Apa itu deret?

Contoh 17.2 (Deret geometri)

Untuk $q \in \C$: $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ (dengan $q \neq 1$). Deretnya konvergen jika dan hanya jika $\abs q < 1$ (Latihan 11.3), dengan

Contoh 17.3 (Desimal yang periodik adalah deret geometri)

Bilangan apakah $0.363636\dots$? Penulisannya sendiri sebuah deret:

menurut jumlah geometrinya dengan $q = \frac{1}{100}$. Secara umum sebuah blok $B$ berisi $p$ angka yang berulang selamanya bernilai $\frac{B}{10^p - 1}$ — yaitu mekanisme di balik kriteria keperiodikan pada Soal 10.1, yang akhirnya dinyatakan bahasa bab ini dalam satu baris: bahwa ekspansi desimal merupakan deret yang konvergen, yang periodik pada akhirnya tepat ketika jumlahnya rasional. Jadi mesin angka Bab 10, yang dibangun di sana dengan supremum telanjang, sebenarnya teori deret yang menyamar.

Contoh 17.5 (Merencanakan angka dengan sisa geometrinya)

Untuk $\abs q < 1$ sisa deret geometrinya bersifat eksplisit:

Ini mengubah sasaran ketelitian menjadi cacah suku sebelum perhitungan apa pun. Untuk menilai $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ dalam jarak $10^{-10}$: kita memerlukan $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$, yakni $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$, yakni $N \geq 22$ (karena $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$): jadi dua puluh tiga suku, yang diketahui di muka. Adapun setiap taksiran berlaju geometri pada soal akhir pekannya (yaitu deret $\frac13$ bagi $\ln 2$, dan arkus tangen Machin pada Soal 16.1) merupakan anggaran dua baris ini dalam pakaian profesional.