अभिसरण त्रिज्या क्या है?

उदाहरण 11.3 (बिना अनुपात जाँच के एक त्रिज्या)

$\sum \sin(n)\,z^n$ की त्रिज्या क्या है? अनुपात $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ की कोई सीमा नहीं है, परंतु परिभाषा सीधे काम कर जाती है। $R \geq 1$: $\abs{\sin n} \leq 1$, अतः $(\sin n\cdot r^n)$ प्रत्येक $r < 1$ के लिए — वस्तुतः $r = 1$ के लिए — परिबद्ध है। $R \leq 1$: इतना ही पर्याप्त है कि $\sin n \not\to 0$। मान लीजिए $\sin n \to 0$; तब योग-सूत्र

$\cos n \to 0$ को बाध्य कर देता (उसे $\cos n$ के लिए हल कीजिए: $\sin 1 \neq 0$), जो $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ के विरुद्ध है। अतः पद $\sin(n)\,1^n$ $0$ की ओर नहीं जाते: श्रेणी $z = 1$ पर अपसरित होती है, और $R \leq 1$। निष्कर्ष: $R = 1$। समापन दृष्टि: त्रिज्या $\abs{a_n}r^n$ के परिबद्ध होने के बारे में कथन है — अनुपातों की किसी सीमा की कभी आवश्यकता नहीं, और परिबद्धता के तर्क वे स्थितियाँ निपटा देते हैं जिन्हें अनुपात जाँच छू भी नहीं सकती (अभ्यास 11.1 के दोलनशील गुणांकों से तुलना कीजिए)।

उदाहरण 11.6 ($\frac{1}{1-x}$ से गुणा करने पर गुणांकों का योग बन जाता है)

गुणोत्तर श्रेणी के विरुद्ध कोशी गुणनफल का एक स्मरणीय अर्थ है: त्रिज्या $R > 0$ वाली किसी भी $\sum a_nx^n$ तथा $\abs x < \min(R, 1)$ के लिए

अर्थात् $\frac{1}{1-x}$ से गुणा करने पर गुणांकों के स्थान पर उनके आंशिक योग आ जाते हैं (सर्व-एक अनुक्रम के साथ संवलन)। उदाहरण: $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ के साथ $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$, जो $\eu$ के आंशिक योग हैं — इसकी तुलना अभ्यास 11.11 से कीजिए, जहाँ $\eu^{-x}$ के साथ वही गुणनफल अव्यवस्थापन-गणना संकेतित करता है। समापन दृष्टि: घात श्रेणियों पर संक्रियाएँ भेस बदली हुई गुणांक-अनुक्रमों पर संक्रियाएँ हैं ($\frac1{1-x}$ से गुणा: योग; $x$ से गुणा: स्थानांतरण; अवकलन: $n$ से गुणा और स्थानांतरण) — और जनक फलनों वाला अध्याय इस शब्दकोश को धाराप्रवाह पढ़ेगा।

उदाहरण 11.20 (बिने का सूत्र, करके दिखाया गया)

मान लीजिए $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ और $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$, जो $X^2 = X + 1$ के मूल हैं; और चूँकि $\varphi + \psi = 1$ तथा $\varphi\psi = -1$,

आंशिक भिन्न: $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ खोजने पर अचर पद $A + B = 0$ देता है और $x$-गुणांक $-A\psi - B\varphi = 1$, अतः $A(\varphi - \psi) = 1$: $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$। दो गुणोत्तर श्रेणियों के बाद,

गुणांकों की अद्वितीयता (प्रमेय 11.7) से। और चूँकि $\abs\psi < 1$, पद $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ का निरपेक्ष मान $< \frac12$ है: अतः $F_n$ $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ के निकटतम पूर्णांक है। समापन दृष्टि: $F$ की त्रिज्या $\frac1\varphi$ प्रबल मूल का व्युत्क्रम है — गुणांकों की वृद्धि और अभिसरण त्रिज्या एक ही सूचना हैं, बस विपरीत दिशाओं में पढ़ी हुई।