامل أولية للأعداد $72$ و $150$ و $210$ و $121$ .

حل

حل التمرين 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

تمرين 64.4 ★

هل $101$ أولي؟ وهل $91$ ؟ وهل $143$ ؟ برّر باِستعمال قاعدة التوقف في الطريقة 64.7.

حل

حل التمرين 64.4.

$101$ : جرّب الأعداد الأولية $p$ التي $p^2 \leq 101$ ، أي $2, 3, 5, 7$ . فلا يقسم أيٌّ منها $101$ (فهو فردي، ومجموع أرقامه $2$ ، وليس آخره $0/5$ ، و $101 = 7 \times 14 + 3$ ): إذن $101$ أولي.

$91 = 7 \times 13$ : ليس أوليًا.

$143 = 11 \times 13$ : ليس أوليًا.

تمرين 64.5 ★

اِحسب $\gcd(48, 60)$ بطريقتين: بسرد القواسم المشتركة، ثم اِنطلاقًا من التفكيكين إلى عوامل أولية.

حل

حل التمرين 64.5.

القواسم المشتركة للعددين $48$ و $60$ : قواسم 48 هي $1$ ، $2$ ، $3$ ، $4$ ، $6$ ، $8$ ، $12$ ، $16$ ، $24$ ، $48$ ؛ وقواسم العدد $60$ هي $1$ ، $2$ ، $3$ ، $4$ ، $5$ ، $6$ ، $10$ ، $12$ ، $15$ ، $20$ ، $30$ ، $60$ ؛ والمشتركة منها $1$ ، $2$ ، $3$ ، $4$ ، $6$ ، $12$ ، إذن $\gcd(48,60) = 12$ .

وبالتفكيك: $48 = 2^4 \times 3$ و $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ؛ والأعداد الأولية المشتركة مع الأُسُس الأصغر: $2^2 \times 3 = 12$ .

تمرين 64.6 ★★

اِستعمل خوارزمية إقليدس لحساب $\gcd(255, 154)$ ، ثم $\gcd(1053, 325)$ . واُكتب كل سطر من سطور القسمة.

حل

حل التمرين 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

آخر باقٍ غير معدوم: $\gcd(255, 154) = 1$ (فهما أوليان فيما بينهما).

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

تمرين 64.7 ★★

اِجعل الكسر $\dfrac{588}{504}$ غير قابل للاِختزال. (اِحسب القاسم المشترك الأكبر بالطريقة التي تختارها، ثم اِقسم.)

حل

حل التمرين 64.7.

بخوارزمية إقليدس: $588 = 504 \times 1 + 84$ ؛ و $504 = 84 \times 6 + 0$ : أي $\gcd(588, 504) = 84$ . ثم

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

وهو غير قابل للاِختزال.

تمرين 64.8 ★★

لدى بائعة زهور $84$ وردة و $126$ زهرة توليب، وتريد أن تصنع باقات متطابقة تستعمل فيها كل الزهور، وأن يكون عدد الباقات أكبر ما يمكن. كم باقة تستطيع أن تصنع؟ وماذا تحوي كل واحدة؟

حل

حل التمرين 64.8.

عدد الباقات يجب أن يقسم $84$ و $126$ معًا؛ وأكبر قيمة ممكنة هي $\gcd(84, 126)$ . والتفكيكان: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ و $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ ، إذن القاسم المشترك الأكبر هو $2 \times 3 \times 7 = 42$ . فتستطيع أن تصنع $42$ باقة، تحوي كل واحدة $\frac{84}{42} = 2$ وردتين و $\frac{126}{42} = 3$ زهرات توليب.

تمرين 64.9 ★★

تنطلق عبّارتان من الرصيف نفسه في الساعة 8:00. تنطلق إحداهما كل $24$ دقيقة، والأخرى كل $36$ دقيقة. في أيّ ساعة تنطلقان معًا في المرّة التالية؟ (اِبحث عن أصغر مضاعف مشترك للعددين $24$ و $36$ ؛ والتفكيكان يساعدان.)

حل

حل التمرين 64.9.

نحتاج إلى أصغر مضاعف مشترك. و $24 = 2^3 \times 3$ و $36 = 2^2 \times 3^2$ ؛ وبأخذ كل عدد أولي مع الأكبر من أُسّيه: $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$ . فتنطلق العبّارتان معًا في المرّة التالية بعد $72$ دقيقة من الساعة 8:00، أي في الساعة 9:12.

تمرين 64.10 ★★★

ليكن $n$ عددًا صحيحًا موجبًا.

بيّن أنّ $\gcd(n, n+1) = 1$ (العددان الصحيحان المتتاليان أوليان فيما بينهما دائمًا).
واِستنتج أنّ الكسر $\dfrac{n}{n+1}$ غير قابل للاِختزال دائمًا.

حل

حل التمرين 64.10.

1. كل قاسم مشترك $d$ للعددين $n$ و $n+1$ يقسم أيضًا فرقهما $(n+1) - n = 1$ ، إذن $d = 1$ : أي $\gcd(n, n+1) = 1$ .

2. يكون الكسر غير قابل للاِختزال بالضبط حين يكون بسطه ومقامه أوليين فيما بينهما، وهذا ما يقع للعددين $n$ و $n + 1$ حسب الجزء 1.

64.5 مسألة: أباريق الماء، والزيزان، ومئة خزانة

مسألة 64.1

مسألة نهاية الأسبوع — القاسم المشترك الأكبر يقرّر أيّ المقادير يمكن قياسها بإبريقين؛ والأعداد الأولية تحمي الزيزان؛ والخزانات التي تبقى مفتوحة هي المربّعات التامّة

ثلاثة ألغاز تبدو أحاجي وهي في الحقيقة حساب: قياس الماء بأوانٍ بلا تدريج (القاسم المشترك الأكبر متنكّرًا)، ودورات حياة حشرات تطوّرت إلى أعداد أولية، ورواق شهير فيه مئة خزانة تتقرّر حالته النهائية بعدّ القواسم. وكل شيء هنا يشتغل بعُدّة هذا الفصل: قابلية القسمة، والتفكيك إلى عوامل أولية (المبرهنة 64.6)، وخوارزمية إقليدس (المبرهنة 64.14).

الجزء الأول — أباريق الماء. أنت واقف عند نافورة ومعك إبريقان بلا تدريج، سعتهما $5$ لترات و $3$ لترات. والحركات المسموحة: ملء إبريق إلى حافّته، وتفريغ إبريق تفريغًا تامًّا، وصبّ إبريق في الآخر حتى يفرغ المصدر أو يمتلئ الهدف.

قِس $1$ لتر بالضبط. (صِف تسلسل حركاتك ومحتوى الإبريقين بعد كل حركة.)
وقِس $4$ لترات بالضبط — وهو اللغز الوارد في فيلم حركة شهير. (يمكن ذلك في ست حركات.)
وأيّ أعداد صحيحة من اللترات بين $1$ و $8$ تستطيع أن تُظهر (في إبريق واحد، أو موزّعة على الاِثنين)؟ أكمل القائمة معيدًا اِستعمال تسلسلاتك.
وإبريقان جديدان: $6$ لترات و $4$ لترات. حاول قياس $1$ لتر — ثم فسّر لماذا الأمر ميؤوس منه: تحقّق أنّ كل حركة من الحركات الثلاث المسموحة تُبقي محتوى كل إبريق مضاعفًا للعدد $2$ ، فيكون كل مقدار يمكن بلوغه زوجيًا.
وحجّة السؤال 4 تصلح في العموم: بإبريقين سعتهما $a$ و $b$ لترات، يكون كل مقدار يمكن بلوغه مضاعفًا للعدد $\gcd(a, b)$ . اِحسب $\gcd(6, 4)$ و $\gcd(5, 3)$ ، وقل ماذا يتنبّأ به القانون في كل زوج من الأباريق.

الجزء الثاني — إقليدس عند النافورة.

اِحسب بخوارزمية إقليدس: $\gcd(91, 65)$ و $\gcd(2\,026, 46)$ .
وفسّر بكلماتك لماذا تكون المقادير الظاهرة في الأباريق بواقي إقليدس متنكّرة: بإبريقين سعتهما $13$ لترًا و $5$ لترات، اِملأ الإبريق الصغير مرارًا واِصببه في الكبير (مفرّغًا الكبير كلّما اِمتلأ). ما المقادير الجديدة التي تظهر أولًا — وقارنها مع البواقي في خوارزمية إقليدس من أجل $(13, 5)$ .
واِستنتج جواب البطل: بإبريقين سعتهما $13$ و $5$ لترات، هل تستطيع قياس $1$ لتر بالضبط؟ برّر في سطر واحد بالسؤال 5 و $\gcd(13, 5)$ .
وبرهان سريع على الأولية فيما بينهما على غرار التمرين 64.10: بيّن أنّ $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ من أجل كل عدد صحيح موجب $n$ . (ما الذي يجب أن يقسمه قاسم مشترك للعددين $n$ و $2n + 1$ ؟)
وتنطلق حافلتان معًا من المحطّة النهائية في الساعة 7:00؛ تنطلق إحداهما كل $12$ دقيقة، والأخرى كل $18$ . اُذكر أوقات اِنطلاق كل منهما التالية، وجِد أول لحظة تنطلقان فيها معًا من جديد. وتحقّق في هذا المثال من القانون الجميل: (أول مضاعف مشترك) $\times$ $\gcd$ $=$ جداء العددين — ثم اِختبره من جديد على $5$ و $3$ .

الجزء الثالث — الزيزان والقواسم والخزانات.

تخرج بعض زيزان أمريكا الشمالية كل $17$ سنة فقط؛ ولنفترض أنّ عدد حيوان مفترس يبلغ ذروته كل $4$ سنوات. فإذا وقع الأمران هذه السنة، فبعد كم سنة يتصادف الخروج مع الذروة من جديد؟ والسؤال نفسه لو كانت دورة الزيزان $16$ سنة — كل كم تُذبح حينئذ؟ وفسّر في جملة واحدة لماذا دفع التطوّر الدورة إلى طول أولي.
وباِستعمال التفكيك $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ، عُدّ قواسم العدد $360$ من غير أن تسردها: القاسم يختار أُسًّا للعدد $2$ (أربعة اِختيارات: $0, 1, 2, 3$ )، وأُسًّا للعدد $3$ ، وأُسًّا للعدد $5$ . فكم قاسمًا في المجموع؟
وبيّن أنّه في تفكيك مربّع تامّ $n = m^2$ ، يكون كل عدد أولي زوجيّ الأُسّ. واِستنتج، من غير حساب أيّ جذر تربيعي، أنّ $360$ ليس مربّعًا تامًّا.
وقارِن كل قاسم $d$ للعدد $n$ بشريكه $\frac{n}{d}$ (من أجل $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ ، $2 \leftrightarrow 18$ ، $3 \leftrightarrow 12$ ، $4 \leftrightarrow 9$ ، $6 \leftrightarrow 6$ ). متى يكون القاسم شريك نفسه؟ واِستنتج المعيار: يكون للعدد $n$ عدد فردي من القواسم بالضبط حين يكون $n$ مربّعًا تامًّا. وتحقّق من ذلك على $36$ وعلى $360$ .
الخزانات المئة. الخزانات من $1$ إلى $100$ مغلقة في البداية. التلميذ $1$ يقلب حالة كل خزانة؛ والتلميذ $2$ يقلب الخزانات $2, 4, 6, \dots$ ؛ والتلميذ $k$ يقلب مضاعفات $k$ ؛ وهكذا حتى التلميذ $100$ . فسّر أيّ التلاميذ يمسّون الخزانة $n$ ، وكم مرّة تُقلب حالتها، و — باِستعمال السؤال 14 — أيّ الخزانات بالضبط تنتهي مفتوحة. وكم واحدة منها مفتوحة؟

حل

حل المسألة 64.1.

1. اِملأ إبريق $3$ لترات واِصببه في إبريق $5$ لترات (فيصير المحتوى $0/3 \to 3$ في الكبير). ثم اِملأ إبريق $3$ لترات من جديد واِصببه في $5$ حتى يمتلئ: فلا يأخذ الكبير سوى $2$ ، ويبقى

3 - 2 = 1 \text{ لتر في الإبريق الصغير.}

الحركات: اِملأ $3$ ؛ واِصبب $3 \to 5$ ؛ واِملأ $3$ ؛ واِصبب $3 \to 5$ .

2. اِملأ $5$ ؛ واِصبب في $3$ (فيبقى $2$ في الكبير)؛ وفرّغ $3$ ؛ واِصبب $2$ في $3$ ؛ واِملأ $5$ ؛ واِصبب في $3$ حتى يمتلئ — فيأخذ $1$ ، ويبقى $\mathbf{4}$ لترات في الإبريق الكبير. ست حركات.

3. جميعها: $1$ (السؤال 1)، و $2$ (بعد حركتين من السؤال 2)، و $3$ و $5$ (بملء واحد)، و $4$ (السؤال 2)، و $6 = 3 + 3$ (إبريق صغير ممتلئ مع $3$ مصبوبة في الكبير)، و $7 = 5 + 2$ ، و $8 = 5 + 3$ (كلاهما ممتلئ). فكل مقدار صحيح من $1$ إلى $8$ لترات يمكن قياسه بإبريقي $5$ و $3$ لترات.

4. في البداية: يحمل الإبريقان $0$ ، وهو مضاعف للعدد $2$ . والملء يجعل المحتوى $6$ أو $4$ : زوجيًا. والتفريغ يجعله $0$ : زوجيًا. والصبّ ينقل ماءً بين إبريقين كان محتواهما زوجيًا، والكمية المصبوبة فرق عددين زوجيين (السعة الباقية، أو الكمية المتوفّرة): فتبقى كل المحتويات زوجية أبدًا. والهدف الفردي مثل $1$ لتر غير قابل للبلوغ.

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : فالمقادير الزوجية وحدها — وهذا ما أكّده السؤال 4. و $\gcd(5, 3) = 1$ : فكل مقدار صحيح مسموح به في القانون، وقد حقّقها السؤال 3 كلّها. والقاسم المشترك الأكبر هو بالضبط وحدة القياس عند الإبريقين.

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ؛ و $65 = 2 \times 26 + 13$ ؛ و $26 = 2 \times 13 + 0$ : أي $\gcd(91, 65) = 13$ . و $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ؛ و $46 = 23 \times 2 + 0$ : أي $\gcd(2\,026, 46) = 2$ .

7. بصبّ $5$ في إبريق $13$ لترًا مرارًا: بعد ملئين يحمل الكبير $10$ ؛ ولا يستوعب الملء الثالث سوى $3$ ، فيبقى $5 - 3 = 2$ في الإبريق الصغير — وكان باقي قسمة $13$ على $5$ هو $3$ ، والمقداران $3$ (السعة) و $2$ (الفائض) هما بالضبط عددا إقليدس ( $13 = 2 \times 5 + 3$ ، و $5 = 1 \times 3 + 2$ ). وبالمواصلة يظهر $3 - 2 = 1$ : وهو الباقي التالي في الخوارزمية. فالنافورة تُجري قسمات إقليدس بالماء.

8. $\gcd(13, 5) = 1$ ، إذن يسمح قانون السؤال 5 بكل مقدار صحيح — وقد أنتج تسلسل السؤال 7 فعلًا $1$ لتر. نعم.

9. كل قاسم مشترك للعددين $n$ و $2n + 1$ يقسم $2n + 1 - 2 \times n = 1$ : فلا بد أن يكون $1$ . ومن ثمّ $\gcd(n, 2n+1) = 1$ دائمًا.

10. الحافلة A: 7:12، 7:24، 7:36، 7:48، 8:00 …؛ والحافلة B: 7:18، 7:36، 7:54 … وأول اِنطلاق مشترك: 7:36، بعد $36$ دقيقة — وهو أول مضاعف مشترك للعددين $12$ و $18$ . والقانون: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ . ومن أجل $5$ و $3$ : أول مضاعف مشترك هو $15$ ، و $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ .

11. بدورة من $17$ سنة: يكون التصادف التالي عند أول مضاعف مشترك للعددين $17$ و $4$ ؛ وبما أنّ $\gcd(17, 4) = 1$ ، فهو $17 \times 4 = 68$ سنة — فتلتقي الزيزان بالذروة مرّة واحدة في كل أربعة خروجات. وبدورة من $16$ سنة: العدد $16$ مضاعف للعدد $4$ ، فيصادف كل خروج ذروة. وطول الدورة الأولي لا يشترك في أيّ عامل مع أيّ دورة مفترس أقصر، فيباعد بين التصادفات أقصى ما يمكن: الحساب تمويهًا.

12. أربعة اِختيارات للأُسّ من أجل $2$ ، وثلاثة من أجل $3$ ، واِثنان من أجل $5$ : أي $4 \times 3 \times 2 = 24$ قاسمًا.

13. إذا كان $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ ، فإنّ $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : فكل أُسّ يتضاعف، ومن ثمّ يكون زوجيًا. وفي $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ، تكون أُسُس $2$ و $5$ فردية: إذن $360$ ليس مربّعًا تامًّا.

14. يكون القاسم شريك نفسه بالضبط حين $d = \frac nd$ ، أي $n = d^2$ : فالمربّعات وحدها لها قاسم أوسط كهذا. وفي كل $n$ آخر تنقسم القواسم أزواجًا، فيكون عددها زوجيًا. إذن: عدد فردي من القواسم $\Leftrightarrow$ مربّع تامّ. وللتحقّق: للعدد $36$ قواسم $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — تسعة منها، وهو عدد فردي، و $36 = 6^2$ ؛ بينما للعدد $360$ منها $24$ (السؤال 12)، وهو زوجي، وليس مربّعًا (السؤال 13).

15. تُقلب حالة الخزانة $n$ مرّة واحدة على يد كل تلميذ $k$ يقسم رقمه $n$ : أي بعدد قواسم $n$ في المجموع. وتنتهي الخزانة مفتوحة حين تُقلب حالتها عددًا فرديًا من المرّات — أي، حسب السؤال 14، حين يكون $n$ مربّعًا تامًّا. والخزانات المفتوحة: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — عشر منها.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد