باقٍ কী?

مثال 17.7 (الأنماط التكاملية الكلاسيكية الأربعة)

(a) الكسرية على $\R$: من أجل $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$، نغلق بنصف دائرة كبيرة $S_R$ في نصف المستوي العلوي: فيكون المقدار المكامَل من رتبة $O(R^{-4})$ هناك، ومنه $\int_{S_R} \to 0$ (بمتراجحة $ML$)، وتعطي مبرهنة البواقي مع الأقطاب $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (وهي بسيطة، وبواقيها $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ عند قطب)

(b) النمط الفورييهي: من أجل $t \geq 0$، $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — إذ يصلح نصف الدائرة العلوي لأن $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ هناك؛ وبأخذ الأجزاء الحقيقية: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$، فتُسدَّد الصيغة المسلَّم بها في التمرين 10.10. (c) المثلثية على دور: نعوّض $z = \eu^{\iu t}$ و $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ و $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$: فيصير $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ (حيث $a > 1$) عدَّ بواقٍ داخل الدائرة الواحدية (التمرين 17.2). (d) المتسلسلات: نزاوج $f$ مع $\pi\cot(\pi z)$، وأقطابها هي الأعداد الصحيحة بباقٍ $1$: وتجمع مسألة نهاية الأسبوع $\sum n^{-2}$ و $\sum n^{-4}$ بهذه الطريقة.