Apa itu Jari-jari kekonvergenan? — Matematika

Definisi 11.2 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 11 — Deret Pangkat

Jari-jari kekonvergenan bagi $\sum a_n z^n$ adalah

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ terbatas}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

Menurut Lema 11.1: kekonvergenan mutlak untuk $\abs z < R$ (dan normal pada subcakram kompak), sedangkan kedivergenan — bahkan suku yang tak terbatas — untuk $\abs z > R$ . Pada lingkaran batasnya, apa saja bisa terjadi (Latihan 11.2). Dalam praktik $R$ dihitung lewat uji rasio d’Alembert pada $\abs{a_n}\abs z^n$ atau lewat pembandingan.

Contoh

Contoh 11.3 (Sebuah jari-jari tanpa uji rasio)

Berapa jari-jari $\sum \sin(n)\,z^n$ ? Rasio $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ tak berlimit, tetapi definisinya bekerja secara langsung. $R \geq 1$ : sebab $\abs{\sin n} \leq 1$ , jadi $(\sin n\cdot r^n)$ terbatas untuk setiap $r < 1$ — bahkan untuk $r = 1$ . $R \leq 1$ : cukuplah bahwa $\sin n \not\to 0$ . Andaikan $\sin n \to 0$ ; maka rumus penjumlahan

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

akan memaksa $\cos n \to 0$ (selesaikan untuk $\cos n$ , sebab $\sin 1 \neq 0$ ), yang bertentangan dengan $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Jadi suku $\sin(n)\,1^n$ tidak menuju $0$ : sehingga deretnya divergen di $z = 1$ , dan $R \leq 1$ . Kesimpulannya: $R = 1$ . Pelajaran penutupnya: jari-jarinya adalah pernyataan tentang keterbatasan $\abs{a_n}r^n$ — jadi limit rasio tak pernah diperlukan, dan hujah keterbatasan menyelesaikan kasus yang tak tersentuh uji rasio (bandingkan dengan koefisien berayun pada Latihan 11.1).

Contoh 11.6 (Mengalikan dengan $\frac{1}{1-x}$ menjumlahkan koefisiennya)

Hasil kali Cauchy terhadap deret geometri punya makna yang mudah diingat: untuk sembarang $\sum a_nx^n$ berjari-jari $R > 0$ dan $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

jadi mengalikan dengan $\frac{1}{1-x}$ mengganti koefisiennya dengan jumlah parsialnya (yakni mengonvolusikannya dengan barisan yang semua sukunya satu). Contohnya: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ dengan $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , yakni jumlah parsial $\eu$ — bandingkan dengan Latihan 11.11, tempat hasil kali yang sama dengan $\eu^{-x}$ menyandikan cacah permutasi tanpa titik tetap. Pelajaran penutupnya: operasi pada deret pangkat adalah operasi pada barisan koefisien yang menyamar (kalikan dengan $\frac1{1-x}$ : menjumlahkan; kalikan dengan $x$ : menggeser; turunkan: mengalikan dengan $n$ lalu menggeser) — yakni kamus yang kelak dibaca fasih oleh bab fungsi pembangkit.

Contoh 11.20 (Rumus Binet, dikerjakan)

Misalkan $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ dan $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , yakni akar $X^2 = X + 1$ ; karena $\varphi + \psi = 1$ dan $\varphi\psi = -1$ , berlaku

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Pecahan parsialnya: dengan mencari $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , suku tetapnya memberi $A + B = 0$ dan koefisien $x$ -nya $-A\psi - B\varphi = 1$ , sehingga $A(\varphi - \psi) = 1$ : jadi $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Dua deret geometri kemudian,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

berkat ketunggalan koefisiennya (Teorema 11.7). Karena $\abs\psi < 1$ , suku $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ bernilai mutlak $< \frac12$ : jadi $F_n$ adalah bilangan bulat terdekat dari $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Pelajaran penutupnya: jari-jari $\frac1\varphi$ milik $F$ adalah kebalikan akar dominannya — jadi pertumbuhan koefisien dan jari-jari kekonvergenan adalah informasi yang sama, dibaca dari arah yang berlawanan.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait