حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى نصف قطر التقارب؟

تعريف 11.2 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 11 — متسلسلات القوى

نصف قطر التقارب للمتسلسلة ∑anzn\sum a_n z^n هو

R=sup⁡{r≥0:(anrn) محدودة}∈[0, +∞].R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ محدودة}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

وحسب المبرهنة المساعدة 11.1: التقارب المطلق من أجل ∣z∣<R\abs z < R (وناظمي على الأقراص الجزئية المتراصة)، والتباعد — بل عدم تحدّد الحدود — من أجل ∣z∣>R\abs z > R. وعلى الدائرة الحدّية، يمكن أن يحدث أي شيء (التمرين 11.2). وعمليًا يُحسب RR بمحك النسبة عند دالمبير على ∣an∣∣z∣n\abs{a_n}\abs z^n أو بالمقارنة.

أمثلة

مثال 11.3 (نصف قطر بلا محك نسبة)

ما نصف قطر ∑sin⁡(n) zn\sum \sin(n)\,z^n؟ ليس للنسبة ∣sin⁡(n+1)/sin⁡n∣\abs{\sin(n+1)/\sin n} نهاية، لكن التعريف يعمل مباشرةً. R≥1R \geq 1: ∣sin⁡n∣≤1\abs{\sin n} \leq 1، ومن ثم تكون (sin⁡n⋅rn)(\sin n\cdot r^n) محدودة من أجل كل r<1r < 1 — بل من أجل r=1r = 1. R≤1R \leq 1: يكفي أن يكون sin⁡n↛0\sin n \not\to 0. ولنفترض sin⁡n→0\sin n \to 0؛ فصيغة الجمع

sin⁡(n+1)=sin⁡ncos⁡1+cos⁡nsin⁡1\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

كانت ستفرض cos⁡n→0\cos n \to 0 (بالحلّ من أجل cos⁡n\cos n: sin⁡1≠0\sin 1 \neq 0)، وهذا يناقض sin⁡2n+cos⁡2n=1\sin^2 n + \cos^2 n = 1. ومن ثم فالحدود sin⁡(n) 1n\sin(n)\,1^n لا تؤول إلى 00: فتتباعد المتسلسلة عند z=1z = 1، ويكون R≤1R \leq 1. والخلاصة: R=1R = 1. والفكرة الختامية: نصف القطر قولٌ في كون ∣an∣rn\abs{a_n}r^n محدودة — ولا يُطلب أبدًا وجود نهاية للنسب، وتحسم حجج الحدّية حالات لا يستطيع محك النسبة أن يلمسها (وقارِن بالمعاملات المتذبذبة في التمرين 11.1).

مثال 11.6 (الضرب في 11−x\frac{1}{1-x} يجمع المعاملات)

لجداء كوشي في مقابل المتسلسلة الهندسية معنى جدير بالتذكّر: فمن أجل أي ∑anxn\sum a_nx^n نصف قطرها R>0R > 0 ومن أجل ∣x∣<min⁡(R,1)\abs x < \min(R, 1)،

11−x∑n≥0anxn=∑n≥0(∑k=0nak)xn:\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

فالضرب في 11−x\frac{1}{1-x} يعوّض المعاملات بمجاميعها الجزئية (أي الالتفاف مع متتالية الواحدات). ومثال: ex1−x=∑nsnxn\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n مع sn=∑k≤n1k!s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}، وهي المجاميع الجزئية للمقدار e\eu — وقارِن بالمثال التمرين 11.11، حيث يرمّز الجداء نفسه مع e−x\eu^{-x} أعدادَ الاختلالات. والفكرة الختامية: العمليات على متسلسلات القوى عملياتٌ على متتاليات المعاملات متخفية (فالضرب في 11−x\frac1{1-x}: جمع؛ والضرب في xx: إزاحة؛ والاشتقاق: ضرب في nn وإزاحة) — وهو معجم سيقرؤه فصل الدوال المولّدة بطلاقة.

مثال 11.20 (صيغة بينيه، منفَّذةً)

ليكن φ=1+52\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} وψ=1−52\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}، وهما جذرا X2=X+1X^2 = X + 1؛ وبما أن φ+ψ=1\varphi + \psi = 1 وφψ=−1\varphi\psi = -1،

1−x−x2=(1−φx)(1−ψx).1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

والكسور الجزئية: بالبحث عن x(1−φx)(1−ψx)=A1−φx+B1−ψx\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}، يعطي الحدّ الثابت A+B=0A + B = 0 ويعطي معامل xx أن −Aψ−Bφ=1-A\psi - B\varphi = 1، ومنه A(φ−ψ)=1A(\varphi - \psi) = 1: أي A=15=−BA = \frac{1}{\sqrt5} = -B. وبعد متسلسلتين هندسيتين،

F(x)=15∑n≥0(φn−ψn)xn⟹Fn=φn−ψn5F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

بوحدانية المعاملات (المبرهنة 11.7). وبما أن ∣ψ∣<1\abs\psi < 1، فإن الحدّ ψn5\frac{\psi^n}{\sqrt5} قيمته المطلقة <12< \frac12: أي إن FnF_n هو أقرب عدد صحيح إلى φn5\frac{\varphi^n}{\sqrt5}. والفكرة الختامية: نصف القطر 1φ\frac1\varphi للدالة FF هو مقلوب الجذر المهيمن — فنموّ المعاملات ونصف قطر التقارب هما المعلومة نفسها مقروءةً في اتجاهين متعاكسين.

اقرأ في الفصل ←