Wat is reeks?

Voorbeeld 17.2 (Meetkundige reeks)

Voor $q \in \C$ is $\;S_N = \sum_{n=0}^{N} q^n = \frac{1 - q^{N+1}}{1-q}$ ($q \neq 1$). De reeks convergeert dan en slechts dan als $\abs q < 1$ (Oefening 11.3), met

Voorbeeld 17.3 (Periodieke decimalen zijn meetkundige reeksen)

Welk getal is $0.363636\dots$? Zijn schrijfwijze zelf is een reeks:

via de meetkundige som met $q = \frac{1}{100}$. In het algemeen is een blok $B$ van $p$ cijfers dat zich eeuwig herhaalt $\frac{B}{10^p - 1}$ waard — het mechanisme achter het periodiciteitscriterium van Probleem 10.1, dat de taal van dit hoofdstuk eindelijk in één regel formuleert: een decimale ontwikkeling is een convergente reeks, uiteindelijk periodiek precies wanneer haar som rationaal is. De cijfermachinerie van hoofdstuk 10, daar met kale suprema gebouwd, was reeksentheorie in vermomming.

Voorbeeld 17.5 (Cijfers plannen met de meetkundige restterm)

Voor $\abs q < 1$ is de restterm van de meetkundige reeks expliciet:

Dit zet nauwkeurigheidsdoelen om in aantallen termen nog vóór enige berekening. Om $\sum_{n\geq0} \bigl(\frac13\bigr)^n = \frac32$ tot op $10^{-10}$ te evalueren: we hebben $\frac{(1/3)^{N+1}}{2/3} \leq 10^{-10}$ nodig, dat wil zeggen $3^{N} \geq \frac{3}{2}\cdot 10^{10}$, dus $N \geq 22$ (want $3^{22} \approx 3.1\cdot10^{10}$): drieëntwintig termen, op voorhand bekend. Elke schatting met meetkundige snelheid uit de weekendopgaven (de $\frac13$-reeks voor $\ln 2$, de boogtangensen van Machin in Probleem 16.1) is dit budget van twee regels in beroepskledij.