Qu'est-ce que « série » ?

Exemple 17.2 (Série géométrique)

Pour $q \in \C$ : $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ($q \neq 1$). La série converge si et seulement si $\abs q < 1$ (Exercice 11.3), avec

Exemple 17.3 (Les décimaux périodiques sont des séries géométriques)

Que vaut $0.363636\dots$ ? Son écriture même est une série :

par la somme géométrique de raison $q = \frac{1}{100}$. En général, un bloc $B$ de $p$ chiffres répété indéfiniment vaut $\frac{B}{10^p - 1}$ — le mécanisme derrière le critère de périodicité du Problème 10.1, que le langage de ce chapitre énonce enfin en une ligne : un développement décimal est une série convergente, périodique à partir d’un certain rang exactement lorsque sa somme est rationnelle. La machinerie des chiffres du chapitre 10, bâtie là-bas avec de simples bornes supérieures, était de la théorie des séries voyageant incognito.

Exemple 17.5 (Prévoir les décimales avec le reste géométrique)

Pour $\abs q < 1$, le reste de la série géométrique est explicite :

Cela convertit un objectif de précision en un nombre de termes, avant tout calcul. Pour évaluer $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ à $10^{-10}$ près : il faut $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$, c’est-à-dire $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$, c’est-à-dire $N \geq 22$ (car $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$) : vingt-trois termes, connus à l’avance. Toute estimation à vitesse géométrique des devoirs maison (la série en $\frac13$ pour $\ln 2$, les arctangentes de Machin dans le Problème 16.1) est ce budget de deux lignes en habit de professionnel.