ما معنى قيمة ذاتية؟ — الرياضيات

تعريف 3.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 3 — اختزال التشاكلات الذاتية

يكون $\lambda \in K$ قيمة ذاتية للتشاكل $u$ إذا كان $u(x) = \lambda x$ من أجل $x \neq 0$ ما (وتُسمى متجهة ذاتية)؛ والفضاء الذاتي هو $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . ومجموعة القيم الذاتية هي الطيف $\operatorname{Sp}(u)$ . ويكون الفضاء الجزئي $F$ مستقرًا إذا كان $u(F) \subseteq F$ ؛ والفضاءات الذاتية مستقرة، وتسمح الفضاءات الجزئية المستقرة بتعريف تشاكلات ذاتية مستحثّة $u|_F$ .

المصفوفة A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix وهي تؤثّر على المستوي: تُزاح المتجهة العامة e_1 عن مستقيمها، أما الاتجاهان الذاتيان v_1 = (1,1) وv_2 = (1,-1) فيكتفي التأثير بتمديدهما — بالمعاملين 3 و 1 (ومنه Av_2 = v_2: فالصورة المنقّطة تنطبق على v_2). والتقطير هو الانتقال إلى الأساس (v_1, v_2)، حيث تصير A المصفوفةَ diag(3, 1). — المصفوفة $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ وهي تؤثّر على المستوي: تُزاح المتجهة العامة $e_1$ عن مستقيمها، أما الاتجاهان الذاتيان $v_1 = (1,1)$ و $v_2 = (1,-1)$ فيكتفي التأثير بتمديدهما — بالمعاملين $3$ و $1$ (ومنه $Av_2 = v_2$ : فالصورة المنقّطة تنطبق على $v_2$ ). والتقطير هو الانتقال إلى الأساس $(v_1, v_2)$ ، حيث تصير $A$ المصفوفةَ $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

أمثلة

مثال 3.4 (كثير الحدود $\chi$ نفسه، وهندستان مختلفتان)

المصفوفتان

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{و}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

تشتركان في كثير الحدود المميز $(X - 2)^2$ ، وفي الأثر، وفي المحدد، وفي الطيف — ومع ذلك فهما غير متشابهتين: فبعد $E_2$ في الأولى $2$ (أي التضاعف الهندسي $2$ )، وفي الثانية $1$ . فكثير الحدود المميز لا يرى إلا التضاعفات الجبرية؛ وأبعاد الفضاءات الذاتية هي اللامتغيّر الأدقّ، وكثير الحدود الأدنى هو الحَكَم ( $X - 2$ في مقابل $(X - 2)^2$ ). والعبرة في كل مناقشات قابلية التقطير: يضع $\chi$ قائمةً بالمرشحين، لكن النوى هي التي تُدلي بالأصوات.

مثال 3.8 (التقطير في العمل)

لتكن $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ ، حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد: فمن $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (المثال 2.19)، نجد $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ ، وبفضاءين ذاتيين هما $\R(1,1,1)$ والمستوي $\{x + y + z = 0\}$ : وبأبعاد $1 + 2 = 3$ ، فهي قابلة للتقطير (المبرهنة 3.6 (2)). والقوى بلا أي مصفوفة تغيير أساس: فمع $\Pi = J/3$ الإسقاط على $\R(1,1,1)$ ،

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(وللتحقق من $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) والفكرة الختامية: حين تكون الفضاءات الذاتية ظاهرة، تحسب الإسقاطات الطيفية القوى أسرع مما ستفعله $PDP^{-1}$ يومًا — والصيغة تُظهر الحركية: فينمو $A^k$ مثل $4^k$ على امتداد $(1,1,1)$ ويبقى ثابتًا على المستوي المتعامد.

مثال 3.10 (تثليث يدوي)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ ، و $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ هو المستقيم المولَّد بالمتجهة $e_1' = (1, 1)$ : أي قيمة ذاتية واحدة، وفضاء ذاتي ذو بعد واحد — فهي غير قابلة للتقطير، لكنها قابلة للتثليث (المبرهنة 3.9). نُتمّ الأساس بالمتجهة $e_2' = (1, 0)$ ونحسب:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

ومنه تكون المصفوفة في الأساس $(e_1', e_2')$ هي $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . والفكرة الختامية: كان قطر المصفوفة $T$ مفروضًا (فلا بد أن يكون العنصران القيمةَ الذاتية المضاعفة $2$ )؛ ولم يتعلق بالاختيار $e_2'$ إلا عنصر الزاوية، ويستطيع تغيير سلّم $e_2'$ أن يجعله أي قيمة غير معدومة — فالعدد “ $1$ ” العنيد ظلّ الجزء العديم القوى الذي سيعزله دنفورد.

اقرأ في الفصل ←