¿Qué es serie?

Ejemplo 17.2 (Series geométricas)

Para $q \in \C$: $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ($q \neq 1$). La serie converge si y solo si $\abs q < 1$ (Ejercicio 11.3), con

Ejemplo 17.3 (Los decimales periódicos son series geométricas)

¿Qué número es $0.363636\dots$? Su propia escritura es una serie:

por la suma geométrica con $q = \frac{1}{100}$. En general, un bloque $B$ de $p$ cifras que se repite para siempre vale $\frac{B}{10^p - 1}$ — el mecanismo que hay detrás del criterio de periodicidad del Problema 10.1, que el lenguaje de este capítulo enuncia por fin en una línea: un desarrollo decimal es una serie convergente, finalmente periódica exactamente cuando su suma es racional. La maquinaria de cifras del capítulo 10, construida allí con supremos desnudos, era teoría de series viajando de incógnito.

Ejemplo 17.5 (Planificar cifras con el resto geométrico)

Para $\abs q < 1$, el resto de la serie geométrica es explícito:

Esto convierte los objetivos de precisión en número de términos antes de cualquier cálculo. Para evaluar $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ con error $10^{-10}$ hace falta $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$, es decir, $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$, es decir, $N \geq 22$ (pues $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$): veintitrés términos, sabidos de antemano. Toda estimación de ritmo geométrico de los problemas del fin de semana (la serie en $\frac13$ para $\ln 2$, los arcotangentes de Machin en el Problema 16.1) es este presupuesto de dos líneas vestido de gala.