ما معنى صيغة تربيعية؟ — الرياضيات

تعريف 12.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 12 — الصيغ التربيعية

الصيغة ثنائية الخطية المتماثلة على فضاء متجهي حقيقي $E$ هي صيغة ثنائية الخطية $\varphi \colon E \times E \to \R$ تحقق $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ؛ والصيغة التربيعية المرافقة هي $q(x) = \varphi(x, x)$ . وتُستعاد الصيغة $\varphi$ من $q$ بالاستقطاب:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

وفي أساس $(e_i)$ ، تكون مصفوفة $\varphi$ هي المصفوفة المتماثلة $B = (\varphi(e_i, e_j))$ ، مع $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ؛ ويعوّض تغيير الأساس بمصفوفة $P$ المصفوفةَ $B$ بالمصفوفة $P^{\mathsf T} B P$ (التوافق — لا التشابه!). ورتبة $q$ هي $\operatorname{rk} B$ (وهي لا متغيّرة: لأن التوافق يضرب في مصفوفات قابلة للقلب).

أمثلة

مثال 12.3 (التوافق في العمل)

لنأخذ $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (بالمصفوفة $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) والأساس الجديد $e_1' = (1, 1)$ ، $e_2' = (1, -1)$ ، أي $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . عندئذٍ

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

وفي الإحداثيات $(u, v)$ على امتداد الأساس الجديد، $q = 6u^2 - 2v^2$ — وللتحقق: يعطي $x = u + v$ ، $y = u - v$ أن $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ مباشرةً. ولاحظ أن العناصر القطرية الجديدة $6, -2$ ليست القيم الذاتية $3, -1$ للمصفوفة $B$ : فالتوافق يعيد تحجيم السلّم، ولا يحفظ الأطياف إلا التشابه — لكن الإشارات تتفق، كما تقتضي مبرهنة سيلفستر. (والأساس هنا متعامد لكنه غير ممنظم؛ ونظمُه بالمقدار $\frac{1}{\sqrt2}$ يقسم القطر على $2$ و يستعيد القيم الذاتية.)

مثال 12.4 (محددات غرام تقيس المساحة)

من أجل $v_1, v_2$ في فضاء إقليدي، تحزم مصفوفة غرام $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ الأطوالَ والزاوية؛ ويحزم محددها المساحة:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

وهو مربّع مساحة متوازي الأضلاع المبني على $v_1, v_2$ — ومتراجحة كوشي–شوارتز هي بالضبط القول $\det G \geq 0$ . ومثال منفَّذ: $v_1 = (1, 2, 2)$ ، $v_2 = (2, 1, -2)$ في $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

فالمتجهتان متعامدتان وطولهما $3$ ، وتولّدان متوازي أضلاع (وهو هنا مربّع) مساحته $\sqrt{81} = 9$ . والفكرة الختامية: لم يُستعمل أي جداء شعاعي ولا أي سحر خاص بالبعد $3$ — فالمقدار $\sqrt{\det G}$ يقيس الحجم ذا البعد $k$ في أي بعد، وهو منطلق الجزء الأول من مسألة نهاية الأسبوع وتكاملات مساحة السطوح لاحقًا في هذا المجلد.

مثال 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : القيمتان الذاتيتان $3$ (بمتجهة ذاتية $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) و $1$ (بالمتجهة $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). وتصير الصيغة التربيعية $2x^2 + 2xy + 2y^2$ هي $3X^2 + Y^2$ في المعلم المتعامد الممنظم المُدار: أي المحاور الرئيسية لقطع ناقص، محسوبةً. ويبلغ اختزال غاوس صيغة قطرية أيضًا، لكن المبرهنة الطيفية وحدها تبلغها دون تشويه الأطوال.

اقرأ في الفصل ←