ما معنى topology؟

مثال 25.2 (الحاصر القطبي، الكيفية النظيفة للبرهان على نهاية)

بيّن أن $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (مع $f(0,0) = 0$) متصلة عند المبدأ. وبالإحداثيات القطبية $x = \rho\cos\theta$ و $y = \rho\sin\theta$:

أي حاصر مستقل عن $\theta$: فمهما كان اتجاه الاقتراب، تُحصر القيم إلى $0$. وذلك الانتظام في $\theta$ هو كل المقصود — فحاصر مثل $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (بلا $\rho$ باقٍ) لا يبرهن على شيء، وفعلًا فإن ذلك المقدار $g$ هو الفخّ القطري المنقطع في المثال التالي.

مثال 25.3 (الفخّ القطري)

لتكن $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ من أجل $(x,y) \neq (0,0)$ و $f(0, 0) = 0$. فعلى امتداد كل محور، $f = 0 \to 0$؛ لكن على امتداد القطر $y = x$، $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$. ولا نهاية عند المبدأ: فالاقتراب على امتداد كل مستقيم، بل وإيجاد النهاية نفسها على امتداد كلٍّ، لا يكفي (فنهايات المستقيمات هنا لا تتفق؛ وأمثلة أسوأ تتفق على امتداد كل المستقيمات ومع ذلك تفشل على امتداد قطع مكافئ، التمرين 25.3). فالاتصال في كل متغير على حدة لا يستلزم الاتصال.

مثال 6.2

(a) الفضاء المتري، مع «المفتوح» كما في السنة الجامعية 2 (أي اتحادات الكرات المفتوحة): وهي الطوبولوجيا المترية؛ ويمكن لمسافات مختلفة أن تعطي الطوبولوجيا نفسها (المسافات المتكافئة). ويكون الفضاء قابلًا للتمتير إذا نشأت طوبولوجيته عن مسافة ما. (b) الطوبولوجيا المتقطّعة (وفيها جميع الأجزاء مفتوحة) والطوبولوجيا الخشنة $\{\varnothing, X\}$. (c) طوبولوجيا المتممات المنتهية على مجموعة لامنتهية: المفتوح $=$ الخالي أو ذو المتمم المنتهي. وهي غير قابلة للتمتير، كما سنرى (التمرين 6.3). (d) على $\R$، الطوبولوجيا المعتادة؛ وعلى $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$، طوبولوجيا الترتيب المولَّدة بالأشعة — وهي تجعل «$x_n \to +\infty$» حالةً من التقارب العادي.