श्रेणी क्या है? — गणित

परिभाषा 17.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 17 — संख्यात्मक श्रेणी

अनुक्रम $(u_n)$ दिया हो, तो श्रेणी $\sum u_n$ आंशिक योगों $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ का अनुक्रम है। $(S_N)$ के अभिसरित होने पर श्रेणी अभिसरित होती है; सीमा योग $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$ है, और $R_N = \sum_{n > N} u_n = S - S_N$ शेषफल है, जो $0$ की ओर जाता है।

उदाहरण

उदाहरण 17.2 (गुणोत्तर श्रेणी)

$q \in \C$ के लिए: $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ( $q \neq 1$ )। श्रेणी अभिसरित होती है तभी जब $\abs q < 1$ (अभ्यास 11.3), जहाँ

\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1 - q} .

उदाहरण 17.3 (आवर्ती दशमलव गुणोत्तर श्रेणी हैं)

$0.363636\dots$ कौन-सी संख्या है? उसका लेखन ही एक श्रेणी है:

0.\overline{36} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{36}{100^k} = 36\cdot\frac{1/100}{1 - 1/100} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11} ,

जो $q = \frac{1}{100}$ वाले गुणोत्तर योग से मिलता है। व्यापक रूप से, $p$ अंकों का सदा दोहराता खंड $B$ $\frac{B}{10^p - 1}$ के बराबर है — यही क्रियाविधि समस्या 10.1 की आवर्तिता कसौटी के पीछे थी, जिसे इस अध्याय की भाषा अंततः एक पंक्ति में कह देती है: दशमलव प्रसार एक अभिसारी श्रेणी है, जो ठीक तब अंततः आवर्ती होती है जब उसका योग परिमेय हो। अध्याय 10 की अंक-मशीनरी, जो वहाँ नंगे उच्चतमों से बनी थी, वेश बदलकर चलती श्रेणी-थ्योरी ही थी।

उदाहरण 17.5 (गुणोत्तर शेषफल से अंकों की योजना)

$\abs q < 1$ के लिए गुणोत्तर श्रेणी का शेषफल स्पष्ट है:

R_N = \sum_{n = N+1}^{\infty} q^n = \frac{q^{N+1}}{1 - q} .

इससे यथार्थता के लक्ष्य किसी भी संगणना से पहले पद-संख्या में बदल जाते हैं। $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ का मान $10^{-10}$ के भीतर निकालने के लिए: $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$ चाहिए, अर्थात् $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$ , अर्थात् $N \geq 22$ (क्योंकि $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$ ): अतः तेईस पद, और वह भी पहले से ज्ञात। सप्ताहांत समस्याओं का हर गुणोत्तर-दर वाला आकलन ( $\ln 2$ के लिए $\frac13$ -श्रेणी, समस्या 16.1 में मैकिन की प्रतिलोम स्पर्शज्याएँ) यही दो पंक्ति का बजट है, बस पेशेवर पोशाक में।

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