ما معنى نصف قطر التقارب؟ — الرياضيات

تعريف 11.2 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 11 — متسلسلات القوى

نصف قطر التقارب للمتسلسلة $\sum a_n z^n$ هو

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ محدودة}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

وحسب المبرهنة المساعدة 11.1: التقارب المطلق من أجل $\abs z < R$ (وناظمي على الأقراص الجزئية المتراصة)، والتباعد — بل عدم تحدّد الحدود — من أجل $\abs z > R$ . وعلى الدائرة الحدّية، يمكن أن يحدث أي شيء (التمرين 11.2). وعمليًا يُحسب $R$ بمحك النسبة عند دالمبير على $\abs{a_n}\abs z^n$ أو بالمقارنة.

أمثلة

مثال 11.3 (نصف قطر بلا محك نسبة)

ما نصف قطر $\sum \sin(n)\,z^n$ ؟ ليس للنسبة $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ نهاية، لكن التعريف يعمل مباشرةً. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ ، ومن ثم تكون $(\sin n\cdot r^n)$ محدودة من أجل كل $r < 1$ — بل من أجل $r = 1$ . $R \leq 1$ : يكفي أن يكون $\sin n \not\to 0$ . ولنفترض $\sin n \to 0$ ؛ فصيغة الجمع

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

كانت ستفرض $\cos n \to 0$ (بالحلّ من أجل $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ )، وهذا يناقض $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . ومن ثم فالحدود $\sin(n)\,1^n$ لا تؤول إلى $0$ : فتتباعد المتسلسلة عند $z = 1$ ، ويكون $R \leq 1$ . والخلاصة: $R = 1$ . والفكرة الختامية: نصف القطر قولٌ في كون $\abs{a_n}r^n$ محدودة — ولا يُطلب أبدًا وجود نهاية للنسب، وتحسم حجج الحدّية حالات لا يستطيع محك النسبة أن يلمسها (وقارِن بالمعاملات المتذبذبة في التمرين 11.1).

مثال 11.6 (الضرب في $\frac{1}{1-x}$ يجمع المعاملات)

لجداء كوشي في مقابل المتسلسلة الهندسية معنى جدير بالتذكّر: فمن أجل أي $\sum a_nx^n$ نصف قطرها $R > 0$ ومن أجل $\abs x < \min(R, 1)$ ،

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

فالضرب في $\frac{1}{1-x}$ يعوّض المعاملات بمجاميعها الجزئية (أي الالتفاف مع متتالية الواحدات). ومثال: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ مع $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ ، وهي المجاميع الجزئية للمقدار $\eu$ — وقارِن بالمثال التمرين 11.11، حيث يرمّز الجداء نفسه مع $\eu^{-x}$ أعدادَ الاختلالات. والفكرة الختامية: العمليات على متسلسلات القوى عملياتٌ على متتاليات المعاملات متخفية (فالضرب في $\frac1{1-x}$ : جمع؛ والضرب في $x$ : إزاحة؛ والاشتقاق: ضرب في $n$ وإزاحة) — وهو معجم سيقرؤه فصل الدوال المولّدة بطلاقة.

مثال 11.20 (صيغة بينيه، منفَّذةً)

ليكن $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ و $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ ، وهما جذرا $X^2 = X + 1$ ؛ وبما أن $\varphi + \psi = 1$ و $\varphi\psi = -1$ ،

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

والكسور الجزئية: بالبحث عن $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ ، يعطي الحدّ الثابت $A + B = 0$ ويعطي معامل $x$ أن $-A\psi - B\varphi = 1$ ، ومنه $A(\varphi - \psi) = 1$ : أي $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . وبعد متسلسلتين هندسيتين،

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

بوحدانية المعاملات (المبرهنة 11.7). وبما أن $\abs\psi < 1$ ، فإن الحدّ $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ قيمته المطلقة $< \frac12$ : أي إن $F_n$ هو أقرب عدد صحيح إلى $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . والفكرة الختامية: نصف القطر $\frac1\varphi$ للدالة $F$ هو مقلوب الجذر المهيمن — فنموّ المعاملات ونصف قطر التقارب هما المعلومة نفسها مقروءةً في اتجاهين متعاكسين.

اقرأ في الفصل ←