O que é série?

Exemplo 17.2 (Série geométrica)

Para $q \in \C$: $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ($q \neq 1$). A série converge se e somente se $\abs q < 1$ (Exercício 11.3), com

Exemplo 17.3 (Decimais periódicas são séries geométricas)

Que número é $0.363636\dots$? A sua própria escrita é uma série:

pela soma geométrica com $q = \frac{1}{100}$. Em geral um bloco $B$ de $p$ dígitos que se repete indefinidamente vale $\frac{B}{10^p - 1}$ — o mecanismo por trás do critério de periodicidade do Problema 10.1, que a linguagem deste capítulo finalmente enuncia em uma linha: uma expansão decimal é uma série convergente, eventualmente periódica exatamente quando a sua soma é racional. A maquinaria dos dígitos do Capítulo 10, construída lá com meros supremos, era a teoria das séries viajando incógnita.

Exemplo 17.5 (Planejar dígitos com o resto geométrico)

Para $\abs q < 1$ o resto da série geométrica é explícito:

Isso converte metas de precisão em contagens de termos antes de qualquer cálculo. Para avaliar $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ com erro inferior a $10^{-10}$: é preciso $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$, isto é, $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$, isto é, $N \geq 22$ (pois $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$): vinte e três termos, conhecidos de antemão. Toda estimativa de taxa geométrica dos problemas de fim de semana (a série em $\frac13$ para $\ln 2$, os arco-tangentes de Machin do Problema 16.1) é este orçamento de duas linhas em traje profissional.