Wat is kwadratische vorm? — Wiskunde

Definitie 12.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 12 — Kwadratische vormen

Een symmetrische bilineaire vorm op een reële vectorruimte $E$ is een bilineaire $\varphi \colon E \times E \to \R$ met $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; de bijbehorende kwadratische vorm is $q(x) = \varphi(x, x)$ . De vorm $\varphi$ wordt uit $q$ teruggewonnen door polarisatie:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

In een basis $(e_i)$ is de matrix van $\varphi$ de symmetrische $B = (\varphi(e_i, e_j))$ , met $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; een basisovergang met matrix $P$ vervangt $B$ door $P^{\mathsf T} B P$ (congruentie — geen gelijkvormigheid!). De rang van $q$ is $\operatorname{rk} B$ (invariant: congruentie vermenigvuldigt met inverteerbare matrices).

Voorbeelden

Voorbeeld 12.3 (Congruentie in actie)

Neem $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (matrix $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) en de nieuwe basis $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ , dat wil zeggen $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Dan is

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

in de coördinaten $(u, v)$ langs de nieuwe basis is $q = 6u^2 - 2v^2$ — controle: $x = u + v$ en $y = u - v$ geven $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ rechtstreeks. Merk op dat de nieuwe diagonaalelementen $6, -2$ niet de eigenwaarden $3, -1$ van $B$ zijn: congruentie herschaalt, en alleen gelijkvormigheid bewaart spectra — maar de tekens komen overeen, zoals de stelling van Sylvester eist. (De basis is hier orthogonaal maar niet orthonormaal; haar normaliseren met $\frac{1}{\sqrt2}$ zou de diagonaal door $2$ delen en de eigenwaarden teruggeven.)

Voorbeeld 12.4 (Gram-determinanten meten oppervlakte)

Voor $v_1, v_2$ in een euclidische ruimte verpakt de Gram-matrix $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ de lengten en de hoek; haar determinant verpakt de oppervlakte:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

het kwadraat van de oppervlakte van het parallellogram op $v_1, v_2$ — en Cauchy–Schwarz is precies de uitspraak $\det G \geq 0$ . Uitgewerkt voorbeeld: $v_1 = (1, 2, 2)$ en $v_2 = (2, 1, -2)$ in $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

de vectoren zijn orthogonaal van lengte $3$ en spannen een parallellogram (hier een vierkant) op met oppervlakte $\sqrt{81} = 9$ . Het inzicht om te onthouden: er werd geen kruisproduct en geen magie van dimensie $3$ gebruikt — $\sqrt{\det G}$ meet $k$ -dimensionaal volume in elke dimensie, het startpunt van Deel I van de weekendopgave en van de oppervlakte-integralen verderop in dit volume.

Voorbeeld 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : eigenwaarden $3$ (eigenvector $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) en $1$ ( $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). De kwadratische vorm $2x^2 + 2xy + 2y^2$ wordt $3X^2 + Y^2$ in het gedraaide orthonormale assenstelsel: de hoofdassen van een ellips, uitgerekend. De Gauss-reductie bereikt ook een diagonale vorm, maar alleen de spectraalstelling bereikt haar zonder lengten te vervormen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen