Qu'est-ce que « forme quadratique » ? — Mathématiques

Définition 12.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 12 — Formes quadratiques

Une forme bilinéaire symétrique sur un espace vectoriel réel $E$ est une application bilinéaire $\varphi \colon E \times E \to \R$ vérifiant $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; la forme quadratique associée est $q(x) = \varphi(x, x)$ . On retrouve $\varphi$ à partir de $q$ par polarisation :

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

Dans une base $(e_i)$ , la matrice de $\varphi$ est la matrice symétrique $B = (\varphi(e_i, e_j))$ , avec $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; un changement de base de matrice $P$ remplace $B$ par $P^{\mathsf T} B P$ (congruence — et non similitude !). Le rang de $q$ est $\operatorname{rk} B$ (invariant : la congruence multiplie par des matrices inversibles).

Exemples

Exemple 12.3 (La congruence en action)

Prenons $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (de matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) et la nouvelle base $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ , c’est-à-dire $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Alors

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

dans les coordonnées $(u, v)$ selon la nouvelle base, $q = 6u^2 - 2v^2$ — vérification : $x = u + v$ , $y = u - v$ donne directement $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ . Remarquons que les nouveaux coefficients diagonaux $6, -2$ ne sont pas les valeurs propres $3, -1$ de $B$ : la congruence redimensionne, seule la similitude préserve les spectres — mais les signes coïncident, comme l’exige le théorème de Sylvester. (La base est ici orthogonale mais non orthonormée ; la normaliser par $\frac{1}{\sqrt2}$ diviserait la diagonale par $2$ et redonnerait les valeurs propres.)

Exemple 12.4 (Les déterminants de Gram mesurent une aire)

Pour $v_1, v_2$ dans un espace euclidien, la matrice de Gram $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ encode les longueurs et l’angle ; son déterminant encode l’aire :

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

l’aire au carré du parallélogramme construit sur $v_1, v_2$ — et Cauchy–Schwarz n’est autre que l’énoncé $\det G \geq 0$ . Cas concret : $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ dans $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

les vecteurs sont orthogonaux, de longueur $3$ , et engendrent un parallélogramme (ici un carré) d’aire $\sqrt{81} = 9$ . Éclairage final : aucun produit vectoriel ni magie propre à la dimension $3$ n’a été utilisé — $\sqrt{\det G}$ mesure le volume $k$ -dimensionnel en toute dimension, point de départ de la partie I du problème du week-end et des intégrales d’aire de surface plus loin dans ce volume.

Exemple 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : valeurs propres $3$ (vecteur propre $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) et $1$ ( $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). La forme quadratique $2x^2 + 2xy + 2y^2$ devient $3X^2 + Y^2$ dans le repère orthonormé tourné : les axes principaux d’une ellipse, calculés. La réduction de Gauss atteint elle aussi une forme diagonale, mais seul le théorème spectral l’atteint sans distordre les longueurs.

Lire dans le chapitre →

Exemples

Termes liés