الرياضيات الجامعية — السنة 1 · Bachelor Year 1

25دوال المتغيرين

تنتهي السنة بأول تجوال في بُعد أعلى: أي الدوال $f(x, y)$ في متغيرين حقيقيين. وكل شيء يتعمّم — النهايات و الاتصال والمشتقات والقيم الحدّية — لكن كل مفهوم يكتسب التواءً: فالنهايات يمكن الاقتراب منها على امتداد كل اتجاه دفعة واحدة، وتنقسم المشتقات إلى جزئية، ويشير التدرج إلى طريق الصعود. وأمّا النظرية الكاملة (التفاضلات و $\R^n$ العام والمتنوعات الجزئية) فتنتمي إلى السنة الثانية؛ ونهيّئ هنا المفردات والمبرهنات الأمينة الأولى.

25.1 المستوي $\R^2$ ؛ الاتصال

تعريف 25.1

على $\R^2$ ، استعمل المعيار الإقليدي $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (الفصل 23). وتُعرَّف الكرات المفتوحة والجوارات والمجموعات الجزئية المفتوحة من $\R^2$ تمامًا كما في الفصل 12، بالكرات بدل الفترات. وتكون الدالة $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ مفتوحة) متصلة عند $a \in U$ إذا كان

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

بالتمييز التتالي نفسه كما في متغير واحد. وتحفظ المجاميع والجداءات والقسمة والتراكيب مع الدوال المتصلة في متغير واحد الاتصالَ؛ وتطبيقا الإحداثيتين متصلان، ومنه فكثيرات الحدود في $(x,y)$ كذلك.

مثال 25.2 (الحاصر القطبي، الكيفية النظيفة للبرهان على نهاية)

بيّن أن $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (مع $f(0,0) = 0$ ) متصلة عند المبدأ. وبالإحداثيات القطبية $x = \rho\cos\theta$ و $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

أي حاصر مستقل عن $\theta$ : فمهما كان اتجاه الاقتراب، تُحصر القيم إلى $0$ . وذلك الانتظام في $\theta$ هو كل المقصود — فحاصر مثل $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (بلا $\rho$ باقٍ) لا يبرهن على شيء، وفعلًا فإن ذلك المقدار $g$ هو الفخّ القطري المنقطع في المثال التالي.

مثال 25.3 (الفخّ القطري)

لتكن $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ من أجل $(x,y) \neq (0,0)$ و $f(0, 0) = 0$ . فعلى امتداد كل محور، $f = 0 \to 0$ ؛ لكن على امتداد القطر $y = x$ ، $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . ولا نهاية عند المبدأ: فالاقتراب على امتداد كل مستقيم، بل وإيجاد النهاية نفسها على امتداد كلٍّ، لا يكفي (فنهايات المستقيمات هنا لا تتفق؛ وأمثلة أسوأ تتفق على امتداد كل المستقيمات ومع ذلك تفشل على امتداد قطع مكافئ، التمرين 25.3). فالاتصال في كل متغير على حدة لا يستلزم الاتصال.

25.2 المشتقات الجزئية

تعريف 25.4

المشتقات الجزئية للدالة $f$ عند $(a, b)$ هي المشتقات في متغير واحد على امتداد المحاور:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

وتكون $f$ من الصنف $C^1$ على $U$ إذا وُجد كلاهما وكانا متصلين على $U$ . والتدرج هو $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ .

مبرهنة 25.5 (الصنف $C^1$ يستلزم مستويًا مماسًا)

لتكن $f$ من الصنف $C^1$ على $U$ وليكن $(a,b) \in U$ . عندئذ، عندما $(h, k) \to (0,0)$ :

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

وعلى الخصوص تكون $f$ متصلة، ويكون للمنحني $z = f(x,y)$ عند كل نقطة المستوي المماس المقروء من الصيغة.

مثال 25.6 (التقريب الخطي في العمل)

قدّر $f(1.02,\ 0.99)$ من أجل $f(x, y) = x^3y^2$ . وعند $(1, 1)$ : $f = 1$ و $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ و $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ ، ومنه يعطي المبرهنة 25.5

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

إزاء القيمة الحقيقية $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — والخطأ من الرتبة الثانية في التزايدات، كما تعد $o(\norm{(h,k)})$ . والمستوي المماس للمنحني عند $(1, 1, 1)$ هو $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ ، وهي المعادلة الضمنية في التقدير.

برهان. حرّك إحداثية واحدة في كل مرة:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

وبمبرهنة التزايدات المنتهية في متغير واحد (المبرهنة 14.9)، يكون ما بين القوسين الأول $h\, \frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ من أجل $\theta \in \intoo{0}{1}$ ما، ويكون الثاني $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ . ويتيح اتصال المشتقات الجزئية عند $(a,b)$ كتابةَ كلٍّ في صورة (القيمة عند $(a,b)$ ) $+$ (خطأ $\to 0$ )؛ ويكون الخطأ الكلي $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ لأن $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ . ∎

مبرهنة 25.7 (قاعدة السلسلة)

لتكن $f$ من الصنف $C^1$ على $U$ ولتكن $t \mapsto (x(t), y(t))$ من الصنف $C^1$ من فترة إلى $U$ . عندئذ تكون $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ من الصنف $C^1$ ، مع

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

برهان. طبّق المبرهنة 25.5 عند $(x(t), y(t))$ مع $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ : فعندما $s \to 0$ ، تعطي القابلية للاشتقاق في متغير واحد أن $h = s\,x'(t) + o(s)$ و $k = s\,y'(t) + o(s)$ ، ومنه $\norm{(h, k)} = O(s)$ و

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

ويستوعب الخطأ النهائي المقدارين $o(s)$ في $h$ و $k$ معًا (مضروبين في القيم المثبَّتة للمشتقات الجزئية) و $o(O(s))$ من تقدير المستوي المماس. فاقسم على $s$ ودع $s \to 0$ . ويتبع اتصال $g'$ من اتصال كل المكوّنات. ∎

مثال 25.8 (قاعدة السلسلة، متحققًا منها بكيفيتين)

لتكن $f(x, y) = x^2 y$ و $g(t) = f(t, t^2)$ . ومباشرةً: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ ، ومنه $g'(t) = 4t^3$ . وبقاعدة السلسلة: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ و $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ ، مقوَّمتين على امتداد المنحني $(t, t^2)$ :

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

فيتفق الحسابان، والانقسام ذو معنى: إذ يأتي $2t^3$ من النمو من التحرك يمينًا عبر ميل $x$ ، و $2t^3$ من التحرك صعودًا عبر ميل $y$ . وعلى المنحنيات التي لا توجد فيها صورة مغلقة للمقدار $g$ ، لا ينجو إلا الحساب الثاني — وذلك هو مقصود المبرهنة.

ملاحظة 25.9 (قراءة التدرج)

على امتداد اتجاه واحدي $u$ ، تعطي قاعدة السلسلة على $t \mapsto f(a + tu)$ المشتقَ الاتجاهي $\langle \nabla f(a), u\rangle$ : وهو أعظمي عندما يشير $u$ على امتداد $\nabla f(a)$ (حسب كوشي–شوارتز، المبرهنة 23.4). ومنه فالتدرج هو اتجاه أشدّ صعود، وهو متعامد مع منحنيات المستوى $\{f = c\}$ (اشتق $f$ على امتداد منحن مرسوم في مجموعة مستوى: فتعطي قاعدة السلسلة $\langle\nabla f,\, \text{مماس}\rangle = 0$ ).

مثال 25.10 (منحنيات المستوى والتدرجات، على دالة واحدة)

خذ $f(x, y) = x^2 - y^2$ . ومجموعات مستواها: $\{f = c\}$ قطعٌ زائد مفتوح يمينًا ويسارًا من أجل $c > 0$ ، وصعودًا ونزولًا من أجل $c < 0$ ، وزوج المستقيمين المتقاطعين $y = \pm x$ من أجل $c = 0$ — أي خريطة كنتور لممرّ جبلي، بنقطة السرج عند المبدأ حيث يتقاطع مستقيما المستوى المعدوم. والتدرج: $\nabla f = (2x, -2y)$ . وعند النقطة $(2, 1)$ (على المستوى $c = 3$ ): $\nabla f = (4, -2)$ ، بينما تكون متجهة مماس منحني المستوى، معلَّمًا بجوار تلك النقطة بالمقدار $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ ، هي $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ عند $t = 2$ — وفعلًا

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

فالتدرج عمودي على الكنتور، مشيرًا نحو قيم $f$ الأعلى (وهنا: بعيدًا عن محور $y$ ). وقراءتان أخريان: ينعدم التدرج عند السرج بالضبط، حيث تنقبض خريطة الكنتور؛ ويكون مستقيم المماس لمنحني المستوى عند $(2,1)$ هو $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ ، أي $2x - y = 3$ — وهي المعادلة « $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ » التي تعمّم مماس القطع الناقص في التمرين 24.11.

مبرهنة 25.11 (شوارتز)

إذا كانت $f$ من الصنف $C^2$ (أي توجد المشتقات الجزئية للمشتقات الجزئية وتكون متصلة)، فإن

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

25.3 القيم الحدّية الموضعية

طريقة 25.12 (دراسات القيم الحدّية، منظَّمة)

حُلَّ $\nabla f = 0$ حلًا كاملًا. عمّل كل مشتقة جزئية كلما أمكن (فجداءات العوامل الخطية تقسم الجملة إلى حالات شفافة، كما في المثال 25.16 أدناه)؛ فالحالة المنسية نقطةٌ حرجة منسية.
صنّف كل نقطة بمعطيات مونج $r, s, t$ — معادةِ الحساب عند كل نقطة، لا مرة واحدة وإلى الأبد.
وإذا كان $rt - s^2 = 0$ ، فافحص $f$ مباشرةً على امتداد منحنيات محسنة الاختيار عبر النقطة (المستقيمات أولًا، ثم القطوع المكافئة)، باحثًا إمّا عن إشارتين (فلا قيمة حدّية) وإمّا عن إشارة مقفلة بحجة تغطي كل الاتجاهات.
وتراجع لترى الصورة الشاملة: تحقق من السلوك عند اللانهاية (فالقيمة الصغرى الموضعية قد لا تكون شاملة)، وإذا لم تكن مجموعة التعريف مفتوحة، فعالج حافتها على حدة (التمرين 25.12) — فمبرهنة النقاط الحرجة لا ترى إلا النقاط الداخلية.

مبرهنة 25.13 (النقاط الحرجة)

إذا كان للدالة $f$ (من الصنف $C^1$ على المفتوحة $U$ ) قيمةٌ حدّية موضعية عند $(a,b) \in U$ ، فإن $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : أي إن النقطة حرجة.

برهان. للدالتين في متغير واحد $x \mapsto f(x, b)$ و $y \mapsto f(a, y)$ قيمتان حدّيتان موضعيتان داخليتان عند $a$ و $b$ على الترتيب: ومنه يقتل القضية 14.7 المشتقتين الجزئيتين معًا. ∎

طريقة 25.14 (اختبار الرتبة الثانية (ترميز مونج))

عند نقطة حرجة لدالة من الصنف $C^2$ ، ضع

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{القيم عند النقطة}).

إذا كان $rt - s^2 > 0$ : فقيمة حدّية موضعية — صغرى من أجل $r > 0$ ، وعظمى من أجل $r < 0$ ؛
وإذا كان $rt - s^2 < 0$ : فلا قيمة حدّية (أي نقطة سرج)؛
وإذا كان $rt - s^2 = 0$ : فالاختبار صامت؛ افحص مباشرةً.

(والتسويغ — نشر تايلور–يونغ من الرتبة $2$ ودراسة إشارة الشكل التربيعي $r h^2 + 2shk + tk^2$ — يُجرى في السنة الثانية؛ ويُستعمل الاختبار هنا أداةَ عمل.)

مثال 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . والنقاط الحرجة: يعطي $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ أن $y = x^2$ و $x = y^2$ ، ومنه $x = x^4$ : $x \in \{0, 1\}$ : أي النقطتان $(0,0)$ و $(1,1)$ .

والمشتقات الثانية: $r = 6x$ و $s = -3$ و $t = 6y$ . وعند $(0,0)$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : أي سرج. وعند $(1,1)$ : $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ و $r = 6 > 0$ : أي قيمة صغرى موضعية، $f(1,1) = -1$ . (وليست شاملة: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ .)

مثال 25.16 (دراسة بأربع نقاط، كاملة)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ . والتدرج:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

والنقاط الحرجة: إذا كان $y = 0$ ، أعطت المعادلة الثانية $x \in \{0, 3\}$ ؛ وإذا كان $x = 0$ ، أعطت الأولى $y \in \{0, 3\}$ ؛ وإذا كان $xy \neq 0$ ، فحُلَّ $2x + y = 3$ و $x + 2y = 3$ : ومنه $x = y = 1$ . أي أربع نقاط: $(0,0)$ و $(3,0)$ و $(0,3)$ و $(1,1)$ . والمشتقات الثانية: $r = -2y$ و $s = 3 - 2x - 2y$ و $t = -2x$ .

$(1,1)$ : $r = -2$ و $s = -1$ و $t = -2$ : ومنه $rt - s^2 = 3 > 0$ و $r < 0$ : أي قيمة عظمى موضعية، $f(1,1) = 1$ .
$(0,0)$ : $r = t = 0$ و $s = 3$ : ومنه $rt - s^2 = -9 < 0$ : أي سرج؛ وكذلك $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) و $(0, 3)$ : أي ثلاثة سروج.

والقيمة العظمى موضعية فقط: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ . وتحقق التناظر: $f(x, y) = f(y, x)$ ، وفعلًا تكون المجموعة الحرجة والتصنيف متناظرين في $x \leftrightarrow y$ . والتفسير: بين المستطيلات ذات الفسحة $x, y \geq 0$ و $x + y \leq 3$ ، يكون الجداء $xy(3 - x - y)$ لِما في «أجزاء» $3$ الثلاثة أكبرَ ما يكون عندما تتساوى الأجزاء — وهو ظلٌّ في متغيرين لمبدأ المتوسطين الحسابي والهندسي.

يتقاطع المنحنيان f = 0 من أجل f = x3 + y3 - 3xy عند النقطتين الحرجتين (0,0) (سرج) و (1,1) (قيمة صغرى موضعية). — يتقاطع المنحنيان $\nabla f = 0$ من أجل $f = x^3 + y^3 - 3xy$ عند النقطتين الحرجتين $(0,0)$ (سرج) و $(1,1)$ (قيمة صغرى موضعية).

ملاحظة 25.17 (مزالق شائعة)

قد توجد المشتقات الجزئية عند نقطة انقطاع: فللفخّ القطري $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ في المثال 25.3 لدينا $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (لأن قصريه على المحورين معدومان تمامًا)، ومع ذلك لا نهاية للمقدار $g$ عند المبدأ — فالمشتقات الجزئية لا تسبر إلا اتجاهين، ويحتاج الاتصال إلى كلها؛ ولا يعيد النظامَ إلا فرض الصنف $C^1$ (المبرهنة 25.5). نهايات المستقيمات لا تكفي أبدًا: فلدالة التمرين 25.3 نهايةٌ $0$ على امتداد كل مستقيم ومع ذلك لا نهاية — فجرّب دائمًا القطوع المكافئة (أو حواصر قطبية صحيحة انتظامًا في $\theta$ ). الحرج لازم لا كافٍ: فالسروج كثيرة (ثلاث من أربع نقاط في المثال 25.16)؛ و تصحّ المبرهنة على المجموعات المفتوحة فقط — فعلى قرص مغلق، قد تقع القيم الحدّية على الحافة بتدرج غير معدوم (التمرين 25.12). الحالة الصامتة $rt - s^2 = 0$ صامتة حقًا: فلكلٍّ من $x^4 + y^4$ (بقيمة صغرى) و $x^3 + y^3$ (بلا قيمة حدّية) $r = s = t = 0$ عند المبدأ؛ ولا تفصل إلا دراسة إشارة مباشرة (التمرين 25.6، الدالة $h$ ). التدرج متعامد مع منحنيات المستوى لا موازٍ لها: فلتتبّع خط كنتور، تحرّك عموديًا على $\nabla f$ ؛ وللصعود أسرع ما يكون، تحرّك على امتداده — وخلط الاثنين يقلب هندسة كل خريطة كنتور.

ملاحظة 25.18 (إلى أين يقود المتغيران)

هذا الفصل مدخل. فالتدرج وقاعدة السلسلة يمتدان حرفيًا إلى $n$ متغيرًا في مجلّد السنة الثانية، حيث يصير $o(\norm{(h,k)})$ في المبرهنة 25.5 هو التفاضل ويُبرهن على اختبار مونج برهانًا كاملًا عبر صيغة تايلور من الرتبة الثانية والأشكال التربيعية. وأمّا الحالة الخاصة التي يمكن حسمها هذه السنة — وهي الدوال التربيعية، التي يكون النشر من الرتبة الثانية لها مضبوطًا — فهي موضوع مسألة نهاية الأسبوع، وتصادف أنها الحالة التي تدير مقايسة معطيات العالم: انحدار المربعات الصغرى. وأمّا القيم الحدّية المقيَّدة (التمرين 25.5 كان عرضًا مسبقًا) فتصير مضاعفات لاغرانج في السنة الثانية؛ وتعود الدوال التوافقية (التمرين 25.7) في التحليل العقدي في مجلّد السنة الثالثة.

ملاحظة 25.19 (منظورات داخل الكتاب 3: السنة، مغلقةً)

هذا الفصل هو حيث يتصافح نصفا المجلّد. فقد وفّر شطر التحليل أدواته مشتقةً مشتقة: فمبرهنة التزايدات المنتهية تحرّك المبرهنة 25.5، ونشور تايلور تحرّك اختبارات القيم الحدّية، ومقادير $\varepsilon$ في الفصل 12 عادت بكرات بدل الفترات. ووفّر شطر الجبر الهندسة: فيُقرأ التدرج عبر الجداء السلّمي في الفصل 23 (وتجعله كوشي–شوارتز اتجاهَ أشدّ صعود)، وتكون معطيات مونج $(r, s, t)$ مصفوفةً متماثلة في الفصل 21 باختبار المحدد في الفصل 22، وتشغّل مسألة نهاية الأسبوع الإسقاطَ المتعامد على متجهات المعطيات. بل حتى منحنيات الفصل 24 تعود مجموعاتِ مستوى. والقارئ الذي يستطيع إعادة بناء سبب عمل كلٍّ من هذه التسليمات الخمس يكون قد راجع، في الواقع، السنة كلها — وهذا هو الغرض الحقيقي من هذا الفصل الأخير.

المربعات الصغرى في صورة واحدة: أربع نقاط معطيات، و مستقيم الانحدار y = 1.4x - 0.1، والبواقي العمودية (المتقطّعة) التي يصغّر المستقيم مربعاتها — ومجموعها 0.2، وهو الأصغر القابل للبلوغ. وتحسب مسألة نهاية الأسبوع هذا المستقيم، وتبرهن على أنه المصغِّر الوحيد، وتطابق البناء كله مع إسقاط متعامد في ℝ4. — المربعات الصغرى في صورة واحدة: أربع نقاط معطيات، و مستقيم الانحدار $y = 1.4x - 0.1$ ، والبواقي العمودية (المتقطّعة) التي يصغّر المستقيم مربعاتها — ومجموعها $0.2$ ، وهو الأصغر القابل للبلوغ. وتحسب مسألة نهاية الأسبوع هذا المستقيم، وتبرهن على أنه المصغِّر الوحيد، وتطابق البناء كله مع إسقاط متعامد في $\R^4$ .

25.4 تمارين

تمرين 25.1 ★

احسب المشتقات الجزئية: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ؛ $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (على $\R^2\setminus\{0\}$ )؛ $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (على $x > 0$ ).

حل

حل التمرين 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ ، $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ .

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ ، $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ .

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ ، $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ .

تمرين 25.2 ★

ادرس الاتصال عند $(0,0)$ (بالقيمة $0$ هناك) من أجل:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(والإحداثيات القطبية $x = \rho\cos\theta$ و $y = \rho\sin\theta$ تساعد: فحُدّ بدالة في $\rho$ وحده كلما أمكن.)

حل

حل التمرين 25.2.

بالإحداثيات القطبية ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : متصلة.

$g = \cos\theta\sin\theta$ : مستقل عن $\rho$ ، ويأخذ قيمًا مختلفة على امتداد أنصاف أقطار مختلفة (قارن المثال 25.3): فلا نهاية، وهي غير متصلة.

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : متصلة.

تمرين 25.3 ★★

لتكن $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). برهن على أن للمقدار $f$ نهايةً $0$ عند المبدأ على امتداد كل مستقيم، لكن $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : ومنه فالدالة $f$ ليست متصلة عند $(0,0)$ .

حل

حل التمرين 25.3.

على امتداد $y = mx$ : $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (من أجل $m \neq 0$ ؛ وعلى امتداد $y = 0$ و محور $y$ ، $f = 0$ ). ومنه فكل نهاية على مستقيم هي $0$ . لكن على القطع المكافئ $y = x^2$ :

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

وللمتتالية $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ لدينا $f \to \frac12 \neq 0$ . فهي غير متصلة: إذ لا تكفي المستقيمات لاختبار نهايات المتغيرين.

تمرين 25.4 ★

تحقق من مبرهنة شوارتز باليد على $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ .

حل

حل التمرين 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ؛ ثم

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ؛ ثم

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

فهما متساويان، كما يعد شوارتز.

تمرين 25.5 ★★

لتكن $f$ من الصنف $C^1$ على $\R^2$ ولتكن $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ . عبّر عن $g'(t)$ عبر قاعدة السلسلة. واستنتج أن $f$ مقصورةً على الدائرة الواحدية تبلغ قيمها الحدّية عند نقاط يكون فيها $\nabla f$ موازيًا لمتجهة نصف القطر.

حل

حل التمرين 25.5.

حسب المبرهنة 25.7 مع $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ :

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

وعند قيمة حدّية للمقدار $g$ ، $g'(t) = 0$ : ومنه فالتدرج $\nabla f$ متعامد مع متجهة مماس الدائرة $(-\sin t, \cos t)$ ، ومنه موازٍ لمتجهة نصف القطر $(\cos t, \sin t)$ (لأن المتمم المتعامد لمتجهة واحدية في المستوي هو المستقيم الذي تولّده، مأخوذًا عموديًا). وهذا أبسط مثال على مضاعف لاغرانج.

تمرين 25.6 ★★

جد النقاط الحرجة وصنّفها من أجل:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

(ومن أجل $h$ ، يكون اختبار المحدد صامتًا عند المبدأ: فافحص $h(x, x)$ و $h(x, -x)$ .)

حل

حل التمرين 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : أي $y = -\frac x2$ و $2x - \frac x2 = 3$ : ومنه $x = 2$ و $y = -1$ . والرتبة الثانية: $r = 2$ و $s = 1$ و $t = 2$ : ومنه $rt - s^2 = 3 > 0$ و $r > 0$ : أي قيمة صغرى موضعية (بل شاملة — لأنها تربيعية) عند $(2, -1)$ ، وقيمتها $f(2,-1) = -3$ .

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : أي النقطة $(0, 2)$ ؛ و $r = 2$ و $s = 0$ و $t = -2$ : ومنه $rt - s^2 = -4 < 0$ : أي سرج.

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ . وبالجمع: $x^3 + y^3 = 0$ ، ومنه $y = -x$ ؛ وبالتعويض: $4x^3 - 8x = 0$ : $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ . فالنقاط الحرجة: $(0,0)$ و $(\sqrt2, -\sqrt2)$ و $(-\sqrt2, \sqrt2)$ . وعند $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $r = 12x^2 - 4 = 20$ و $s = 4$ و $t = 20$ : ومنه $rt - s^2 > 0$ و $r > 0$ : أي قيمتان صغريان موضعيتان (بالقيمة $h = 4 + 4 - 16 = -8$ ). وعند $(0,0)$ : $r = t = -4$ و $s = 4$ : ومنه $rt - s^2 = 0$ : فهو صامت. وافحص: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ و $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ من أجل $x \neq 0$ صغير: أي الإشارتان في كل جوار — فلا قيمة حدّية عند المبدأ.

تمرين 25.7 ★★

تكون الدالة $f$ توافقية إذا كان $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ . تحقق من أن $x^2 - y^2$ و $xy$ و $\eu^x\cos y$ و $\ln(x^2 + y^2)$ (خارج المبدأ) توافقية.

حل

حل التمرين 25.7.

$x^2 - y^2$ : المشتقتان الجزئيتان الثانيتان $2$ و $-2$ : فالمجموع $0$ . و $xy$ : تنعدم المشتقتان الثانيتان المحضتان كلتاهما. و $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ و $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : فالمجموع $0$ . و $\ln(x^2+y^2)$ : من التمرين 25.1،

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

ونظير $y$ هو مقابله: فالمجموع $0$ .

تمرين 25.8 ★★★

جد نقطة المستوي $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ الأقرب إلى المبدأ، بكيفيتين: بالإسقاط المتعامد (الفصل 23)، وبتصغير دالة المتغيرين $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ المحصَّلة بإزالة $z$ .

حل

حل التمرين 25.8.

بالإسقاط: للمستوي $P$ ناظمٌ $n = (1, 2, -1)$ وهو يمرّ بالمقدار $A = (4, 0, 0)$ . وأقرب نقطة إلى المبدأ هي $O$ مسقطًا: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ ، على مسافة $\frac{4}{\sqrt 6}$ . (والصيغة: المسافة من المبدأ إلى المستوي $\langle X, n \rangle = c$ هي $\frac{\abs c}{\norm n}$ مع $c = 4$ .)

وبالتصغير: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ . وبكتابة $w = x + 2y - 4$ من أجل العامل الأخير:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ و } y = -2w .

وبالتعويض في تعريف $w$ : $w = -w - 4w - 4$ ، ومنه $w = -\frac23$ ، فينتج $x = \frac23$ و $y = \frac43$ و $z = w = -\frac23$ . أي النقطة نفسها كما بالإسقاط، على مسافة $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ؛ وهي قيمة صغرى لأن $f \to \infty$ عند اللانهاية (لأنها تربيعية معيَّنة موجبة زائد حدود خطية).

تمرين 25.9 ★★★

(اللابلاسي بالإحداثيات القطبية، لقاء أول) لتكن $f$ من الصنف $C^2$ على $\R^2 \setminus \{0\}$ وشعاعية: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ مع $\varphi$ من الصنف $C^2$ على $\intoo{0}{+\infty}$ . برهن على أن

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

وجد كل الدوال التوافقية الشعاعية على المستوي المثقوب.

حل

حل التمرين 25.9.

مع $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ ، ومنه

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(بقاعدتَي القسمة والسلسلة). وبإضافة عبارة $y$ المتناظرة: تتجمّع حدود $\varphi''$ لتعطي $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ ، و تتجمّع حدود $\varphi'$ لتعطي $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

والتوافقية الشعاعية: حُلَّ $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ : فالمعادلة من الرتبة الأولى $u' + \frac u\rho = 0$ من أجل $u = \varphi'$ تعطي $u = \frac{c}{\rho}$ (المبرهنة 5.2)، ثم $\varphi = c\ln\rho + d$ . ومنه فالدوال التوافقية الشعاعية هي $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — أي الكمون اللوغاريتمي في التمرين 25.7 والثوابت، لا غير.

تمرين 25.10 ★★

أعطِ معادلة المستوي المماس للمنحني $z = xy$ عند النقطة $(1, 1, 1)$ . ثم جد كل نقاط منحني $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ التي يكون عندها المستوي المماس أفقيًا، واربط الجواب بالمقدار المثال 25.15.

حل

حل التمرين 25.10.

من أجل $z = xy$ عند $(1,1)$ : المشتقتان الجزئيتان $y = 1$ و $x = 1$ ، فالمستوي المماس $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ . ويعني المستوي المماس الأفقي انعدام المشتقتين الجزئيتين معًا، أي $\nabla f = 0$ : ومنه، حسب المثال 25.15، تكون تلك بالضبط النقاط الحرجة $(0, 0)$ و $(1, 1)$ ، بمستويين أفقيين $z = 0$ و $z = -1$ . فعبارة «المستوي المماس الأفقي» و«النقطة الحرجة» هما المفهوم نفسه، منظورًا إليه على المنحني وفي الصيغة.

تمرين 25.11 ★★

لتكن $f$ من الصنف $C^1$ على $\R^2$ .

إذا كان $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ في كل مكان، فبرهن على أن $f(x, y)$ لا تتعلق إلا بالمقدار $y$ .
جد كل حلول المعادلة $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ من الصنف $C^1$ على $\R^2$ . (ضع $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ واحسب $\frac{\partial g}{\partial v}$ بقاعدة السلسلة.)

حل

حل التمرين 25.11.

من أجل $y$ مثبَّت، تكون للدالة في متغير واحد $x \mapsto f(x,y)$ مشتقةٌ معدومة على $\R$ ، ومنه فهي ثابتة (المبرهنة 14.9): أي $f(x, y) = f(0, y)$ من أجل كل $x$ : ومنه فالدالة $f$ لا تتعلق إلا بالمقدار $y$ .
لتكن $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ . وبقاعدة السلسلة (المبرهنة 25.7، مطبَّقةً في المتغير $v$ مع تجميد $u$ ):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

وحسب (1)، لا يتعلق $g$ إلا بالمقدار $u$ : أي $g(u, v) = \varphi(u)$ مع $\varphi$ من الصنف $C^1$ ، وبعكس تغيير المتغيرات ( $u = x + y$ و $v = x - y$ )،

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

وبالعكس تحقق كل $f$ كهذه $f_x = f_y = \varphi'$ : ومنه فالحلول هي بالضبط الدوال من الصنف $C^1$ في $x + y$ .

تمرين 25.12 ★★★

جد القيمة العظمى والصغرى الشاملتين للدالة $f(x, y) = xy$ على القرص المغلق $x^2 + y^2 \leq 1$ . (اقبل مبرهنة القيم الحدّية في متغيرين: أي إن الدالة المتصلة على القرص المغلق تبلغ حاصريها — وهي مبرهن عليها في مجلّد السنة الثانية. وعالج القرص المفتوح بالنقاط الحرجة والدائرةَ الحدّية بتعليم التمرين 25.5.)

حل

حل التمرين 25.12.

على القرص المفتوح، ستكون القيمة الحدّية حرجة: و $\nabla f = (y, x) = 0$ عند $(0,0)$ فقط، حيث $f = 0$ ؛ وهي سرج ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ )، ومنه فلا قيمة حدّية هناك. وحسب مبرهنة القيم الحدّية المقبولة تُبلغ الحواصر، وبالضرورة على الدائرة الحدّية. وهناك، مع التمرين 25.5،

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

بقيمة عظمى $\frac12$ عند $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (أي النقطتان $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) وقيمة صغرى $-\frac12$ عند $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (أي النقطتان $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). فالقيمة العظمى الشاملة $\frac12$ والصغرى الشاملة $-\frac12$ .

25.5 مسألة: المربعات الصغرى ومستقيم الانحدار

مسألة 25.1

من أجل $n$ نقطة معطيات، أيّ مستقيم يمرّ «أقرب» إلى كلها؟ أجاب لوجاندر وغاوس: المستقيم الذي يصغّر مجموع الأخطاء العمودية المربَّعة — لأن ذلك التصغير قابل للحلّ بالضبط بالجبر الخطي. وتبرهن هذه المسألة أولًا على اختبار مونج في الطريقة 25.14 برهانًا أمينًا من أجل الدوال التربيعية (وهي الحالة الوحيدة التي يكون فيها النشر من الرتبة الثانية مضبوطًا)، ثم تبني المعادلات الناظمية ومستقيم الانحدار ومعامل الارتباط فوق الهندسة الإقليدية في الفصل 23.

الجزء 1 — الدوال التربيعية: اختبار مونج، مبرهنًا عليه. ثبّت أعدادًا حقيقية $r, s, t$ ولتكن $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ .

افترض $r \neq 0$ . أثبت صورة إتمام المربع

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$

واستنتج: أنه إذا كان $rt - s^2 > 0$ ، كان للمقدار $q$ إشارة $r$ القطعية خارج المبدأ؛ وإذا كان $rt - s^2 < 0$ ، أخذ $q$ الإشارتين.
احسم الحالتين الباقيتين: $r = 0$ و $t \neq 0$ (بالتناظر)؛ و $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). واختم: يأخذ $q$ الإشارتين إذا وفقط إذا كان $rt - s^2 < 0$ ، و ينعدم $q$ عند المبدأ فقط إذا وفقط إذا كان $rt - s^2 > 0$ .
ولتكن الآن $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ دالةً تربيعية لها نقطة حرجة $X_0 = (a, b)$ . برهن على النشر المضبوط

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{بلا باقٍ}),$

واستنتج تصنيف مونج من أجل الدوال التربيعية: قيمة صغرى شاملة قطعية إذا كان $rt - s^2 > 0$ و $r > 0$ ؛ وقيمة عظمى شاملة قطعية إذا كان $rt - s^2 > 0$ و $r < 0$ ؛ وسرج إذا كان $rt - s^2 < 0$ .
افترض $rt - s^2 > 0$ و $r > 0$ (ومنه $t > 0$ كذلك). برهن على حاصر القسر الصريح

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$

(بيّن أن الشكل التربيعي $q - c(h^2 + k^2)$ ، بمعاملات $r - c$ و $s$ و $t - c$ ، لا تزال معطيات اختبار مميّزه غير سالبة.)
استنتج أن الدالة التربيعية ذات الجزء التربيعي المعيَّن الموجب تؤول إلى $+\infty$ عندما $\norm{(x,y)} \to \infty$ ، ومنه فلها مصغِّر شامل وحيد: هو نقطتها الحرجة. وقابل ذلك بالمقدار المثال 25.15، حيث لم تكن قيمة صغرى موضعية لدالة غير تربيعية شاملةً.

الجزء 2 — المعادلات الناظمية. لتكن $C_1, C_2, b \in \R^n$ (بالجداء السلّمي القانوني)، و

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

انشر $f$ وبيّن أنها دالة تربيعية في $(u, v)$ بمعاملات جزء تربيعي $r = 2\norm{C_1}^2$ و $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ و $t = 2\norm{C_2}^2$ .
بيّن أن $rt - s^2 > 0$ إذا وفقط إذا كانت $(C_1, C_2)$ حرة (بحالة المساواة في كوشي–شوارتز، المبرهنة 23.4)؛ وافترض هذا من الآن فصاعدًا.
بيّن أن المعادلات الحرجة $\nabla f = 0$ هي المعادلات الناظمية

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

— بمصفوفة غرام للعائلة التمرين 23.11 على اليسار — وأنها تقول بالضبط: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ . واختم مع الجزء 1 و المبرهنة 23.10: فيعطي المصغِّر الوحيد $p = uC_1 + vC_2 =$ الإسقاط المتعامد للمقدار $b$ على $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .
بيّن أن القيمة الصغرى هي $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ ، وارسم الصورة الفيثاغورية.

الجزء 3 — مستقيم الانحدار. نقاط المعطيات $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ ، وليست كل $x_i$ متساوية. صغّر

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

واكتب $\bar x = \frac1n\sum x_i$ و $\bar y = \frac1n\sum y_i$ و $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ و $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ و $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ .

تعرّف على الجزء 2 مع $C_1 = (1, \dots, 1)$ و $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ و $b = (y_1, \dots, y_n)$ ، واكتب المعادلات الناظمية

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
حُلَّها:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

ولاحظ أن مستقيم الانحدار $y = \alpha + \beta x$ يمرّ بنقطة المتوسط $(\bar x, \bar y)$ .
تحقق من أن $v_x > 0$ بالضبط عندما لا تتساوى كل $x_i$ ، وطابق هذا مع السؤال 7.
برهن على أن الخطأ الأصغري هو

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0).$

واستنتج $\abs\rho \leq 1$ ، مع $\abs\rho = 1$ إذا وفقط إذا كانت المعطيات مستقيمية تمامًا.
مثال معالَج: من أجل المعطيات $(0,0)$ و $(1,1)$ و $(2,3)$ و $(3,4)$ ، احسب $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ و مستقيم الانحدار والبواقي الأربعة و $E_{\min}$ .
برهن على أن بواقي $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ المستقيم الأمثل تحقق $\sum_i \varepsilon_i = 0$ و $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ ، وفسّر كليهما عبر التعامد.

الجزء 4 — تنويعات وتطبيقات.

(أفضل ثابت) بيّن أن الثابت $\alpha$ المصغِّر للمقدار $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ هو المتوسط $\bar y$ ، وأن القيمة الصغرى هي $n\,v_y$ : أي إن التباين يقيس فشل المعطيات في أن تكون ثابتة.
(المستقيم المارّ بالمبدأ) بيّن أن الميل المصغِّر للمقدار $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ هو $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ ، وأعطِ شرطًا على المعطيات ليتطابق $\beta_0$ مع الميل $c_{xy}/v_x$ في السؤال 11.
(المسافة إلى مستقيم، مرة أخرى) من أجل نقطة $M$ والمستقيم $D$ المارّ بالمقدار $P_0$ الموجَّه بالمتجهة الواحدية $w$ ، صغّر $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ و استنتج $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ ؛ واستعد الصيغة $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ من أجل المستقيم $ax + by + c = 0$ في المستوي.
(تحليل التباين) برهن على التفكيك $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : أي إن تباين المقادير $y_i$ ينقسم إلى الجزء الذي يفسّره المستقيم زائد تباين البواقي.
(المقايسة بقطع مكافئ) لمقايسة $y = a + bx + cx^2$ ، بيّن أن المعادلات الناظمية هي الجملة $3 \times 3$ ذات مصفوفة العزوم

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix},$

وهي مصفوفة غرام قابلة للقلب ما إن تكون ثلاث من المقادير $x_i$ متمايزة (بحرية $(1, X, X^2)$ معايَنةً عند المعطيات، التمرين 23.11؛ وقارن مصفوفات العزوم في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22).

الجزء 5 — المتانة، والتوليفة.

صنّف النقاط الحرجة للدوال التربيعية الثلاث

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2 ,$

بالجزء 1، معالجًا الحالة الثالثة المنحلّة باليد (فأين تُبلغ القيمة الصغرى؟).
(تجربة القيمة الشاذة) ألحق النقطة $(10, 0)$ بمعطيات السؤال 14 وأعد حساب الميل $\beta$ . فماذا حدث، ولماذا يكون الخطأ المربَّع شديد الحساسية لنقطة بعيدة واحدة؟
(المربعات الصغرى الموزونة) من أجل أوزان $w_i > 0$ معطاة، صغّر $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : بيّن أن الحلّ تعطيه الصيغ نفسها في السؤال 11 بمتوسطات وتباين وتغاير موزونة (عرّفها).
بيّن أنه من أجل المستقيم الأمثل، يفرض $E_{\min} = 0$ أن تقع كل النقاط عليه بالضبط، واربط ذلك بحالة المساواة $\abs\rho = 1$ في السؤال 13؛ واختبر على المعطيات المستقيمية $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
توليفة، في أربع جمل: لماذا تكون الدوال التربيعية الصنفَ الوحيد الذي لا يحتاج فيه اختبار الرتبة الثانية في هذا الفصل إلى مبرهنة مقبولة؛ وكيف تطابق المعادلات الناظمية التصغيرَ التحليلي مع الإسقاط المتعامد في الفصل 23؛ وماذا يقيس معامل الارتباط وأيّ متراجحة تحدّه؛ وأيّ قطع من الفصول 18–23 (الأسس، ومصفوفات غرام و العزوم، والإسقاطات) عادت للظهور. وسمِّ الطريقة والمعادلات المدروسة في الجزأين 2–3.

حل

حل المسألة 25.1.

1. بنشر الطرف الأيمن:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

فإذا كان $rt - s^2 > 0$ : حمل المربعان كلاهما إشارة عامل $r$ ، ويفرض $q(h,k) = 0$ أن $k = 0$ ثم $h = 0$ : أي إشارة $r$ القطعية خارج المبدأ. وإذا كان $rt - s^2 < 0$ : فإن $q(1, 0) = r$ بينما $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ له الإشارة المقابلة: فتقع الإشارتان.

2. إذا كان $r = 0 \neq t$ ، فبادل بين دورَي $h$ و $k$ (بإتمام المربع في $k$ )، بالنتائج نفسها؛ ولاحظ $rt - s^2 = -s^2 < 0$ ما إن يكن $s \neq 0$ ، وفعلًا يأخذ $q = 2shk + tk^2$ عندئذ الإشارتين ( $k$ صغيرًا إزاء $h$ ). وإذا كان $r = t = 0$ : $q = 2shk$ ، فالإشارتان إذا وفقط إذا كان $s \neq 0$ ، أي إذا وفقط إذا كان $rt - s^2 = -s^2 < 0$ . وتلخيصًا: يأخذ $q$ الإشارتين $\iff rt - s^2 < 0$ ؛ وينعدم $q$ عند المبدأ فقط (معيَّنًا) $\iff rt - s^2 > 0$ (وهذا يفرض $r \neq 0$ ، لأن $r = 0$ يعطي $q(1,0) = 0$ ).

3. مع $f_x = rx + sy + \beta$ و $f_y = sx + ty + \gamma$ ، يعطي النشر المباشر

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

دون أيّ حدود أعلى (لأن الدالة كثير حدود من الدرجة $2$ ). وعند نقطة حرجة ينعدم الجزء الخطي: أي $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ بالضبط، ومنه تصنّف دراسة الإشارة في السؤالين 1–2: قيمة صغرى شاملة قطعية ( $rt - s^2 > 0$ و $r > 0$ )، وقيمة عظمى شاملة قطعية ( $rt - s^2 > 0$ و $r < 0$ )، وسرج — بالإشارتين في كل جوار — عندما $rt - s^2 < 0$ . وهذا يبرهن على الطريقة 25.14 من أجل الدوال التربيعية.

4. للشكل $q - c(h^2 + k^2)$ المعطيات $r - c$ و $s$ و $t - c$ . ومع $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (ولاحظ $t > 0$ لأن $rt > s^2 \geq 0$ و $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

و $r - c \geq 0$ ( $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ ، وهو صحيح). فإذا كان $r - c > 0$ ، بيّن إتمام المربع في السؤال 1 أن $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ ؛ وإذا كان $r - c = 0$ ، فإن $s = 0$ (من $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ الذي يفرض أن يكون المقدار المعروض $\geq 0$ وعامله الأول $0$ ) ويكون الشكل $(t - c)k^2 \geq 0$ . وفي الحالتين $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ .

5. حسب السؤالين 3–4، $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ عندما $\norm X \to \infty$ : ومنه فالدالة $f$ قاسرة، والمتراجحة قطعية من أجل $X \neq X_0$ : ومنه فالنقطة الحرجة هي المصغِّر الشامل الوحيد. وأمّا من أجل التكعيبي $f = x^3 + y^3 - 3xy$ في المثال 25.15، فلا تصحّ نتيجة كهذه: $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ ، والقيمة الصغرى الموضعية عند $(1,1)$ ليست شاملة — فما فشل هو ضبط النشر التربيعي.

6. بنشر مربع المعيار:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

أي دالة تربيعية في $(u, v)$ جزؤها التربيعي هو $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ مع $r = 2\norm{C_1}^2$ و $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ و $t = 2\norm{C_2}^2$ .

7. $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ بكوشي–شوارتز (المبرهنة 23.4)، مع المساواة بالضبط عندما يكون $C_1, C_2$ متناسبين (أو يكون أحدهما معدومًا)، أي عندما يكون الزوج مرتبطًا. ومنه $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ حرة.

8. يُقرأ $\nabla f = 0$ هكذا

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

أي المعادلات الناظمية بمصفوفة غرام على اليسار؛ وهي تقول $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ من أجل $i = 1, 2$ ، أي $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ من أجل $p = uC_1 + vC_2$ . وحسب الجزء 1 (السؤالان 3 و 5) تكون النقطة الحرجة الوحيدة هي المصغِّر الشامل الوحيد، وحسب المبرهنة 23.10 يعيّن التمييز « $p \in F$ و $b - p \perp F$ » المقدارَ $p$ إسقاطًا متعامدًا للمقدار $b$ على $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ ، ويعطي $\langle p, b - p\rangle = 0$ أن $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : ومنه فالقيمة الصغرى تساوي $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ . وبفيثاغورس: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — فتنقسم متجهة المعطيات إلى جزئه المفسَّر $p$ وجزئه الباقي $b - p$ ، وهما متعامدان.

10. $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ مع $C_1, C_2, b$ المذكورة؛ وتكون المعادلات الناظمية في السؤال 8، مركّبةً مركّبة،

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. بالقسمة على $n$ : $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ و $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ . وبتعويض $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ في الثانية: $\beta v_x = c_{xy}$ ، ومنه

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

وتقول المعادلة الأولى بالضبط إن $(\bar x, \bar y)$ تقع على المستقيم.

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ ، وهو معدوم إذا وفقط إذا ساوى كل $x_i$ المقدارَ $\bar x$ . و $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : ومنه فشرط الحرية في السؤال 7 هو $v_x > 0$ ، أي ألّا تتساوى كل $x_i$ .

13. مع $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ ، مركّز المعطيات ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ و $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

وهو أصغري عند $\beta = c_{xy}/v_x$ بالقيمة $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ . ولأن $E_{\min} \geq 0$ و $v_y > 0$ : يكون $\rho^2 \leq 1$ ، و $\abs\rho = 1$ إذا وفقط إذا كان $E_{\min} = 0$ ، أي إذا وفقط إذا انعدم كل باقٍ: أي إن النقاط تقع على المستقيم بالضبط.

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ و $\bar y = 2$ و $\sum x_i^2 = 14$ ومنه $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ ، و $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ ومنه $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ . ومنه

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

والقيم المقايَسة $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ؛ والبواقي $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ؛ و $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (وللتحقق: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ و $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ ).

15. المعادلتان الناظميتان في السؤال 10 هما بالضبط $\sum_i\varepsilon_i = 0$ و $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ : أي إن متجهة البواقي متعامدة مع $C_1 = (1, \dots, 1)$ ومع $C_2 = (x_i)$ — أي مع فضاء النموذج كله. وعلى الخصوص يوازن المستقيم الأمثل أخطاءه دائمًا: فمجموعها معدوم.

16. يعطي $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ أن $\alpha = \bar y$ (وتجعله المشتقة الثانية $2n > 0$ القيمةَ الصغرى الشاملة، لأن الدالة تربيعية قاسرة في متغير واحد). والقيمة الصغرى $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : أي إن التباين هو الخطأ التربيعي غير القابل للاختزال لنموذج ثابت.

17. يعطي $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ أن $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ . وبكتابة الميلين بمقادير مركَّزة: يساوي $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ المقدارَ $\frac{c_{xy}}{v_x}$ إذا وفقط إذا كان $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ ، أي إذا وفقط إذا كان $\bar x = 0$ (بفواصل مركَّزة) أو $\bar y = \beta\bar x$ — والأخير يعني $\alpha = 0$ : أي إن مستقيم الانحدار الكامل يمرّ أصلًا بالمبدأ.

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ أصغري عند $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ ، بالقيمة $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ . وفي المستوي، أتمّ $w$ إلى أساس متعامد ممنظم $(w, n)$ مع $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (وهو الناظم الواحدي للمقدار $D$ ): عندئذ $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ ، ومنه $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ ، ومع $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ :

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. من $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ و $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ :

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

أي التباين الكلي $=$ التباين على امتداد المستقيم المقايَس $+$ تباين البواقي. (وبالقسمة على $v_y$ : $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ ، ومنه فحصة التباين «المفسَّرة» بالمستقيم هي $\rho^2$ .)

20. فضاء النموذج هو $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ مع $C_1 = (1)$ و $C_2 = (x_i)$ و $C_3 = (x_i^2)$ ؛ ويقود تصغير $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ ، تمامًا كما في السؤال 8، إلى جملة غرام $3\times3$ ، ومركّبات مصفوفتها $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ : أي مصفوفة العزوم المعروضة. وهي قابلة للقلب إذا وفقط إذا كانت $(C_1, C_2, C_3)$ حرة (التمرين 23.11)؛ وعلاقةٌ $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ من أجل كل $k$ تجعل كل $x_k$ جذرًا لكثير حدود واحد من درجة $\leq 2$ ، وهذا محال بثلاث قيم متمايزة ما لم يكن $a = b = c = 0$ . وقارن مصفوفات العزوم في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22، حيث كانت محدداتها قيمَ فاندرموند مربَّعة.

21. الأولى: $r = 2, s = 1, t = 2$ ، و $rt - s^2 = 3 > 0$ و $r > 0$ : أي قيمة صغرى شاملة قطعية عند المبدأ. والثانية: $r = 2, s = 3, t = 2$ ، و $rt - s^2 = -5 < 0$ : أي سرج. والثالثة: $r = s = t = 2$ ، و $rt - s^2 = 0$ : أي منحلّة — لكن $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ ينعدم على المستقيم $y = -x$ كله: أي قيمة صغرى شاملة (غير قطعية) مبلوغة على امتداد مستقيم، غير مرئية لاختبار المحدد.

22. المجاميع الجديدة ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ و $\bar y = 1.6$ ، و $\sum x_iy_i = 19$ ومنه $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ ، و $\sum x_i^2 = 114$ ومنه $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ . والميل الجديد:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

فقد حوّلت نقطة واحدة اتجاهًا متزايدًا بوضوح ( $\beta = 1.4$ ) إلى اتجاه متناقص قليلًا. ويحمّل الخطأ المربَّع باقيًا $\varepsilon^2$ ، ومنه تهيمن نقطة بعيدة واحدة — بمقدار $\abs{x_{i} - \bar x}$ كبير وباقٍ كبير — على $c_{xy}$ و $v_x$ معًا: فالمربعات الصغرى فعّالة لكنها ليست متينة.

23. ضع $W = \sum w_i$ وعرّف $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ و $\bar y_w$ بالمثل و $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ و $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ . والتطبيق $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ جداءٌ سلّمي على $\R^n$ (لأن $w_i > 0$ يعطي التعيين)، ومنه ينطبق الجزء 2 حرفيًا وتنقسم المعادلات الناظمية على $W$ لتصير

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w ,

ومنه $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ و $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : أي الصيغ نفسها، بمتوسطات موزونة كلها.

24. يفرض $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ أن يكون $\varepsilon_i = 0$ من أجل كل دليل: أي أن تقع كل النقاط على المستقيم بالضبط؛ وحسب السؤال 13 هذه هي حالة $\abs\rho = 1$ . والاختبار: من أجل $(1,1), (2,3), (3,5)$ : $\bar x = 2$ و $\bar y = 3$ و $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ و $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : ومنه $\beta = 2$ و $\alpha = -1$ ، وفعلًا $y_i = 2x_i - 1$ من أجل النقاط الثلاث؛ و $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ و $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ .

25. (أ) من أجل الدوال التربيعية يكون النشر من الرتبة الثانية متطابقة، ومنه تصنّف دراسة إشارة الشكل التربيعي — وهي جبر محض، السؤالان 1–2 — النقاطَ الحرجة دون أيّ مبرهنة تايلور مقبولة. (ب) وتقول المعادلات الناظمية «الباقي متعامد مع فضاء النموذج»، ومنه فالقيمة الصغرى التحليلية هي الإسقاط المتعامد لمتجهة المعطيات: فيحسب حساب التفاضل والهندسة الإقليدية الغرضَ نفسه. (ج) ويقيس الارتباط $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ حصة $\rho^2$ من التباين التي يفسّرها المستقيم، و يحدّه كوشي–شوارتز: $\abs\rho \leq 1$ ، مع المساواة من أجل المعطيات المستقيمية فقط. (د) وعادت للظهور الأسسُ والحرية (الفصل 18)، ومصفوفات غرام والعزوم ومحدداتها (الفصلان 22–23)، والإسقاط المتعامد (الفصل 23) بوصفها القطعَ العاملة في خوارزمية واحدة. ويطوّر الجزآن 2–3 طريقة المربعات الصغرى (لوجاندر وغاوس) عبر معادلاتها الناظمية.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد