¿Qué es Radio de convergencia?

Ejemplo 11.3 (Un radio sin criterio del cociente)

¿Cuál es el radio de $\sum \sin(n)\,z^n$? El cociente $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ no tiene límite, pero la definición funciona directamente. $R \geq 1$: $\abs{\sin n} \leq 1$, luego $(\sin n\cdot r^n)$ está acotada para todo $r < 1$ —de hecho, para $r = 1$—. $R \leq 1$: basta con que $\sin n \not\to 0$. Supongamos $\sin n \to 0$; la fórmula de adición

forzaría $\cos n \to 0$ (despejando $\cos n$, pues $\sin 1 \neq 0$), en contra de $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$. Así pues, los términos $\sin(n)\,1^n$ no tienden a $0$: la serie diverge en $z = 1$ y $R \leq 1$. Conclusión: $R = 1$. Moraleja: el radio es un enunciado sobre la acotación de $\abs{a_n}r^n$; nunca hace falta ningún límite de cocientes, y los argumentos de acotación zanjan casos que el criterio del cociente ni siquiera toca (compárese con los coeficientes oscilantes del Ejercicio 11.1).

Ejemplo 11.6 (Multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ suma los coeficientes)

Un producto de Cauchy contra la serie geométrica tiene un significado memorable: para toda $\sum a_nx^n$ de radio $R > 0$ y $\abs x < \min(R, 1)$,

multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ sustituye los coeficientes por sus sumas parciales (convolución con la sucesión de unos). Ejemplo: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ con $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$, las sumas parciales de $\eu$; compárese con el Ejercicio 11.11, donde el mismo producto con $\eu^{-x}$ codifica los recuentos de desarreglos. Moraleja: las operaciones sobre series de potencias son operaciones sobre sucesiones de coeficientes disfrazadas (multiplicar por $\frac1{1-x}$: sumar; multiplicar por $x$: desplazar; derivar: multiplicar por $n$ y desplazar), un diccionario que el capítulo de funciones generatrices leerá con soltura.

Ejemplo 11.20 (La fórmula de Binet, ejecutada)

Sean $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ y $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$, las raíces de $X^2 = X + 1$; como $\varphi + \psi = 1$ y $\varphi\psi = -1$,

Fracciones simples: buscando $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$, el término constante da $A + B = 0$ y el coeficiente en $x$ da $-A\psi - B\varphi = 1$, luego $A(\varphi - \psi) = 1$: $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$. Dos series geométricas después,

por la unicidad de los coeficientes (Teorema 11.7). Como $\abs\psi < 1$, el término $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ tiene valor absoluto $< \frac12$: $F_n$ es el entero más próximo a $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$. Moraleja: el radio $\frac1\varphi$ de $F$ es el inverso de la raíz dominante; el crecimiento de los coeficientes y el radio de convergencia son la misma información leída en direcciones opuestas.