Apa itu bentuk kuadratik? — Matematika

Definisi 12.1 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 12 — Bentuk Kuadratik

Sebuah bentuk bilinear simetrik pada ruang vektor real $E$ adalah pemetaan bilinear $\varphi \colon E \times E \to \R$ dengan $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; sedangkan bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah $q(x) = \varphi(x, x)$ . Bentuk $\varphi$ dipulihkan dari $q$ lewat polarisasi:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

Dalam basis $(e_i)$ , matriks bagi $\varphi$ adalah matriks simetrik $B = (\varphi(e_i, e_j))$ , dengan $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; lalu penggantian basis bermatriks $P$ mengganti $B$ dengan $P^{\mathsf T} B P$ (inilah kekongruenan — bukan keserupaan!). Adapun rank bagi $q$ adalah $\operatorname{rk} B$ (yang invarian, sebab kekongruenan mengalikan dengan matriks terbalikkan).

Contoh

Contoh 12.3 (Kekongruenan beraksi)

Ambillah $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (bermatriks $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) beserta basis barunya $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ , yakni $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Maka

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

dalam koordinat $(u, v)$ sepanjang basis barunya, $q = 6u^2 - 2v^2$ — periksa: $x = u + v$ , $y = u - v$ memberi $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ secara langsung. Perhatikan bahwa entri diagonal barunya $6, -2$ bukan nilai eigen $3, -1$ milik $B$ : sebab kekongruenan menskalakan ulang, dan hanya keserupaan yang memelihara spektrum — tetapi tandanya sepakat, sebagaimana dituntut teorema Sylvester. (Basis di sini ortogonal tetapi tak ortonormal; dan menormalkannya dengan $\frac{1}{\sqrt2}$ akan membagi diagonalnya dengan $2$ lalu memulihkan nilai eigennya.)

Contoh 12.4 (Determinan Gram mengukur luas)

Untuk $v_1, v_2$ pada ruang Euklides, matriks Gram $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ mengemas panjang dan sudutnya; sedangkan determinannya mengemas luas:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

yakni kuadrat luas jajaran genjang yang bertumpu pada $v_1, v_2$ — dan Cauchy–Schwarz persis merupakan pernyataan $\det G \geq 0$ . Contoh yang dikerjakan: $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ dalam $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

jadi vektornya ortogonal dan berpanjang $3$ , sehingga merentang jajaran genjang (di sini sebuah bujur sangkar) berluas $\sqrt{81} = 9$ . Pelajaran penutupnya: tak ada hasil kali silang dan tak ada sihir berdimensi $3$ yang dipakai — sebab $\sqrt{\det G}$ mengukur volume berdimensi $k$ pada sembarang dimensi, dan itulah titik tolak Bagian I soal akhir pekan sekaligus integral luas permukaan yang menyusul pada jilid ini.

Contoh 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : nilai eigennya $3$ (dengan vektor eigen $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) dan $1$ (dengan $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). Bentuk kuadratik $2x^2 + 2xy + 2y^2$ menjadi $3X^2 + Y^2$ dalam kerangka ortonormal yang terputar: yakni sumbu utama sebuah elips, yang terhitung. Reduksi Gauss juga mencapai bentuk diagonal, tetapi hanya teorema spektral yang mencapainya tanpa memuaikan panjang.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait