Wat is Convergentiestraal? — Wiskunde

Definitie 11.2 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 11 — Machtreeksen

De convergentiestraal van $\sum a_n z^n$ is

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ begrensd}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

Volgens Lemma 11.1: absolute convergentie voor $\abs z < R$ (normaal op compacte deelschijven), en divergentie — zelfs onbegrensde termen — voor $\abs z > R$ . Op de randcirkel kan alles gebeuren (Oefening 11.2). In de praktijk wordt $R$ berekend met de quotiënttest van d’Alembert op $\abs{a_n}\abs z^n$ of met een vergelijking.

Voorbeelden

Voorbeeld 11.3 (Een straal zonder quotiënttest)

Wat is de straal van $\sum \sin(n)\,z^n$ ? Het quotiënt $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ heeft geen limiet, maar de definitie werkt rechtstreeks. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , dus is $(\sin n\cdot r^n)$ begrensd voor elke $r < 1$ — zelfs voor $r = 1$ . $R \leq 1$ : het volstaat dat $\sin n \not\to 0$ . Stel dat $\sin n \to 0$ ; dan zou de somformule

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

afdwingen dat $\cos n \to 0$ (los op naar $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ ), in strijd met $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . De termen $\sin(n)\,1^n$ gaan dus niet naar $0$ : de reeks divergeert in $z = 1$ , en $R \leq 1$ . Besluit: $R = 1$ . Het inzicht om te onthouden: de straal is een uitspraak over de begrensdheid van $\abs{a_n}r^n$ — er is nooit een limiet van quotiënten nodig, en begrensdheidsargumenten beslissen gevallen die de quotiënttest niet kan aanraken (vergelijk de oscillerende coëfficiënten van Oefening 11.1).

Voorbeeld 11.6 (Vermenigvuldigen met $\frac{1}{1-x}$ sommeert de coëfficiënten)

Een Cauchy-product tegen de meetkundige reeks heeft een gedenkwaardige betekenis: voor elke $\sum a_nx^n$ met straal $R > 0$ en $\abs x < \min(R, 1)$ is

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

vermenigvuldigen met $\frac{1}{1-x}$ vervangt de coëfficiënten door hun partiële sommen (convolueer met de rij vol enen). Voorbeeld: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ met $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , de partiële sommen van $\eu$ — vergelijk Oefening 11.11, waar hetzelfde product met $\eu^{-x}$ de aantallen derangementen codeert. Het inzicht om te onthouden: bewerkingen op machtreeksen zijn vermomde bewerkingen op rijen van coëfficiënten (vermenigvuldigen met $\frac1{1-x}$ : sommeren; vermenigvuldigen met $x$ : verschuiven; differentiëren: met $n$ vermenigvuldigen en verschuiven) — een woordenboek dat het hoofdstuk over genererende functies vloeiend zal lezen.

Voorbeeld 11.20 (De formule van Binet, uitgevoerd)

Zij $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ en $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , de nulpunten van $X^2 = X + 1$ ; omdat $\varphi + \psi = 1$ en $\varphi\psi = -1$ , is

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Breuksplitsing: zoeken we $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , dan geeft de constante term $A + B = 0$ en de coëfficiënt van $x$ dat $-A\psi - B\varphi = 1$ , dus $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Twee meetkundige reeksen later is

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

wegens de eenduidigheid van de coëfficiënten (Stelling 11.7). Omdat $\abs\psi < 1$ , heeft de term $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ absolute waarde $< \frac12$ : $F_n$ is dus het dichtstbijzijnde gehele getal bij $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Het inzicht om te onthouden: de straal $\frac1\varphi$ van $F$ is het omgekeerde van het dominante nulpunt — de groei van de coëfficiënten en de convergentiestraal zijn dezelfde informatie, in tegengestelde richting gelezen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen