ما معنى متسلسلة؟ — الرياضيات

تعريف 17.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · الفصل 17 — المتسلسلات العددية

من أجل متتالية $(u_n)$ ، تكون المتسلسلة $\sum u_n$ هي متتالية المجاميع الجزئية $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ . وتتقارب المتسلسلة إذا تقاربت $(S_N)$ ؛ وتكون النهاية هي المجموع $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ ، ويكون $R_N = \sum_{n > N} u_n = S - S_N$ هو الباقي، وهو يؤول إلى $0$ .

أمثلة

مثال 17.2 (المتسلسلة الهندسية)

من أجل $q \in \C$ : $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ( $q \neq 1$ ). وتتقارب المتسلسلة إذا وفقط إذا كان $\abs q < 1$ (التمرين 11.3)، مع

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} .

مثال 17.3 (الأعداد العشرية الدورية متسلسلات هندسية)

ما العدد $0.363636\dots$ ؟ إن كتابته نفسها متسلسلة:

0.\overline{36} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{36}{100^k} = 36\cdot\frac{1/100}{1 - 1/100} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} ,

بالمجموع الهندسي مع $q = \frac{1}{100}$ . وعمومًا فإن كتلة $B$ من $p$ رقمًا تتكرر إلى الأبد تساوي $\frac{B}{10^p - 1}$ — وهي الآلية وراء محك الدورية في المسألة 10.1، الذي تذكره لغة هذا الفصل أخيرًا في سطر واحد: فالنشر العشري متسلسلة متقاربة، دورية في النهاية إذا وفقط إذا كان مجموعها ناطقًا. وقد كانت آلة الأرقام في الفصل 10، المبنية هناك بالحدود العليا العارية، نظريةَ متسلسلات مسافرةً متنكّرة.

مثال 17.5 (تخطيط الأرقام بالباقي الهندسي)

من أجل $\abs q < 1$ يكون باقي المتسلسلة الهندسية صريحًا:

R_N = \sum_{n = N+1}^{\infty} q^n = \frac{q^{N+1}}{1 - q} .

وهذا يحوّل أهداف الدقة إلى أعداد حدود قبل أيّ حساب. فلتقويم $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ بدقة $10^{-10}$ : نحتاج إلى $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$ ، أي $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$ ، أي $N \geq 22$ (لأن $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$ ): أي ثلاثة وعشرون حدًّا، معلومة مسبقًا. وكل تقدير بسرعة هندسية في مسائل نهاية الأسبوع (متسلسلة $\frac13$ من أجل $\ln 2$ ، وظلال ماشان العكسية في المسألة 16.1) هو هذه الميزانية ذات السطرين في ثوب احترافي.

اقرأ في الفصل ←