الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

12الصيغ التربيعية

الصيغة التربيعية هي الظلّ الجبري لهندسة ما: فالأجزاء ذوات التوقيع المعدوم تُسطّح، والموجبة تُقوّس في اتجاه، والسالبة في الاتجاه الآخر. ويُرجع هذا الفصل كل صيغة تربيعية حقيقية إلى مجموع $\pm$ مربّعًا (غاوس)، ويبرهن على أن عدّ الإشارات ذاتي (سيلفستر)، ثم يتوّج الهندسة الإقليدية بالمبرهنة الطيفية: فالتشاكلات الذاتية المتماثلة تتقطّر في أسس متعامدة ممنظمة — وهي المبرهنة الأكثر استعمالًا في الجبر الخطي التطبيقي.

12.1 الصيغ ثنائية الخطية والتربيعية

تعريف 12.1

الصيغة ثنائية الخطية المتماثلة على فضاء متجهي حقيقي $E$ هي صيغة ثنائية الخطية $\varphi \colon E \times E \to \R$ تحقق $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ؛ والصيغة التربيعية المرافقة هي $q(x) = \varphi(x, x)$ . وتُستعاد الصيغة $\varphi$ من $q$ بالاستقطاب:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

وفي أساس $(e_i)$ ، تكون مصفوفة $\varphi$ هي المصفوفة المتماثلة $B = (\varphi(e_i, e_j))$ ، مع $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ؛ ويعوّض تغيير الأساس بمصفوفة $P$ المصفوفةَ $B$ بالمصفوفة $P^{\mathsf T} B P$ (التوافق — لا التشابه!). ورتبة $q$ هي $\operatorname{rk} B$ (وهي لا متغيّرة: لأن التوافق يضرب في مصفوفات قابلة للقلب).

مثال 12.2

على $\R^2$ : للصيغة $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ المصفوفةُ $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ . والجداء السلّمي هو بالضبط صيغة ثنائية الخطية متماثلة صيغتها التربيعية معرَّفة موجبة؛ ويدرس هذا الفصل الحالة العامة غير محدَّدة الإشارة.

مثال 12.3 (التوافق في العمل)

لنأخذ $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (بالمصفوفة $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) والأساس الجديد $e_1' = (1, 1)$ ، $e_2' = (1, -1)$ ، أي $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . عندئذٍ

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

وفي الإحداثيات $(u, v)$ على امتداد الأساس الجديد، $q = 6u^2 - 2v^2$ — وللتحقق: يعطي $x = u + v$ ، $y = u - v$ أن $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ مباشرةً. ولاحظ أن العناصر القطرية الجديدة $6, -2$ ليست القيم الذاتية $3, -1$ للمصفوفة $B$ : فالتوافق يعيد تحجيم السلّم، ولا يحفظ الأطياف إلا التشابه — لكن الإشارات تتفق، كما تقتضي مبرهنة سيلفستر. (والأساس هنا متعامد لكنه غير ممنظم؛ ونظمُه بالمقدار $\frac{1}{\sqrt2}$ يقسم القطر على $2$ و يستعيد القيم الذاتية.)

مثال 12.4 (محددات غرام تقيس المساحة)

من أجل $v_1, v_2$ في فضاء إقليدي، تحزم مصفوفة غرام $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ الأطوالَ والزاوية؛ ويحزم محددها المساحة:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

وهو مربّع مساحة متوازي الأضلاع المبني على $v_1, v_2$ — ومتراجحة كوشي–شوارتز هي بالضبط القول $\det G \geq 0$ . ومثال منفَّذ: $v_1 = (1, 2, 2)$ ، $v_2 = (2, 1, -2)$ في $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

فالمتجهتان متعامدتان وطولهما $3$ ، وتولّدان متوازي أضلاع (وهو هنا مربّع) مساحته $\sqrt{81} = 9$ . والفكرة الختامية: لم يُستعمل أي جداء شعاعي ولا أي سحر خاص بالبعد $3$ — فالمقدار $\sqrt{\det G}$ يقيس الحجم ذا البعد $k$ في أي بعد، وهو منطلق الجزء الأول من مسألة نهاية الأسبوع وتكاملات مساحة السطوح لاحقًا في هذا المجلد.

12.2 اختزال غاوس وقصور سيلفستر الذاتي

مبرهنة 12.5 (اختزال غاوس)

كل صيغة تربيعية $q$ على فضاء حقيقي منتهي البعد يمكن كتابتها

q = \sum_{i=1}^{s} \ell_i^2 - \sum_{j=1}^{t} m_j^2 ,

حيث $\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t$ صيغ خطية مستقلة خطيًا؛ وبكيفية مكافئة، يجعل أساسٌ ما مصفوفةَ $q$ قطرية بعناصر $+1$ ( $s$ مرة)، و $-1$ ( $t$ مرة)، و $0$ .

برهان. بالتراجع على عدد المتغيرات، بالإحداثيات: $q(x_1, \dots, x_n)$ .

الحالة 1: يظهر مربّع ما، وليكن معامل $a$ للمتغير $x_1^2$ غير معدوم. نجمّع كل الحدود التي فيها $x_1$ ونُتمّم المربّع:

q = a\Bigl(x_1 + \frac{1}{a}\,\lambda(x_2, \dots, x_n)\Bigr)^{\!2} + q_1(x_2, \dots, x_n),

حيث $\lambda$ خطية و $q_1$ تربيعية في المتغيرات الباقية: فقد انفصلت صيغة مستقلة واحدة (فهي تشمل $x_1$ ، وأما الأخريات فلا)، وينطبق التراجع على $q_1$ ، وتأتي إشارات $\pm$ من إشارة $a$ بعد تغيير السلّم بالمعامل $\sqrt{\abs a}$ .

الحالة 2: لا مربّع، لكن ثمة حدّ متقاطع، وليكن $b\,x_1x_2$ مع $b \neq 0$ . نستعمل المتطابقة

x_1x_2 = \tfrac14\bigl((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\bigr)

بعد التجميع: فبكتابة $q = b\,x_1x_2 + x_1\alpha + x_2\beta + q_2$ (مع $\alpha, \beta, q_2$ في المتغيرات الأخرى)، نتحقق من أن

q = \frac{b}{4}\Bigl[\Bigl(x_1 + x_2 + \frac{\alpha + \beta}{b}\Bigr)^{2} - \Bigl(x_1 - x_2 + \frac{\beta - \alpha}{b}\Bigr)^{2}\Bigr] + \widetilde q ,

مع $\widetilde q$ خالية من $x_1, x_2$ : فتنفصل صيغتان مستقلتان، ويُنهي التراجع العمل.

استقلال الصيغ المجموعة: نرتّب الدفعات كما أُنتجت. فصيغ الدفعة الأولى تحتوي $x_1$ (في الحالة 1) أو $x_1, x_2$ (في الحالة 2)؛ وكل الصيغ اللاحقة خالية من تلك المتغيرات. ولنفترض انعدام تركيب خطي لكل الصيغ المجموعة. فبقراءة معامل $x_1$ (و $x_2$ ): لا تسهم إلا الدفعة الأولى، وداخل تلك الدفعة تكون الصيغة أو الصيغتان مستقلتين بوضوح ( $\ell$ وحدها؛ أو $\ell \pm m$ مع $\ell, m$ مستقلتين): فتنعدم معاملات الدفعة الأولى. ثم نجرّد الدفعة ونكرّر: فبالتراجع على امتداد الدفعات، تنعدم كل المعاملات — فالعائلة كلها حرة، وقد صار التثليث صريحًا. ∎

مبرهنة 12.6 (قانون سيلفستر للقصور الذاتي)

لا يتعلق الزوج $(s, t)$ في المبرهنة 12.5 إلا بالصيغة $q$ ، لا بالاختزال: وهو توقيع الصيغة $q$ . زيادةً على ذلك،

s = \max\{\dim F : q|_F \text{ معرَّفة موجبة}\},

وبالتناظر من أجل $t$ .

برهان. ليكن $q = \sum_{i \leq s}\ell_i^2 - \sum_{j\leq t} m_j^2$ وليكن $F_+$ الفضاء المولَّد بالمتجهات (القبلية) التي تقتصر عليها $(\ell_i)$ لتصير إحداثيات — وبالتحديد: نُتمّ العائلة المستقلة $(\ell_1, \dots, \ell_s, m_1, \dots, m_t)$ إلى أساس للثنوي $E^*$ ، ولتكن $(u_1, \dots, u_n)$ الأساس للفضاء $E$ الذي تكون هذه صيغَ إحداثياته (وهو الأساس القبلي: $\ell_i(u_k) = \delta_{ik}$ من أجل $k \leq s$ ، وتنعدم الصيغ اللاحقة على المتجهات السابقة). ونضع $F_+ = \operatorname{Vect}(u_1, \dots, u_s)$ : فمن أجل $x = \sum_{i\leq s}x_iu_i \in F_+$ ،

\ell_i(x) = x_i, \qquad m_j(x) = 0, \qquad\text{ومنه}\qquad q(x) = \sum_{i\leq s}x_i^2 > 0 \quad (x \neq 0) :

فالصيغة $q|_{F_+}$ معرَّفة موجبة وتكون الأعظمية في الصيغة المعروضة $\geq s$ . وعكسيًا، ليكن $F$ أي فضاء جزئي تكون عليه $q|_F$ معرَّفة موجبة، وليكن $G = \{x : \ell_1(x) = \dots = \ell_s(x) = 0\}$ ، وبعده المرافق $\leq s$ ؛ وعلى $G$ ، $q(x) = -\sum m_j^2 \leq 0$ . عندئذٍ $F \cap G = \{0\}$ (فمتجهة غير معدومة هناك ستحقق $q > 0$ و $q \leq 0$ )، ومنه $\dim F \leq \dim E - \dim G \leq s$ . ومن ثم تساوي الأعظمية $s$ من أجل كل اختزال: أي إن $s$ ذاتي، وكذلك $t = \operatorname{rk} q - s$ . ∎

مثال 12.7

$q(x, y, z) = xy + yz + zx$ (لا مربّعات). ومع $x_1 = x$ ، $x_2 = y$ : $q = xy + z(x + y)$ ، وتعطي متطابقة المربّعين

q = \tfrac14(x + y + 2z)^2 - \tfrac14(x - y)^2 - z^2 ,

(انشر للتحقق). ثلاث صيغ مستقلة: فالتوقيع $(1, 2)$ ، والرتبة $3$ . اتجاه موجب واحد، واتجاهان سالبان: أي هندسة “مخروط الضوء” لهذه الصيغة.

مثال 12.8 (صيغة منحلّة، مختزَلة بالكامل)

$q(x, y, z) = xy + yz$ على $\R^3$ : لا مربّعات، فالحالة 2 مع التجميع $q = y(x + z)$ . ومتطابقة المربّعين على جداء الصيغتين المستقلتين $y$ و $x + z$ :

q = \frac14\bigl(y + x + z\bigr)^2 - \frac14\bigl(y - x - z\bigr)^2 .

والصيغتان الخطيتان $y + x + z$ و $y - x - z$ مستقلتان (ففرقهما $2(x+z)$ ، ومجموعهما $2y$ )، ومن ثم يقرأ سيلفستر: التوقيع $(1, 1)$ ، والرتبة $2$ — فهي منحلّة. وتُوجَد نواة الصيغة القطبية بحلّ $\varphi(v, \cdot) = 0$ : فبالمصفوفة $\frac12\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$ ، تكون النواة $\{y = 0,\ x + z = 0\} = \R\,(1, 0, -1)$ ، وهو الاتجاه الذي لا ترى $q$ عليه شيئًا. والفكرة الختامية: يظهر نقص الرتبة في غاوس بوصفه “نفاد المتغيرات” — فقد أنتج الاختزال مربّعين فقط من ثلاثة أبعاد، والبعد الناقص هو النواة بالضبط.

مثال 12.9 (صيغة واحدة، وطريقان إلى التوقيع)

$q(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz$ ، بالمصفوفة $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ . الطريق 1، غاوس: نُتمّم المربّعات بالترتيب،

q = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32 y^2 + 2yz + 2z^2 = 2\Bigl(x + \frac y2\Bigr)^{\!2} + \frac32\Bigl(y + \frac{2z}{3}\Bigr)^{\!2} + \frac43 z^2 :

فثلاثة مربّعات موجبة على صيغ مستقلة، والتوقيع $(3, 0)$ : أي معرَّفة موجبة. الطريق 2، القيم الذاتية: المصفوفة هي المصفوفة ثلاثية الأقطار $2I + N$ مع $N$ مصفوفة الجوار؛ وقيمها الذاتية $2 + \sqrt2$ و $2$ و $2 - \sqrt2$ (تحقق من المتجهات الذاتية $(1, \pm\sqrt2, 1)$ و $(1, 0, -1)$ )، وكلها موجبة: أي الحكم نفسه، حسب النتيجة 12.15. وغاوس أسرع؛ والقيم الذاتية تقول أكثر (فهي تعطي المحاور الرئيسية والقيم الحدّية للصيغة $q$ على الكرة). والفكرة الختامية: المحاور الموجبة $2, \frac32, \frac43$ عند غاوس هي بالضبط نسب $\frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}}$ الأقصرات الرئيسية الرائدة ( $\Delta_1 = 2$ ، $\Delta_2 = 3$ ، $\Delta_3 = 4$ ) — وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على ذلك عمومًا.

طريقة 12.10 (كيف نحسب توقيعًا: ثلاثة طرق)

غاوس (يعمل دائمًا، وهو الأسرع يدويًا): أتمِم المربّعات بالترتيب، وانتقل إلى الحالة 2 حين لا يتوفر مربّع؛ ثم عُدّ الإشارات. وتحقق من أن الصيغ الخطية المجموعة مستقلة — فعدد صيغ أقلّ من عدد المتغيرات يعني وجود نواة (المثال 12.8).
الأقصرات الرائدة (من أجل اختبارات التحديد): كل $\Delta_k > 0$ إذا وفقط إذا كانت معرَّفة موجبة (التمرين 12.8)؛ بل إن المحاور $\Delta_k/\Delta_{k-1}$ تعطي معاملات غاوس (مسألة نهاية الأسبوع). ويفشل هذا صامتًا إذا كان $\Delta_k = 0$ ما معدومًا: فارجع إلى الطريق 1.
القيم الذاتية (الأكثر إفادةً والأكثر كلفة): إشارات الطيف (النتيجة 12.15)؛ وهي تعطي أيضًا المحاور الرئيسية والقيم الحدّية للصيغة $q$ على كرة الوحدة. وفضّلها حين تكون البنية الذاتية مطلوبة أصلًا.

12.3 المبرهنة الطيفية

وليكن الآن $E$ فضاءً إقليديًا (بجداء سلّمي $\langle\cdot,\cdot\rangle$ ، مجلد السنة الأولى).

تعريف 12.11 (المرافق؛ التشاكلات الذاتية المتماثلة)

من أجل $u \in \mathcal{L}(E)$ ، يكون المرافق $u^*$ هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحقق

\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

وفي أساس متعامد ممنظم، $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ . ويكون $u$ متماثلًا (ذاتي المرافق) إذا كان $u^* = u$ — وبكيفية مكافئة، إذا كانت مصفوفته في أساس متعامد ممنظم متماثلة.

وجود المرافق ووحدانيته. من أجل $y$ ثابتة، تكون الصيغة $x \mapsto \langle u(x), y\rangle$ خطية، ومن ثم (في البعد المنتهي) من الشكل $\langle x, z_y\rangle$ من أجل $z_y$ وحيدة — ويكون التطبيق $y \mapsto z_y =: u^*(y)$ خطيًا بالوحدانية. وأما المماهاة المصفوفية: فالعلاقة $\langle u(e_i), e_j\rangle$ مقروءةً في الاتجاهين. ∎

مثال 12.12 (المرافق يتعلق بالجداء السلّمي)

على $\R^2$ نأخذ الجداء السلّمي الموزون $\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2$ (بالمصفوفة $D = \operatorname{diag}(1,2)$ ) ونأخذ $u$ بالمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني. ومن $\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y$ ومن $\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y$ ، تكون مصفوفة المرافق

A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

وللتحقق على $x = (1,0)$ ، $y = (0,1)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

وعلى $x = (0,1)$ ، $y = (1,0)$ :

\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

والفكرة الختامية: قولُ “ $\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}$ ” قولٌ في الأسس المتعامدة الممنظمة فقط؛ وعمومًا يتدخل المتري $D$ ، تمامًا كما في الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع.

مبرهنة 12.13 (المبرهنة الطيفية)

ليكن $u$ تشاكلًا ذاتيًا متماثلًا لفضاء إقليدي $E$ . عندئذٍ يملك $E$ أساسًا متعامدًا ممنظمًا من المتجهات الذاتية للتشاكل $u$ ؛ وكل القيم الذاتية حقيقية، والفضاءات الذاتية الموافقة لقيم ذاتية مختلفة متعامدة. والصيغة المصفوفية: كل مصفوفة حقيقية متماثلة $A$ تُكتب

A = P\,D\,P^{\mathsf T}, \qquad P \text{ متعامدة } (P^{\mathsf T} P = I),\ D \text{ قطرية}.

برهان. وجود متجهة ذاتية. الدالة $x \mapsto \langle u(x), x\rangle$ متصلة على كرة الوحدة $S$ من $E$ ، وهي متراصة (فالبعد منته، المبرهنة 5.13): فتبلغ أعظميتها $\lambda$ عند $a \in S$ ما. وندّعي أن $u(a) = \lambda a$ . فمن أجل أي $y \perp a$ تحقق $\norm y = 1$ و $t \in \R$ ، تقع المتجهة $x_t = \frac{a + ty}{\sqrt{1 + t^2}}$ على $S$ (لأن $\norm{a + ty}^2 = 1 + t^2$ بمبرهنة فيثاغورس)؛ وبنشر الدالة المعظَّمة،

g(t) = \langle u(x_t), x_t\rangle = \frac{\langle u(a), a\rangle + 2t\langle u(a), y\rangle + t^2\langle u(y), y\rangle}{1 + t^2}

(فقد دمج تماثل $u$ الحدّين المتقاطعين: $\langle u(a), y\rangle = \langle a, u(y)\rangle = \langle u(y), a\rangle$ ). و $g$ دالة قابلة للاشتقاق في $t$ لها أعظمية عند $t = 0$ ؛ وتعطي قاعدة خارج القسمة عند $0$ أن

g'(0) = \frac{2\langle u(a), y\rangle\cdot 1 - \langle u(a), a\rangle\cdot 0}{1} = 2\langle u(a), y\rangle = 0 .

ومن ثم فإن $u(a)$ متعامدة مع الفضاء الفوقي $a^\perp$ كله: أي $u(a) \in (a^{\perp})^{\perp} = \R a$ ، أي $u(a) = \mu a$ ؛ و $\mu = \langle u(a), a\rangle = \lambda$ .

التراجع. المتممة المتعامدة $F = a^\perp$ مستقرة تحت $u$ : فمن أجل $x \perp a$ ، $\langle u(x), a\rangle = \langle x, u(a)\rangle = \lambda\langle x, a\rangle = 0$ . والمقصور $u|_F$ متماثل من أجل الجداء السلّمي المستحثّ؛ وبالتراجع على البعد، يملك $F$ أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا؛ ونضيف $a$ في المقدمة.

التتمات. القيم الذاتية هي الأعداد الحقيقية $\langle u(e), e\rangle$ على الأساس الذاتي. وتعامد الفضاءات الذاتية: يعطي $u(x) = \lambda x$ ، $u(y) = \mu y$ أن $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ ، ومنه $\langle x, y\rangle = 0$ حين $\lambda \neq \mu$ . والصيغة المصفوفية: أعمدة $P$ هي الأساس الذاتي المتعامد الممنظم. ∎

مثال 12.14 (تشغيلة طيفية كاملة)

لنقطّر تعامديًا $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ . كثير الحدود المميز $(1 - \lambda)^2 - 4$ : فالقيمتان الذاتيتان $3$ و $-1$ . والمتجهتان الذاتيتان: يعطي $(A - 3I)v = 0$ أن $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ؛ ويعطي $(A + I)v = 0$ أن $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ — وهما متعامدتان، كما تضمن المبرهنة 12.13 بلا حساب. ومع $P = (v_1\ v_2)$ (وهي دوران بزاوية $\frac\pi4$ ):

P^{\mathsf T}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad x^2 + 4xy + y^2 = 3u^2 - v^2 \quad\text{في المعلم المُدار} .

ومن ثم فصيغة التمرين 12.1 من نمط القطع الزائد: بتوقيع $(1,1)$ ، وهو متوافق مع اختزال غاوس لها $(x + 2y)^2 - 3y^2$ — مربّعات مختلفة، وتوقيع واحد، كما تقتضي مبرهنة سيلفستر. والفكرة الختامية: أعطى غاوس الجواب أسرع، لكن الطريق الطيفي يفيد أيضًا بأن $q$ تجري على دائرة الوحدة على $\intcc{-1}{3}$ بالضبط، وتُبلغ على امتداد $v_2$ و $v_1$ : فالعمل الإضافي يشتري هندسة.

نتيجة 12.15 (المحاور الرئيسية؛ اختبارات الإيجابية)

كل صيغة تربيعية $q$ على فضاء إقليدي تتقطّر في أساس متعامد ممنظم ما: $q(x) = \sum_i \lambda_i x_i^2$ مع $\lambda_i$ القيم الذاتية للمصفوفة المتماثلة للصيغة $q$ ؛ ويعدّ التوقيع القيم الذاتية الموجبة والسالبة.
تكون المصفوفة المتماثلة شبه معرَّفة موجبة (أو معرَّفة موجبة) إذا وفقط إذا كانت كل قيمها الذاتية $\geq 0$ (أو $> 0$ )؛ وعندئذٍ تكون القيم الحدّية لخارج قسمة رايلي هي

$\min_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\min}, \qquad \max_{\norm x = 1} \langle Ax, x\rangle = \lambda_{\max} .$

برهان. (1) نكتب $q(x) = \langle A x, x\rangle$ مع $A$ متماثلة (وهي مصفوفة $q$ في أساس متعامد ممنظم)؛ ونقطّر $A$ بالمبرهنة الطيفية: فمن أجل $x = \sum x_ie_i$ في الأساس الذاتي المتعامد الممنظم،

q(x) = \Bigl\langle \sum_i \lambda_ix_ie_i,\ \sum_j x_je_j\Bigr\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2

(فالتعامد والتنظيم يقتلان الحدود المتقاطعة). وتعدّ إشارات $\pm$ للقيم $\lambda_i$ التوقيعَ بمبرهنة سيلفستر: فتغيير سلّم كل إحداثية بالمعامل $\sqrt{\abs{\lambda_i}}$ يُبرز اختزالَ غاوس بصيغ مستقلة.

(2) في الأساس الذاتي، $\langle Ax, x\rangle = \sum \lambda_i x_i^2$ ، وهو محصور بين $\lambda_{\min}\norm x^2$ و $\lambda_{\max}\norm x^2$ ، مع المساواة عند المتجهات الذاتية الموافقة؛ ومن ثم فإيجابية كل القيم الذاتية مكافئة لإيجابية الصيغة. ∎

مثال 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : القيمتان الذاتيتان $3$ (بمتجهة ذاتية $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) و $1$ (بالمتجهة $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). وتصير الصيغة التربيعية $2x^2 + 2xy + 2y^2$ هي $3X^2 + Y^2$ في المعلم المتعامد الممنظم المُدار: أي المحاور الرئيسية لقطع ناقص، محسوبةً. ويبلغ اختزال غاوس صيغة قطرية أيضًا، لكن المبرهنة الطيفية وحدها تبلغها دون تشويه الأطوال.

مثال 12.17 (قطع ناقص معيَّن بالكامل)

أي منحنٍ هو $5x^2 + 4xy + 2y^2 = 6$ ؟ لمصفوفته $\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 2 & 2\end{pmatrix}$ كثيرُ الحدود المميز $\lambda^2 - 7\lambda + 6 = (\lambda - 1)(\lambda - 6)$ : فالقيمتان الذاتيتان $1$ و $6$ ، وكلتاهما موجبة — أي إنه قطع ناقص. والمتجهتان الذاتيتان المتعامدتان الممنظمتان: من أجل $\lambda = 1$ ، نحلّ $\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}v = 0$ : فنجد $v_1 = \frac{1}{\sqrt5}(1, -2)$ ؛ ومن أجل $\lambda = 6$ : $v_2 = \frac{1}{\sqrt5}(2, 1)$ . وفي الإحداثيات المُدارة $(X, Y)$ على امتداد $(v_2, v_1)$ تصير المعادلة

6X^2 + Y^2 = 6, \qquad\text{أي}\qquad X^2 + \frac{Y^2}{6} = 1 :

فأنصاف المحاور $1$ (على امتداد $v_2$ ) و $\sqrt6$ (على امتداد $v_1$ ). والفكرة الختامية: كان الشكل التقريبي مجانيًا — فالشرط $\det = 6 > 0$ والأثر الموجب يعلنان قطعًا ناقصًا قبل حساب أي متجهة ذاتية — لكن المبرهنة الطيفية وحدها تعطي اتجاهات المحاور وأطوالها، أي الهندسة الفعلية.

مثال 12.18 (الحدود القصوى على الكرة، مقروءةً من الطيف)

ما القيم الحدّية للصيغة $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ على كرة الوحدة؟ لمصفوفتها (وهي التي كل عناصرها خارج القطر واحد في التمرين 12.2) القيمتان الذاتيتان $2$ و $-1$ (مضاعفة)، ومن ثم يعطي البند (2) في النتيجة 12.15:

\max_{\norm v = 1} q(v) = 2 \ \text{ عند } v = \tfrac{1}{\sqrt3}(1,1,1), \qquad \min_{\norm v = 1} q(v) = -1 \ \text{ على الدائرة } x + y + z = 0 .

فلا تفاضل ولا مضاعفات لاغرانج: فالمبرهنة الطيفية تحلّ هذا التحسين المقيَّد فورًا — وتُبرز المعظِّم. والفكرة الختامية: قارِن بطريقة المضاعفات في فصل حساب التفاضل، التي تجد النقاط الحرجة نفسها بجهد أكبر؛ ومن أجل الدوال الهدف التربيعية على الكرات، تكون الأطياف الطريق الملكي (وتبني مسألة نهاية الأسبوع في الفصل الهرميتي نظريةَ كوران–فيشر كلها على هذه الملاحظة).

ملاحظة 12.19 (مزالق شائعة)

(1) التوافق ليس تشابهًا: فتغيير الأساس من أجل صيغة يؤثّر بالقانون $P^{\mathsf T}BP$ لا $P^{-1}BP$ ؛ والقيم الذاتية ليست لا متغيّرات لصيغة تربيعية (فالمصفوفتان $I$ و $4I$ متوافقتان عبر $P = 2I$ ) — ولا تكون كذلك إلا إشاراتها (سيلفستر). فلا تتحدث عن القيم الذاتية لصيغة إلا بعد تثبيت جداء سلّمي. (2) العناصر الموجبة لا تبرهن على شيء: فللمصفوفة $\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ كل العناصر موجبة ومع ذلك توقيعها $(1,1)$ (لأن $\det = -3$ )؛ وعكسيًا قد يكون للمصفوفة المعرَّفة الموجبة عناصر سالبة خارج القطر (فالمصفوفة المثال 12.9 مزاحةً: $2I - N$ تفي كذلك). فاستعمل الطريقة 12.10. (3) المربّعات المرتبطة: فكتابة $q = \ell_1^2 - \ell_2^2$ لا تقول شيئًا إذا كانت $\ell_1, \ell_2$ متناسبة — فرتبة $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ هي $1$ لا $2$ ؛ فتحقق دائمًا من الاستقلال قبل قراءة التوقيع. (4) الحدود القصوى على الكرة دون تراص: فحدود رايلي في النتيجة 12.15 مبلوغة لأن الكرة متراصة؛ وعلى الكرة المفتوحة أو على الفضاء كله، لا تملك الصيغة غير محدَّدة الإشارة أعظمية ولا أصغرية.

ملاحظة 12.20 (أين يُستعمَل هذا)

المبرهنة الطيفية أكثر نتائج هذا الكتاب تصديرًا: فالإحصاء يقطّر بها مصفوفات التباين المشترك (تحليل المركّبات الرئيسية)، والميكانيك يستخرج بها الأنماط الطبيعية للتذبذب (وهي الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع)، والتحليل العددي يبني عليها تفكيك تشوليسكي وتفكيك القيم المنفردة (المسألة نفسها)، وينقلها الفصل التالي إلى الفضاءات الهرميتية العقدية. ويبرهن مجلد السنة الثالثة على نظيرها غير المنتهي البعد من أجل المؤثرات المتراصة ذاتية المرافق، حيث تصير حجة التراص في البرهان المنتهي البعد الحكايةَ كلها.

ملاحظة 12.21 (آفاق داخل هذا المجلد)

تخترق الصيغ التربيعية بقية الكتاب الرابع بثلاثة أزياء. بوصفها مصفوفات هيسي: فيصنّف فصل حساب التفاضل النقاطَ الحرجة بتوقيع الصيغة من الرتبة الثانية، ومن ثم فلا تغيّر سيلفستر هو ما يجعل كلمة “سرج” معرَّفة جيدًا. وبوصفها طاقات: فمتذبذبات فصل المعادلات التفاضلية تحمل الطاقة التربيعية $\frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ ، والاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل هو بالضبط استخراج الأنماط الطبيعية. وبوصفها هندسة: فمخروطيات هذا الفصل تكبر لتصير السطوح التربيعية في فصول الهندسة، حيث تكون للصيغة الأساسية الثانية لسطح — وهي صيغة تربيعية على كل مستوٍ مماسّ — توقيعٌ يقرّر ما إذا كان السطح ينحني كوعاء أم كسرج. ويعيد الفصل الهرميتي التالي عزف المقطوعة كلها على $\C$ .

12.4 تمارين

تمرين 12.1 ★

اختزل بغاوس وأعطِ الرتبة والتوقيع:

q_1(x,y) = x^2 + 4xy + y^2, \qquad q_2(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2yz .

حل

حل التمرين 12.1.

$q_1 = (x + 2y)^2 - 3y^2$ : الرتبة $2$ ، والتوقيع $(1, 1)$ (وهي صيغة من نمط القطع الزائد).

$q_2$ : نُتمّم المربّع في $x$ : $q_2 = (x + y)^2 + y^2 + 2yz + 3z^2 = (x+y)^2 + (y + z)^2 + 2z^2$ : فالرتبة $3$ ، والتوقيع $(3, 0)$ — أي معرَّفة موجبة.

تمرين 12.2 ★

قطّر تعامديًا $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ (بالقيم الذاتية من حساب الفصل 3؛ واجعل الأساس الآن متعامدًا ممنظمًا) واختزل الصيغة $q(x,y,z) = 2xy + 2yz + 2zx$ إلى المحاور الرئيسية.

حل

حل التمرين 12.2.

القيمتان الذاتيتان $2$ (على $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ ) و $-1$ (على المستوي $x + y + z = 0$ ). ونُنظّم: $e_1 = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ ؛ وفي المستوي، يعطي غرام–شميت على $(1,-1,0), (1,0,-1)$ أن $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$ ، $e_3 = \frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$ . وعندئذٍ تكون $P = (e_1\ e_2\ e_3)$ متعامدة مع $P^{\mathsf T}AP = \operatorname{diag}(2,-1,-1)$ .

وللصيغة $q = 2xy + 2yz + 2zx$ المصفوفةُ $A$ : ففي الإحداثيات المُدارة $q = 2X^2 - Y^2 - Z^2$ — أي المحاور الرئيسية؛ والتوقيع $(1,2)$ ، وهو يوافق المثال 12.7 (فهي الصيغة نفسها!).

تمرين 12.3 ★

برهن على أن $u^{**} = u$ ، $(u \circ v)^* = v^* \circ u^*$ ، وأن $\ker u^* = (\operatorname{im} u)^{\perp}$ . استنتج $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ .

حل

حل التمرين 12.3.

$u^{**} = u$ : $\langle u^{**}x, y\rangle = \langle x, u^*y\rangle = \langle ux, y\rangle$ من أجل كل $y$ . و $(uv)^* = v^*u^*$ : $\langle uvx, y\rangle = \langle vx, u^*y\rangle = \langle x, v^*u^*y\rangle$ . والنواة: $y \in \ker u^* \iff \langle x, u^*y \rangle = 0\ \forall x \iff \langle u(x), y\rangle = 0\ \forall x \iff y \perp \operatorname{im} u$ . والرتب: $\dim\ker u^* = n - \operatorname{rk} u$ (بالمتممة المتعامدة)، ومنه $\operatorname{rk} u^* = \operatorname{rk} u$ بمبرهنة الرتبة — وهو النظير الإقليدي لمبرهنة رتبة المنقول.

تمرين 12.4 ★★

لتكن $A$ حقيقية متماثلة مع $A^3 = A$ . برهن على أن $A^2$ مصفوفة إسقاط متعامد. وبعبارة أعمّ، اربط بين التفكيكين الطيفيين للمصفوفتين $A$ و $P(A)$ من أجل كثير حدود $P$ .

حل

حل التمرين 12.4.

طيفيًا: $A = PDP^{\mathsf T}$ ، مع $D$ قطرية بعناصر $\lambda_i$ تحقق $\lambda_i^3 = \lambda_i$ : أي $\lambda_i \in \{-1, 0, 1\}$ . عندئذٍ $A^2 = PD^2P^{\mathsf T}$ مع $D^2$ قطرية بعناصر $0/1$ : فالمصفوفة $A^2$ متماثلة ومتساوية القوى (لأن $(A^2)^2 = A^4 = A\cdot A^3 = A^2$ ) — والمصفوفة المتماثلة المتساوية القوى $=$ إسقاط متعامد (وهو الإسقاط على $\ker(A^2 - I) = \ker(A-I)\oplus\ker(A+I)$ بموازاة $\ker A$ ، وهذان متعامدان بالمبرهنة الطيفية).

وعمومًا، $P(A) = P\!\left(\text{قطرية}\right)$ : فللمصفوفة $P(A)$ المتجهات الذاتية نفسها، وقيمها الذاتية $P(\lambda_i)$ — وهو “الرسم الطيفي” على مستوى القابل للتقطير.

تمرين 12.5 ★★

برهن على أن $O(n) = \{P : P^{\mathsf T}P = I\}$ جزء متراص من $\mathcal{M}_n(\R)$ (مغلق: فهو الصورة العكسية للمجموعة $\{I\}$ بتطبيق متصل؛ ومحدود: فالأعمدة متجهات واحدية). وهل هو مترابط؟

حل

حل التمرين 12.5.

مغلقة: $O(n) = g^{-1}(\{I\})$ من أجل التطبيق المتصل $g(P) = P^{\mathsf T}P$ (بعناصر كثيرة الحدود). ومحدودة: فكل عمود من $P \in O(n)$ متجهة واحدية، ومن ثم تقع كل العناصر في $\intcc{-1}{1}$ . ومغلقة ومحدودة في $\mathcal{M}_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ : فهي متراصة (المبرهنة 4.16 (2)).

وليست مترابطة: فالمحدد $\det$ يأخذ القيمتين $\pm1$ على $O(n)$ ، والتطبيق المتصل الشامل على $\{-1, 1\}$ يقسم الفضاء (بحجة المثال 4.28).

تمرين 12.6 ★★

(الجذر التربيعي) لتكن $A$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة. أنشئ مصفوفة متماثلة شبه معرَّفة موجبة $B$ تحقق $B^2 = A$ ، وبرهن على أنها وحيدة (الوجود: خذ الجذور التربيعية للقيم الذاتية في أساس طيفي؛ والوحدانية: كل مرشح $B$ يتبادل مع $A = B^2$ ، ومن ثم يحفظ فضاءاتها الذاتية — فأرجِع المسألة إلى الحالة العددية على كل منها).

حل

حل التمرين 12.6.

الوجود: $A = PDP^{\mathsf T}$ مع $D = \operatorname{diag}(\lambda_i)$ ، $\lambda_i \geq 0$ ؛ ونضع $B = P\sqrt D P^{\mathsf T}$ مع $\sqrt D = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})$ : فهي متماثلة وشبه معرَّفة موجبة، و $B^2 = A$ .

الوحدانية: لتكن $B$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة مع $B^2 = A$ . فالمصفوفة $B$ تتبادل مع $A$ ؛ ومن ثم تحفظ $B$ كل فضاء ذاتي $E_\lambda(A)$ (فمن أجل $Ax = \lambda x$ : $A(Bx) = BAx = \lambda Bx$ ). وعلى $E_\lambda(A)$ ، يكون مقصور $B$ متماثلًا شبه معرَّف موجب مع مربّع $\lambda\,\mathrm{id}$ ؛ وتحقق قيمه الذاتية $\mu$ أن $\mu^2 = \lambda$ ، $\mu \geq 0$ : أي $\mu = \sqrt\lambda$ — ومن ثم فإن المقصور، كونه قابلًا للتقطير بقيمة ذاتية وحيدة $\sqrt\lambda$ ، هو $\sqrt\lambda\,\mathrm{id}$ . وبما أن $E = \bigoplus E_\lambda(A)$ ، تتحدد $B$ : أي $B = \sqrt A$ .

تمرين 12.7 ★★

من أجل $A$ حقيقية متماثلة، برهن على أن $\vertiii{A}_2 := \sup_{\norm x_2 = 1}\norm{Ax}_2 = \max_i \abs{\lambda_i}$ (وهو نصف القطر الطيفي)، واحسب $\vertiii{A}_2$ من أجل $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ .

حل

حل التمرين 12.7.

في أساس ذاتي متعامد ممنظم، $\norm{Ax}_2^2 = \sum \lambda_i^2 x_i^2 \leq (\max_i \lambda_i^2)\norm x_2^2$ ، مع المساواة عند المتجهة الذاتية الموافقة: أي $\vertiii A_2 = \max\abs{\lambda_i}$ . ومن أجل المصفوفة المعطاة: القيم الذاتية $3, -1$ (توأم المثال 12.16): $\vertiii A_2 = 3$ .

تمرين 12.8 ★★★

(محك سيلفستر) لتكن $A$ حقيقية متماثلة بأقصرات رئيسية رائدة $\Delta_1, \dots, \Delta_n$ (وهي محددات الكتل العليا اليسرى). برهن على أن $A$ معرَّفة موجبة إذا وفقط إذا كانت كل $\Delta_k > 0$ . (من أجل $\Rightarrow$ : مقصورات الصيغة المعرَّفة معرَّفة، ومحدد المصفوفة المعرَّفة الموجبة — وهو جداء قيمها الذاتية — موجب. ومن أجل $\Leftarrow$ : استعمل التراجع على $n$ ؛ فالكتلة العليا اليسرى ذات القياس $(n-1)$ معرَّفة موجبة، فقطّر الصيغة على ذلك الفضاء الجزئي و أتمِم المربّع في المتغير الأخير؛ وتحكم $\det A = \Delta_n > 0$ إشارةَ العنصر القطري الأخير.)

حل

حل التمرين 12.8.

( $\Rightarrow$ ) الكتلة العليا اليسرى $A_k$ ذات القياس $k \times k$ هي مصفوفة مقصور الصيغة (المعرَّفة) على الفضاء المولَّد بمتجهات الأساس $k$ الأولى: فهي معرَّفة موجبة، ومن ثم فقيمها الذاتية موجبة و $\Delta_k = \det A_k > 0$ .

( $\Leftarrow$ ) بالتراجع على $n$ ؛ والحالة $n = 1$ واضحة. ولنفترض أن كل $\Delta_k > 0$ . فبالتراجع تكون $A_{n-1}$ معرَّفة موجبة: أي إن الصيغة $q$ مقصورةً على $F = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ معرَّفة. ونقطّر $q|_F$ (بغاوس): فنحصل على إحداثيات $y_1, \dots, y_{n-1}$ مع $q|_F = \sum y_i^2$ . وفي الفضاء الكامل، وبإتمام المربّع في المتغير الأخير،

q = \sum_{i=1}^{n-1} \bigl(y_i + c_i x_n\bigr)^2 + c\,x_n^2

من أجل ثوابت مناسبة (بجمع الحدود المتقاطعة في المربّعات). ويُبرز الاختزال التوقيع $(n-1 + \epsilon, \cdot)$ مع $\epsilon$ إسهام إشارة $c$ ؛ ويحفظ المحدد إشارة جداء المعاملات القطرية تحت التوافق ( $\det(P^{\mathsf T}AP) = (\det P)^2\det A$ ): ومن ثم يفرض $\Delta_n > 0$ أن $c > 0$ . ومنه فإن $q$ مجموع $n$ مربّعًا لصيغ مستقلة: أي إنها معرَّفة موجبة.

تمرين 12.9 ★★★

(كوران–فيشر، القيمة الذاتية الثانية) لتكن $u$ متماثلة بقيم ذاتية $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ . برهن على أن

\lambda_2 = \min_{\substack{H \text{ فضاء فوقي}}}\; \max_{\substack{x \in H,\ \norm x = 1}} \langle u(x), x\rangle .

(من أجل $\leq$ : يلتقي أي فضاء فوقي المستوي $2$ المولَّد بالمتجهتين الذاتيتين العلييين. ومن أجل $\geq$ : اختر $H = (e_1)^{\perp}$ .)

حل

حل التمرين 12.9.

ليكن $(e_1, \dots, e_n)$ أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا من أجل $\lambda_1 \geq \dots \geq \lambda_n$ .

$\lambda_2 \leq$ الأصغرية العظمى: من أجل أي فضاء فوقي $H$ ، يحقق الفضاء $V = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ذو البعد $2$ أن $\dim(H \cap V) \geq 1$ (بصيغة غراسمان): فنختار متجهة واحدية $x \in H \cap V$ ، $x = ae_1 + be_2$ ، $a^2 + b^2 = 1$ :

\langle u(x), x\rangle = \lambda_1 a^2 + \lambda_2 b^2 \geq \lambda_2 :

فأعظمية كل فضاء فوقي $\geq \lambda_2$ .

$\geq$ : من أجل $H = e_1^{\perp}$ ، تحقق كل متجهة واحدية $x = \sum_{i\geq2} x_ie_i \in H$ أن $\langle u(x), x\rangle = \sum_{i \geq 2} \lambda_i x_i^2 \leq \lambda_2$ ، وهو مبلوغ عند $e_2$ : فأعظمية هذا الفضاء الفوقي هي $\lambda_2$ بالضبط. ومن ثم فالأصغرية على $H$ هي $\lambda_2$ .

تمرين 12.10 ★★

عيّن رتبة وتوقيع الصيغة $q(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i < j} x_ix_j$ على $\R^n$ (مع $n \geq 2$ )، بطريقتين: بالمتطابقة الجبرية $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ مع مقصور $q$ على الفضاء الفوقي $\sum x_i = 0$ ؛ وبحساب القيم الذاتية لمصفوفتها $\frac12(J - I)$ ، حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد.

حل

حل التمرين 12.10.

الطريق الجبري: $2q = \bigl(\sum x_i\bigr)^2 - \sum x_i^2$ . وعلى الفضاء الفوقي $H : \sum x_i = 0$ (بالبعد $n - 1$ )، تكون $q = -\frac12\sum x_i^2$ معرَّفة سالبة؛ وعلى المستقيم $\R(1, \dots, 1)$ ، $q(t, \dots, t) = \binom n2 t^2 > 0$ . وأي فضاء جزئي تكون عليه $q$ معرَّفة موجبة يلتقي $H$ بداهةً، ومن ثم فبعده $\leq 1$ : فبسيلفستر (المبرهنة 12.6)، $s = 1$ ، و $t \geq n-1$ من $H$ ؛ وتفرض الرتبة $\leq n$ التوقيعَ $(1, n-1)$ ، والرتبة $n$ .

الطريق الطيفي: المصفوفة هي $\frac12(J - I)$ ؛ وللمصفوفة $J$ القيمتان الذاتيتان $n$ (على $(1,\dots,1)$ ) و $0$ (على $H$ )، ومن ثم فللمصفوفة $\frac12(J-I)$ القيمتان الذاتيتان $\frac{n-1}{2}$ (مرة واحدة) و $-\frac12$ ( $n-1$ مرة): أي واحدة موجبة و $n-1$ سالبة — أي التوقيع نفسه، حسب النتيجة 12.15.

تمرين 12.11 ★★

لتكن $A$ و $B$ حقيقيتين متماثلتين مع $B$ شبه معرَّفة موجبة. برهن على أن

\lambda_{\min}(A)\operatorname{tr} B \;\leq\; \operatorname{tr}(AB) \;\leq\; \lambda_{\max}(A)\operatorname{tr} B .

(اكتب $B = C^{\mathsf T}C$ و $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \langle A c_i, c_i\rangle$ على أعمدة $c_i$ للمصفوفة $C^{\mathsf T}$ .) وعلى الخصوص $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ حين تكون كلتاهما شبه معرَّفة موجبة.

حل

حل التمرين 12.11.

نكتب $B = C^{\mathsf T}C$ (مع التمرين 12.6 عبر $C = \sqrt B$ ). عندئذٍ، مع $c_1, \dots, c_n$ أعمدة $C^{\mathsf T}$ :

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(AC^{\mathsf T}C) = \operatorname{tr}(CAC^{\mathsf T}) = \sum_{i=1}^n \langle A c_i, c_i\rangle .

وحسب البند (2) في النتيجة 12.15، يقع كل حدّ بين $\lambda_{\min}(A)\norm{c_i}^2$ و $\lambda_{\max}(A)\norm{c_i}^2$ ، و $\sum\norm{c_i}^2 = \operatorname{tr}(C^{\mathsf T}C)^{\vphantom1} = \operatorname{tr} B$ : فتنتج المتراجحة المزدوجة. وإذا كانت $A$ شبه معرَّفة موجبة أيضًا، فإن $\lambda_{\min}(A) \geq 0$ : أي $\operatorname{tr}(AB) \geq 0$ .

تمرين 12.12 ★★★

على $E = \mathcal{M}_n(\R)$ ، لننظر في $q(M) = \operatorname{tr}(M^2)$ .

بيّن أن $q$ صيغة تربيعية صيغتها القطبية $\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ .
بيّن أن المصفوفات المتماثلة وضدّ المتماثلة تشكّل فضاءين جزئيين متعامدين من أجل $\varphi$ تكون $q$ عليهما معرَّفة موجبة ومعرَّفة سالبة على التوالي (احسب $\operatorname{tr}(M^2)$ عنصرًا عنصرًا في كل حالة).
اختم: توقيع $q$ هو $\bigl(\frac{n(n+1)}{2}, \frac{n(n-1)}{2}\bigr)$ ورتبتها $n^2$ .

حل

حل التمرين 12.12.

$\varphi(M, N) = \operatorname{tr}(MN)$ ثنائية الخطية و متماثلة (لأن $\operatorname{tr}(MN) = \operatorname{tr}(NM)$ )، و $\varphi(M, M) = q(M)$ : أي إن $q$ هي الصيغة التربيعية للصيغة $\varphi$ .
من أجل $S$ متماثلة و $K$ ضدّ متماثلة: $\operatorname{tr}(SK) = \operatorname{tr}\bigl((SK)^{\mathsf T}\bigr) = \operatorname{tr}(K^{\mathsf T}S^{\mathsf T}) = -\operatorname{tr}(KS) = -\operatorname{tr}(SK)$ ، ومنه $\varphi(S, K) = 0$ : أي إن الفضاءين الجزئيين متعامدان من أجل $\varphi$ . وعنصرًا عنصرًا، $\operatorname{tr} (M^2) = \sum_{i,j} m_{ij}m_{ji}$ : فمن أجل $M$ المتماثلة يكون هذا $\sum m_{ij}^2 > 0$ (لأن $M \neq 0$ )؛ ومن أجل $M$ ضدّ المتماثلة يكون $-\sum m_{ij}^2 < 0$ .
$\mathcal M_n(\R) = S_n \oplus A_n$ بأبعاد $\frac{n(n+1)}2$ و $\frac{n(n-1)}2$ ؛ ويكتب اختزال غاوس المكيَّف على هذا الفصل المتعامد من أجل $\varphi$ الصيغةَ $q$ بعدد $\frac{n(n+1)}2$ من المربّعات الموجبة و $\frac{n(n-1)}2$ من السالبة: فالتوقيع $\bigl(\frac{n(n+1)}2, \frac{n(n-1)}2\bigr)$ (سيلفستر)، والرتبة $n^2$ : أي إن الصيغة غير منحلّة.

12.5 مسألة: تشوليسكي وهادامار والتفكيك القطبي

مسألة 12.1

المبرهنة الطيفية مجهر؛ وتستعملها هذه المسألة مصنعًا. فمن مصفوفات غرام نصنع تفكيك تشوليسكي (ونعيّن محاور غاوس بوصفها نسب أقصرات)، ثم نبرهن على متراجحة هادامار للمحددات، ونبني التفكيك القطبي $A = QS$ وتفكيك القيم المنفردة، ونصنّف مخروطيات المستوي، ونُختم بالاختزال المتزامن لصيغتين — وهي المبرهنة وراء الأنماط الطبيعية للتذبذب. وفي كل ما يلي، $E = \R^n$ بجدائه السلّمي القياسي.

الجزء الأول — مصفوفات غرام وتشوليسكي. من أجل متجهات $v_1, \dots, v_n \in E$ ، تكون مصفوفة غرام الخاصة بها هي $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{i,j}$ .

بيّن أن $G$ متماثلة شبه معرَّفة موجبة، و معرَّفة موجبة إذا وفقط إذا كانت $(v_1, \dots, v_n)$ مستقلة خطيًا (احسب $X^{\mathsf T}GX$ ).
وعكسيًا، بيّن أن كل مصفوفة متماثلة شبه معرَّفة موجبة $A$ مصفوفةُ غرام: أي $A = C^{\mathsf T}C$ من أجل $C$ ما (استعمل الجذر التربيعي للمصفوفة التمرين 12.6)، مع $C$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كانت $A$ معرَّفة.
استنتج أن المصفوفة شبه المعرَّفة الموجبة $A$ تحقق $\abs{a_{ij}} \leq \sqrt{a_{ii}\,a_{jj}}$ من أجل كل $i, j$ (اقصر على إحداثيتين) — أي متراجحة كوشي–شوارتز، مقروءةً مصفوفيًا.
(تشوليسكي) لتكن $A$ معرَّفة موجبة. برهن على أنه توجد مصفوفة مثلثية عليا وحيدة $T$ بعناصر قطرية موجبة تحقق

$A = T^{\mathsf T}\,T$

(الوجود: طبّق غرام–شميت على متجهات تحقق $A$ بوصفها مصفوفة غرام؛ والوحدانية: إذا كان $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ ، فبيّن أن $T_1T_2^{-1}$ متعامدة ومثلثية بقطر موجب، ومن ثم $I$ ).
بيّن أن الأقصرات الرئيسية الرائدة تحقق $\Delta_k = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ ، واستنتج أن المحاور التي يُنتجها اختزال غاوس لصيغة معرَّفة موجبة، مأخوذةً بترتيب المتغيرات الطبيعي، هي

$d_k = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} \qquad (\Delta_0 = 1) :$

فأقصرات محك سيلفستر (التمرين 12.8) ومحاور غاوس هما المعطى نفسه. وتحقق على المثال 12.9.

الجزء الثاني — متراجحة هادامار.

لتكن $A$ معرَّفة موجبة. برهن على أن

$\det A \leq a_{11}\,a_{22}\cdots a_{nn}$

(نظّم: فالمصفوفة $B = DAD$ مع $D = \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ لها قطر واحدي؛ وحُدّ $\det B = \prod \mu_i$ بمتراجحة الحسابي والهندسي في مقابل $\operatorname{tr} B = n$ ).
بيّن أن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا كانت $A$ قطرية.
استنتج متراجحة هادامار: من أجل كل مصفوفة مربّعة حقيقية $M$ بأعمدة $c_1, \dots, c_n$ ،

$\abs{\det M} \leq \prod_{i=1}^{n}\norm{c_i}_2 ,$

مع المساواة (من أجل $M$ القابلة للقلب) إذا وفقط إذا كانت الأعمدة متعامدة مثنى مثنى (طبّق السؤالين 6–7 على $M^{\mathsf T}M$ ).
أرباح هندسية وتوافقية: فسّر السؤال 8 هكذا: “حجم متوازي السطوح لا يتجاوز جداء أطوال أحرفه”؛ وبيّن أن المصفوفة التي كل عناصرها في $\intcc{-1}{1}$ تحقق $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (والمصفوفات التي تبلغ هذا الحدّ — أي مصفوفات هادامار — موجودة من أجل $n = 1, 2$ وكثير من مضاعفات $4$ ؛ وأما وجودها من أجل كل مضاعفات $4$ فمسألة مفتوحة شهيرة.)

الجزء الثالث — التفكيك القطبي والقيم المنفردة.

لتكن $A$ قابلة للقلب. بيّن أن $A^{\mathsf T}A$ معرَّفة موجبة، وأن

$S = \sqrt{A^{\mathsf T}A} \quad\text{(الجذر التربيعي للمصفوفة \text{التمرين 12.6})}, \qquad Q = AS^{-1}$

يعطيان تفكيكًا $A = QS$ مع $Q$ متعامدة و $S$ معرَّفة موجبة.
برهن على أن هذا التفكيك لمصفوفة $A$ قابلة للقلب وحيد.
مدّد الوجود إلى $A$ كيفية: اختر $\varepsilon_k \to 0$ بحيث تكون $A + \varepsilon_k I$ قابلة للقلب، واكتب $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ ، و استعمل تراص $O(n)$ (التمرين 12.5) لاستخراج $Q_k \to Q$ ؛ وبيّن أن $S_k = Q_k^{\mathsf T}(A + \varepsilon_kI)$ تتقارب إلى مصفوفة شبه معرَّفة موجبة $S$ تحقق $A = QS$ و $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . وأين تفشل الوحدانية من أجل $A$ الشاذة؟
(تفكيك القيم المنفردة) استنتج أن كل مصفوفة مربّعة حقيقية $A$ تُكتب

$A = U\,\Sigma\,V^{\mathsf T}, \qquad U, V \in O(n),\quad \Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n),\ \sigma_i \geq 0 ,$

حيث الأعداد $\sigma_i$ (وهي القيم المنفردة) هي القيم الذاتية للمصفوفة $\sqrt{A^{\mathsf T}A}$ .
ثلاث نتائج: $\vertiii{A}_2 = \sigma_{\max}$ من أجل كل مصفوفة حقيقية $A$ (وهذا يعمّم التمرين 12.7)؛ و $\abs{\det A} = \sigma_1\cdots\sigma_n$ ؛ وصورة كرة الوحدة بالتطبيق $A$ القابل للقلب هي مجسّم ناقص بأنصاف محاور $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ على امتداد أعمدة $U$ .

الجزء الرابع — المخروطيات، بالمبرهنة الطيفية. المخروطية المستوية هي مجموعة أصفار $f(x) = q(x) + \langle b, x\rangle + c$ ، مع $q \neq 0$ صيغة تربيعية مصفوفتها $A$ ، و $b \in \R^2$ ، و $c \in \R$ .

اختزل $f$ بدوران (المحاور الرئيسية، النتيجة 12.15) متبوعًا بانسحاب، وصنّف الأشكال الممكنة غير الخالية وغير المنحلّة بتوقيع $q$ : قطع ناقص ( $\det A > 0$ )، وقطع زائد ( $\det A < 0$ )، وقطع مكافئ ( $\det A = 0$ ، بالرتبة $1$ ، مع عدم امتصاص الحدّ الخطي).
شغّل الاختزال كاملًا من أجل

$x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y = 4 :$

الإحداثيات المُدارة، والمعادلة المختزَلة، وطبيعة المخروطية ومركزها.
(المخروطيات المركزية) لنفترض $\det A \neq 0$ . بيّن أن المركز هو $x_0 = -\frac12 A^{-1}b$ ، وأن التوافق بالمصفوفة $\begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ للمصفوفة $\widetilde Q = \begin{pmatrix} A & b/2 \\ b^{\mathsf T}/2 & c\end{pmatrix}$ ذات القياس $3\times3$ يعطي

$\det\widetilde Q = f(x_0)\,\det A :$

فتكون المخروطية المركزية منحلّة (نقطة أو مستقيمين) بالضبط حين $\det\widetilde Q = 0$ .
تحقق من السؤال 17 على مثال السؤال 16: احسب $x_0$ و $f(x_0)$ و $\det\widetilde Q$ ، و اختم من جديد بأن المخروطية قطع زائد غير منحلّ.
(حزمة تربيعية) من أجل $\lambda \in \R$ ، صنّف السطح

$x^2 + y^2 + z^2 + 2\lambda(xy + yz + zx) = 1$

بالقيم الذاتية لمصفوفته (ببنية الواحدات: القيمتان الذاتيتان $1 + 2\lambda$ و $1 - \lambda$ مضاعفة): كرة أو مجسّم ناقص، أو أسطوانة، أو زوج مستويات، أو مجسّم زائد ذو طبقة واحدة أو طبقتين، تبعًا للمقدار $\lambda$ .

الجزء الخامس — صيغتان معًا: الاختزال المتزامن.

لتكن $q$ معرَّفة موجبة ولتكن $q'$ صيغة تربيعية كيفية على $E$ . برهن على أنه يوجد أساس للفضاء $E$ متعامد ممنظم من أجل $q$ ومتعامد من أجل $q'$ : وفيه، $q = \sum x_i^2$ و $q' = \sum \mu_i x_i^2$ (استعمل $q$ جداءً سلّميًا وطبّق المبرهنة الطيفية على التشاكل الذاتي الممثِّل للصيغة $q'$ ).
الصيغة المصفوفية: من أجل $A$ معرَّفة موجبة و $B$ متماثلة، توجد مصفوفة $P$ قابلة للقلب تحقق $P^{\mathsf T}AP = I$ و $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ ، حيث الأعداد $\mu_i$ هي جذور $\det(B - \mu A) = 0$ .
شغّله كاملًا من أجل

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} :$

أي القيم الذاتية المعمَّمة $\mu_\pm$ ، والمتجهات التي تقطّر الصيغتين معًا.
بيّن أنه لا يمكن إسقاط شرط التعريف الموجب: فمن أجل

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix},$

لا يقطّر أي أساس الصيغتين معًا (فلو قطّرت $P$ كلتيهما، لانحلّ $\det(B - \mu A)$ بجذور حقيقية؛ فاحسبه).
بيّن أن الأعداد $\mu_i$ في السؤال 21 هي القيم الذاتية للمصفوفة $A^{-1}B$ ، وأن $A^{-1}B$ ، وإن لم تكن متماثلة عمومًا، تكون دائمًا قابلة للتقطير بقيم ذاتية حقيقية (قارِن بالمصفوفة $\sqrt A$ ).
تركيب. بجملة واحدة لكل بند: (1) المبرهنة الواحدة التي اتّكأ عليها كل جزء؛ (2) وأي نتائج الأجزاء الأول–الثالث تصمد من أجل المصفوفات شبه المعرَّفة الموجبة، وأيها يحتاج التعريف الموجب؛ (3) والجملة الفيزيائية التي تقطّر الأسئلة 20–22 تذبذباتها الصغيرة (بالطاقتين الحركية والكامنة بوصفهما الصيغتين)، وماذا تعني الأعداد $\mu_i$ هناك.

حل

حل المسألة 12.1.

1. $G$ متماثلة بتماثل الجداء السلّمي، و

X^{\mathsf T}GX = \sum_{i,j}x_ix_j\langle v_i, v_j\rangle = \Bigl\|\sum_i x_iv_i\Bigr\|^2 \geq 0 ,

مع المساواة إذا وفقط إذا $\sum x_iv_i = 0$ : أي إن $G$ معرَّفة إذا وفقط إذا كان التركيب المنعدم الوحيد هو المحايد، أي إذا وفقط إذا كانت العائلة مستقلة.

2. مع $B = \sqrt A$ (مع التمرين 12.6): $A = B^2 = B^{\mathsf T}B$ ، وهي مصفوفة غرام لأعمدة $B$ ؛ فنأخذ $C = B$ . و $X^{\mathsf T}AX = \norm{CX}^2$ ، ومنه فإن $A$ معرَّفة إذا وفقط إذا $CX \neq 0$ من أجل $X \neq 0$ ، إذا وفقط إذا كانت $C$ قابلة للقلب.

3. مقصور الصيغة على $\operatorname{Vect}(e_i, e_j)$ له المصفوفة $\begin{pmatrix} a_{ii} & a_{ij}\\ a_{ij} & a_{jj} \end{pmatrix}$ ، وهي ما تزال شبه معرَّفة موجبة: فمحددها (جداء قيمها الذاتية غير السالبة) $\geq 0$ : أي $a_{ij}^2 \leq a_{ii}a_{jj}$ . وهذه هي متراجحة كوشي–شوارتز من أجل المتجهات $v_i, v_j$ في تحقيق غرامي.

4. الوجود: نكتب $A$ بوصفها مصفوفة غرام لعائلة مستقلة $(v_1, \dots, v_n)$ (السؤالان 1–2). ويُنتج غرام–شميت أساسًا متعامدًا ممنظمًا $(e_1, \dots, e_n)$ يحقق

v_k = \sum_{i \leq k} t_{ik}\,e_i, \qquad t_{kk} = \bigl\| v_k - \operatorname{proj}_{k-1}v_k \bigr\| > 0 ,

ومن ثم تكون $T = (t_{ik})$ مثلثية عليا بقطر موجب، و

a_{jk} = \langle v_j, v_k\rangle = \sum_i t_{ij}t_{ik} = (T^{\mathsf T}T)_{jk} .

الوحدانية: إذا كان $T_1^{\mathsf T}T_1 = T_2^{\mathsf T}T_2$ فإن $R = T_1T_2^{-1}$ تحقق $R^{\mathsf T}R = I$ : أي إن $R$ متعامدة، وهي أيضًا مثلثية عليا بقطر موجب (جداء مصفوفتين كهاتين). وعندئذٍ تكون $R^{-1} = R^{\mathsf T}$ مثلثية عليا (مقلوب العليا) وسفلى (منقول العليا) معًا: أي قطرية؛ وللمصفوفة القطرية المتعامدة عناصر $\pm1$ ، وتفرض الإيجابية أن $R = I$ : أي $T_1 = T_2$ .

5. من أجل $i, j \leq k$ ، لا يشمل $(T^{\mathsf T}T)_{ij} = \sum_m t_{mi}t_{mj}$ إلا $m \leq \min(i,j) \leq k$ : ومن ثم فالكتلة الرائدة ذات القياس $k\times k$ من $A$ هي $T_k^{\mathsf T}T_k$ مع $T_k$ الكتلة الرائدة من $T$ . ومنه $\Delta_k = (\det T_k)^2 = (t_{11}\cdots t_{kk})^2$ . والآن لا يلقى اختزال غاوس لصيغة معرَّفة موجبة بالترتيب الطبيعي معاملَ مربّع معدومًا أبدًا (فالمحاور هي العناصر القطرية للكتل المعرَّفة الموجبة المختزَلة تباعًا): فهو يُنتج $q = \sum_k d_k\ell_k^2$ مع $\ell_k = x_k + (\text{حدود في } x_{k+1}, \dots)$ ، أي $A = L^{\mathsf T}DL$ مع $L$ مثلثية واحدية؛ وعندئذٍ تكون $T = \sqrt D\,L$ عامل تشوليسكي، ومن ثم بالوحدانية $t_{kk}^2 = d_k$ و

d_k = \frac{(t_{11}\cdots t_{kk})^2} {(t_{11}\cdots t_{k-1,k-1})^2} = \frac{\Delta_k}{\Delta_{k-1}} .

وعلى المثال 12.9: $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3 = 2, 3, 4$ وكانت المحاور $2, \frac32, \frac43$ .

6. كل $a_{ii} = e_i^{\mathsf T}Ae_i > 0$ . وليكن $D = \operatorname{diag}(a_{ii}^{-1/2})$ ولتكن $B = DAD$ : فهي معرَّفة موجبة (بالتوافق)، مع $b_{ii} = 1$ ، ومنه $\operatorname{tr} B = n$ . وتحقق قيمها الذاتية $\mu_i > 0$ ، بمتراجحة الحسابي والهندسي، أن

\det B = \prod_i\mu_i \leq \Bigl(\frac{\sum\mu_i}{n}\Bigr)^{\!n} = 1 ,

و $\det B = (\det D)^2\det A = \dfrac{\det A}{\prod a_{ii}}$ : أي $\det A \leq \prod a_{ii}$ .

7. تكون متراجحة الحسابي والهندسي مساواةً إذا وفقط إذا تساوت كل $\mu_i$ (بالقيمة $1$ )؛ والمصفوفة المتماثلة ذات القيمة الذاتية الوحيدة $1$ هي $PIP^{\mathsf T} = I$ . ومن ثم فالمساواة إذا وفقط إذا $B = I$ إذا وفقط إذا $a_{ij} = 0$ من أجل $i \neq j$ : أي إن $A$ قطرية.

8. إذا كانت $M$ شاذة فالطرفان $\geq 0 = \abs{\det M}$ . وإلا فإن $A = M^{\mathsf T}M$ معرَّفة موجبة مع $a_{ii} = \norm{c_i}^2$ و $\det A = (\det M)^2$ : فيعطي السؤال 6 أن $(\det M)^2 \leq \prod\norm{c_i}^2$ . والمساواة إذا وفقط إذا كانت $A = M^{\mathsf T}M$ قطرية (السؤال 7)، أي إذا وفقط إذا كانت الأعمدة متعامدة مثنى مثنى.

9. $\abs{\det M}$ هو حجم متوازي السطوح المولَّد بالأعمدة: فالحجم لا يتجاوز جداء أطوال الأحرف، مع المساواة عند صناديق مستطيلة بالضبط. وإذا كان $\abs{m_{ij}} \leq 1$ فإن $\norm{c_i} \leq \sqrt n$ ، ومنه $\abs{\det M} \leq n^{n/2}$ . (وبلوغه يفرض أعمدة متعامدة بعناصر $\pm1$ : أي مصفوفة هادامار.)

10. $X^{\mathsf T}A^{\mathsf T}AX = \norm{AX}^2 > 0$ من أجل $X \neq 0$ (لأن $A$ قابلة للقلب): أي إن $A^{\mathsf T}A$ معرَّفة موجبة. وجذرها التربيعي $S$ معرَّف موجب (بقيم ذاتية $\sqrt{\lambda_i} > 0$ )، ومن ثم فهو قابل للقلب، وتحقق $Q = AS^{-1}$ أن

Q^{\mathsf T}Q = S^{-1}A^{\mathsf T}AS^{-1} = S^{-1}S^2S^{-1} = I :

أي $A = QS$ مع $Q$ متعامدة و $S$ معرَّفة موجبة.

11. إذا كان $A = QS = Q'S'$ فإن $S'^{\,2} = S'^{\mathsf T}Q'^{\mathsf T}Q'S' = A^{\mathsf T}A = S^2$ ؛ ومصفوفتان شبه معرَّفتين موجبتين لهما المربّع نفسه تتطابقان (التمرين 12.6): أي $S' = S$ ، ثم $Q' = AS^{-1} = Q$ .

12. $\det(A + \varepsilon I)$ كثير حدود غير معدوم في $\varepsilon$ : فله عدد منته من الجذور، ومن ثم توجد متتالية $\varepsilon_k \to 0$ تتجنبها. ونكتب $A + \varepsilon_kI = Q_kS_k$ (السؤال 10). و $O(n)$ متراصة (التمرين 12.5): فتعطي متتالية جزئية $Q_{\varphi(k)} \to Q \in O(n)$ . وعندئذٍ

S_{\varphi(k)} = Q_{\varphi(k)}^{\mathsf T} \bigl(A + \varepsilon_{\varphi(k)}I\bigr) \longrightarrow Q^{\mathsf T}A =: S,

وهي متماثلة شبه معرَّفة موجبة بوصفها نهاية لمثيلاتها (فالشروط مغلقة)، و $A = QS$ . زيادةً على ذلك $S^2 = S^{\mathsf T}S = A^{\mathsf T}QQ^{\mathsf T}A = A^{\mathsf T}A$ ، ومنه $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ بالوحدانية. ومن أجل $A$ الشاذة، تكون $S$ شاذة ولا تكون $Q$ وحيدة: إذ يمكن تعديلها كيفما شئنا على $(\operatorname{im} S)^{\perp}$ — والحالة القصوى $A = 0$ ، حيث تفي كل مصفوفة متعامدة $Q$ بالغرض.

13. نقطّر $S = P\Sigma P^{\mathsf T}$ (بالمبرهنة الطيفية)، $\Sigma = \operatorname{diag}(\sigma_i)$ مع $\sigma_i \geq 0$ القيم الذاتية للمصفوفة $S = \sqrt{A^{\mathsf T}A}$ . عندئذٍ

A = QS = (QP)\,\Sigma\,P^{\mathsf T} = U\Sigma V^{\mathsf T}, \qquad U = QP,\ V = P \in O(n) .

14. $\norm{Ax}^2 = x^{\mathsf T}S^2x \leq \sigma_{\max}^2\norm x^2$ مع المساواة عند متجهة ذاتية عليا للمصفوفة $S$ : أي $\vertiii A_2 = \sigma_{\max}$ — ومن أجل $A$ المتماثلة، تكون للمصفوفة $S = \sqrt{A^2}$ القيم الذاتية $\abs{\lambda_i}$ ، فنستعيد التمرين 12.7. والمحدد: $\abs{\det A} = \abs{\det U}\det\Sigma\abs{\det V} = \sigma_1\cdots\sigma_n$ . والكرة: بكتابة $x = Vy$ مع $\norm y = 1$ ، تكون للمتجهة $Ax = U\Sigma y$ الإحداثيات $z_i = \sigma_iy_i$ في المعلم المتعامد الممنظم لأعمدة $U$ : فالصورة هي $\{\sum z_i^2/\sigma_i^2 = 1\}$ ، وهي مجسّم ناقص بأنصاف محاور $\sigma_i$ .

15. يحوّل دوران إلى المحاور الرئيسية (النتيجة 12.15) المقدارَ $f$ إلى $\lambda_1X^2 + \lambda_2Y^2 + \beta_1X + \beta_2Y + c$ ، مع $\lambda_1\lambda_2 = \det A$ . فإذا كان $\det A \neq 0$ ، امتصّ الحدود الخطية بالانسحاب $X \mapsto X - \frac{\beta_1}{2\lambda_1}$ (وكذلك $Y$ ): $\lambda_1X'^2 + \lambda_2Y'^2 = c'$ . ومن أجل $\det A > 0$ (بإشارتين متساويتين): قطع ناقص (إذا كان $c'$ بالإشارة الصحيحة)، أو نقطة، أو مجموعة خالية. ومن أجل $\det A < 0$ : قطع زائد ( $c' \neq 0$ ) أو مستقيمان متقاطعان. وإذا كان $\det A = 0$ بالرتبة $1$ (وليكن $\lambda_2 = 0 \neq \lambda_1$ ): $\lambda_1X'^2 + \beta_2Y + c''$ ، وهو قطع مكافئ حين $\beta_2 \neq 0$ ؛ وإلا فمستقيمان متوازيان، أو مستقيم واحد، أو مجموعة خالية. والأشكال غير المنحلّة: قطع ناقص، وقطع زائد، وقطع مكافئ، تحكمها إشارة $\det A$ .

16. للجزء التربيعي $x^2 + 4xy + y^2$ المصفوفةُ $\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ، وقيمتاها الذاتيتان $3$ و $-1$ باتجاهين متعامدين ممنظمين $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ، $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ . وفي الإحداثيات المُدارة $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ ، $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ : $x^2 + y^2 = u^2 + v^2$ ، $2xy = u^2 - v^2$ ، ومن ثم فالصيغة $3u^2 - v^2$ ، و $2x - 2y = 2\sqrt2\,v$ . وتصير المعادلة

3u^2 - v^2 + 2\sqrt2\,v = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 3u^2 - \bigl(v - \sqrt2\bigr)^2 = 2 :

أي قطع زائد، مركزه عند $(u, v) = (0, \sqrt2)$ ، أي $(x, y) = (1, -1)$ ، ومحاوره على امتداد المعلم المُدار.

17. $f(x) = (x - x_0)^{\mathsf T}A(x - x_0) + f(x_0)$ كلما كان $Ax_0 = -\frac b2$ ، أي $x_0 = -\frac12A^{-1}b$ : فينعدم تدرّج $f$ هناك بالضبط (فالنقطة $x_0$ مركز التناظر). ومع $M = \begin{pmatrix} I & x_0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ :

M^{\mathsf T}\widetilde QM = \begin{pmatrix} A & Ax_0 + \frac b2\\[2pt] \bigl(Ax_0 + \frac b2\bigr)^{\mathsf T} & x_0^{\mathsf T}Ax_0 + b^{\mathsf T}x_0 + c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0\\ 0 & f(x_0)\end{pmatrix},

و $\det M = 1$ : أي $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A$ . و تُقرأ المعادلة المركزية $q(X) = -f(x_0)$ : فمن أجل $f(x_0) = 0$ تنحلّ إلى $q(X) = 0$ (أي مستقيمين عبر المركز إذا كان التوقيع $(1,1)$ ، أو النقطة الوحيدة $x_0$ إذا كانت $q$ معرَّفة)؛ ومن أجل $f(x_0) \neq 0$ تكون المخروطية قطعًا ناقصًا حقيقيًا أو قطعًا زائدًا.

18. $A^{-1} = -\frac13\begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 & 1\end{pmatrix}$ ، $\frac b2 = (1, -1)$ : $x_0 = -A^{-1}\frac b2 = (1, -1)$ ، كما وُجد في السؤال 16. و $f(x_0) = q(1,-1) + 2 + 2 - 4 = (1 - 4 + 1) + 0 = -2 \neq 0$ ، و $\det\widetilde Q = f(x_0)\det A = (-2)(-3) = 6 \neq 0$ : فهي غير منحلّة؛ و $\det A = -3 < 0$ : أي قطع زائد — وفعلًا تطابق المعادلة المركزية $3u^2 - (v - \sqrt2)^2 = -f(x_0) = 2$ السؤالَ 16.

19. المصفوفة هي $(1-\lambda)I + \lambda J$ : والقيم الذاتية $1 + 2\lambda$ (بالاتجاه $(1,1,1)$ ) و $1 - \lambda$ (مضاعفة، على $x + y + z = 0$ ). والحالات:

$-\frac12 < \lambda < 1$ : كل القيم الذاتية موجبة: فمجسّم ناقص دوراني حول $(1,1,1)$ (وكرة من أجل $\lambda = 0$ )؛
$\lambda = 1$ : $q = (x+y+z)^2$ : فتعطي المعادلة المستويين المتوازيين $x + y + z = \pm1$ ؛
$\lambda = -\frac12$ : القيم الذاتية $0, \frac32, \frac32$ : فأسطوانة دائرية محورها $(1,1,1)$ ؛
$\lambda > 1$ : التوقيع $(1, 2)$ : فمجسّم زائد ذو طبقتين؛
$\lambda < -\frac12$ : التوقيع $(2, 1)$ : فمجسّم زائد ذو طبقة واحدة.

20. الصيغة القطبية للصيغة $q$ جداء سلّمي $\langle\cdot,\cdot\rangle_q$ على $E$ . ومن أجل $x$ ثابتة، تكون $y \mapsto \varphi'(x, y)$ (وهي الصيغة القطبية للصيغة $q'$ ) خطية، ومن ثم تساوي $\langle z_x, y\rangle_q$ من أجل $z_x$ وحيدة؛ و $u(x) := z_x$ خطي (بالوحدانية)، و $\langle u(x), y\rangle_q = \varphi'(x,y) = \varphi'(y,x) = \langle u(y), x\rangle_q$ : أي إن $u$ متماثل في الفضاء الإقليدي $(E, \langle\cdot,\cdot\rangle_q)$ . وتعطي المبرهنة الطيفية (المبرهنة 12.13) أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا من أجل $q$ ، أي $(\varepsilon_i)$ ، $u(\varepsilon_i) = \mu_i\varepsilon_i$ : وفيه $q(x) = \sum x_i^2$ و $q'(x) = \langle u(x), x\rangle_q = \sum\mu_ix_i^2$ .

21. لتكن $P$ مصفوفة ذلك الأساس: فيعطي التوافق أن $P^{\mathsf T}AP = I$ و $P^{\mathsf T}BP = \operatorname{diag}(\mu_i)$ . وعندئذٍ

\det(B - \mu A) = \det(P^{-\mathsf T}) \det\bigl(\operatorname{diag}(\mu_i) - \mu I\bigr) \det(P^{-1}) = (\det P)^{-2}\prod_i(\mu_i - \mu) :

فالأعداد $\mu_i$ هي جذور الحزمة $\det(B - \mu A)$ .

22. $\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -2\mu & 1-\mu\\ 1-\mu & -\mu\end{pmatrix} = 2\mu^2 - (1-\mu)^2 = \mu^2 + 2\mu - 1$ : بجذرين $\mu_\pm = -1 \pm \sqrt2$ . وبحلّ $(B - \mu_\pm A)v = 0$ : $v_\pm = (1 - \mu_\pm,\ 2\mu_\pm)$ (وتؤكد ذلك متطابقة السطر الثاني $(1-\mu)^2 = 2\mu^2$ عند الجذرين). وتخرج المعايير من أجل $A$ نظيفة: $q_A(v_\pm) = 2(1 + \mu_\pm^2)$ ، ويُتحقق من $\varphi_A(v_+, v_-) = 0$ باستعمال $\mu_+ + \mu_- = -2$ ، $\mu_+\mu_- = -1$ . والأساس $\Bigl(\frac{v_+}{\sqrt{2(1 + \mu_+^2)}}, \frac{v_-}{\sqrt{2(1+\mu_-^2)}}\Bigr)$ متعامد ممنظم من أجل $A$ ويقطّر $B$ بعناصر $\mu_\pm$ .

23. لو قطّرت مصفوفة قابلة للقلب $P$ ما الصيغتين معًا، لأعطى حساب السؤال 21 أن $\det(B - \mu A) = (\det P)^{-2}\prod(d_{2i} - \mu d_{1i})$ ، وهو كثير حدود حقيقي منحلّ إلى عوامل خطية حقيقية. لكن هنا

\det(B - \mu A) = \det\begin{pmatrix} -\mu & 1\\ 1 & \mu\end{pmatrix} = -\mu^2 - 1 ,

وهو من الدرجة $2$ بلا أي جذر حقيقي: وهو تناقض. (فالتوقيع اللورنتسي $A$ يقبل “دورانات” $B$ بلا محاور حقيقية.)

24. $A^{-1}B = A^{-1/2}\bigl(A^{-1/2}BA^{-1/2}\bigr) A^{1/2}$ مع $A^{1/2} = \sqrt A$ معرَّفة موجبة (التمرين 12.6): ومن ثم فإن $A^{-1}B$ مشابهة للمصفوفة المتماثلة $A^{-1/2}BA^{-1/2}$ ، فهي قابلة للتقطير بقيم ذاتية حقيقية. و $\det(B - \mu A) = \det A\cdot \det(A^{-1}B - \mu I)$ : فجذور الحزمة $\mu_i$ في السؤال 21 هي بالضبط القيم الذاتية للمصفوفة $A^{-1}B$ .

25. (1) اتّكأ كل جزء على المبرهنة الطيفية: عبر الجذر التربيعي (تشوليسكي والقطبي)، وحدود القيم الذاتية (هادامار)، والمحاور الرئيسية (المخروطيات)، و النسخة المكيَّفة على $q$ (الاختزال المتزامن). (2) وتصمد التحقيقات الغرامية وهادامار والتفكيك القطبي في عالم شبه المعرَّف؛ أما وحدانية تشوليسكي وصيغة المحاور والاختزال المتزامن فتحتاج التعريف الموجب (ويبيّن السؤالان 12 و23 كيف تفشل بالضبط). (3) والتذبذبات الصغيرة المقترنة: فالطاقة الحركية (معرَّفة موجبة) والطاقة الكامنة صيغتان تربيعيتان؛ وأساس السؤالين 20–22 هو الأنماط الطبيعية للجملة، والأعداد $\mu_i$ هي مربّعات التواترات الزاوية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد