द्विघात रूप क्या है? — गणित

परिभाषा 12.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 12 — द्विघात रूप

किसी वास्तविक सदिश समष्टि $E$ पर सममित द्विरैखिक रूप ऐसा द्विरैखिक $\varphi \colon E \times E \to \R$ है जिसके लिए $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; और उससे जुड़ा द्विघात रूप $q(x) = \varphi(x, x)$ है। $q$ से $\varphi$ ध्रुवण द्वारा पुनः प्राप्त होता है:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

किसी आधार $(e_i)$ में $\varphi$ का आव्यूह सममित $B = (\varphi(e_i, e_j))$ है, जहाँ $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; और आव्यूह $P$ वाले आधार-परिवर्तन से $B$ के स्थान पर $P^{\mathsf T} B P$ आ जाता है (सर्वांगसमता — सादृश्यता नहीं!)। $q$ की कोटि $\operatorname{rk} B$ है (जो अपरिवर्त्य है: सर्वांगसमता प्रतिलोमनीय आव्यूहों से गुणा करती है)।

उदाहरण

उदाहरण 12.3 (सर्वांगसमता क्रिया में)

$q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (आव्यूह $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) और नया आधार $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ लीजिए, अर्थात् $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ । तब

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

और नए आधार के अनुदिश निर्देशांकों $(u, v)$ में $q = 6u^2 - 2v^2$ — जाँचिए: $x = u + v$ , $y = u - v$ सीधे $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ देता है। ध्यान दीजिए कि नई विकर्ण प्रविष्टियाँ $6, -2$ $B$ के अभिलक्षणिक मान $3, -1$ नहीं हैं: सर्वांगसमता मापन बदल देती है, केवल सादृश्यता वर्णक्रम सुरक्षित रखती है — परंतु चिह्न मेल खाते हैं, जैसा सिल्वेस्टर की प्रमेय माँगती है। (यहाँ आधार लांबिक तो है पर प्रसामान्य नहीं; $\frac{1}{\sqrt2}$ से उसे सामान्यीकृत करने पर विकर्ण $2$ से विभाजित हो जाता और अभिलक्षणिक मान लौट आते।)

उदाहरण 12.4 (ग्राम सारणिक क्षेत्रफल मापते हैं)

किसी यूक्लिडीय समष्टि में $v_1, v_2$ के लिए ग्राम आव्यूह $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ लंबाइयाँ और कोण समेट लेता है; और उसका सारणिक क्षेत्रफल समेटता है:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

अर्थात् $v_1, v_2$ पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का वर्ग — और कोशी–श्वार्ज़ ठीक यही कथन है कि $\det G \geq 0$ । किया हुआ उदाहरण: $\R^3$ में $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

अर्थात् सदिश लंबाई $3$ के लांबिक सदिश हैं, जो क्षेत्रफल $\sqrt{81} = 9$ वाला समांतर चतुर्भुज (यहाँ वर्ग) घेरते हैं। समापन दृष्टि: यहाँ न कोई सदिश गुणनफल प्रयुक्त हुआ न विमा- $3$ वाला कोई जादू — $\sqrt{\det G}$ किसी भी विमा में $k$ -विमीय आयतन मापता है, और यही सप्ताहांत समस्या के भाग I का तथा इसी खंड के आगे आने वाले पृष्ठ-क्षेत्रफल समाकलों का आरंभ-बिंदु है।

उदाहरण 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : अभिलक्षणिक मान $3$ (अभिलक्षणिक सदिश $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) और $1$ ( $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ )। द्विघात रूप $2x^2 + 2xy + 2y^2$ घूर्णित प्रसामान्य लांबिक निर्देश-तंत्र में $3X^2 + Y^2$ बन जाता है: अर्थात् किसी दीर्घवृत्त के मुख्य अक्ष, परिकलित। गाउस समानयन भी किसी विकर्ण रूप तक पहुँच जाता है, पर वर्णक्रमीय प्रमेय ही उस तक लंबाइयाँ विकृत किए बिना पहुँचती है।

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उदाहरण

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