6الطوبولوجيا العامة

حل التمرين 6.1.

(a) أربع طوبولوجيات على $\{a,b\}$: الخشنة $\{\varnothing, X\}$؛ والمتقطّعة؛ وطوبولوجيتا شيربينسكي $\{\varnothing, \{a\}, X\}$ و $\{\varnothing, \{b\}, X\}$. والأخيرتان مماثلتان طوبولوجيًا (بتبديل $a, b$): أي ثلاثة أصناف. والمترابطة: جميعها عدا المتقطّعة (فالطوبولوجيا المتقطّعة وحدها تحتوي على مجموعة فعلية غير خالية مفتوحة ومغلقة معًا). والهاوسدورفية: المتقطّعة لا غير (ففي الأخريات، الجوار الوحيد للنقطة $b$ هو $X$، أو الجوار الوحيد للنقطة $a$).

(b) المجموعة $\Q$: داخلها $\varnothing$ (لأن كل فترة تحتوي على أعداد صمّاء)، وغلقها $\R$ (بالكثافة)، وحافتها $\R$. والمجموعة $[0,1) \cup \{2\}$: داخلها $(0,1)$، وغلقها $[0,1]\cup\{2\}$، وحافتها $\{0, 1, 2\}$. والمجموعة $\{1/n\}$: داخلها $\varnothing$، وغلقها $\{1/n\}\cup\{0\}$، وحافتها الغلق نفسه.

حل التمرين 6.2.

(a) كل مفتوحة $V \subseteq Y$ اتحادٌ $\bigcup B_j$ لمجموعات أساسية، و $f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(B_j)$: فإذا كانت الأخيرة مفتوحة كانت الأولى كذلك؛ والعكس بديهي.

(b) المجموعة $f^{-1}\bigl(\intoo{\frac12}{\frac32}\bigr) = [0, \infty)$ ليست مفتوحة: ومنه فإن $f$ ليس متصلًا؛ والاتصال من اليمين عند كل نقطة واضح (لأن $f$ ثابت محليًا على يمين كل نقطة). وتحقق المجموعات $[a, b)$ محكَّ الأساس (التعريف 6.4): $[a,b)\cap[c,d) = [\max(a,c), \min(b,d))$. وطوبولوجيا سورغنفراي أدقّ من المعتادة، لأن $(a, b) = \bigcup_{a < c < b}[c, b)$؛ وأدقّ تمامًا: فالفترة $[0,1)$ مفتوحة سورغنفرايًا وليست مفتوحة بالمعنى المعتاد. والاتصال من مستقيم سورغنفراي عند $x$: يحتوي جوار سورغنفرايّ للنقطة $x$ على مجموعة أساسية $[a, b) \ni x$، ومنه يحتوي على $[x, b)$ — ومنه يُقرأ شرط الاتصال على النحو: من أجل كل $\varepsilon > 0$ يوجد $\delta > 0$ يحقق $\abs{f(t) - f(x)} < \varepsilon$ كلما كان $x \leq t < x + \delta$. وهذا هو بالضبط الاتصال من اليمين عند $x$.

حل التمرين 6.3.

لمفتوحتين غير خاليتين متممان منتهيان، ومنه فلتقاطعهما متمم منتهٍ: فهو غير خالٍ (لأن المجموعة لامنتهية) — ومنه لا يوجد نقطتان لهما جواران منفصلان: فالفضاء ليس هاوسدورفيًا، ومنه فهو غير قابل للتمتير (التعريف 6.7). ولتكن $(x_n)$ متباينة وليكن $x$ كيفيًا: يحتوي جوار للنقطة $x$ على مفتوحة $U$ متممها منتهٍ؛ وتُصاب نقط $X\setminus U$ المنتهية العدد بعدد منتهٍ من الأدلّة على الأكثر (بالتباين)، ومنه يقع ذيل للمتتالية في $U$: أي $x_n \to x$، من أجل كل $x$. ويحتاج برهان الوحدانية إلى جوارين منفصلين لفصل نهايتين مزعومتين — وهو بالضبط ما يخفق هنا.

حل التمرين 6.4.

(a) الاتصال بحكم البناء (التعريف 6.9). وأما كونهما مفتوحين: فكل مفتوحة $W \subseteq X \times Y$ اتحادٌ لصناديق $U_i\times V_i$، و $\pi_X(W) = \bigcup U_i$ (لأن الصناديق غير الخالية تُسقَط على عواملها)، وهي مفتوحة. وليسا مغلقين: فالمجموعة $H = \{(x,y) : xy = 1\}$ مغلقة في $\R^2$ (بوصفها سابق $\{1\}$ بالجداء المتصل)، لكن $\pi_X(H) = \R\setminus\{0\}$ ليست مغلقة.

(b) ($\Rightarrow$) الإسقاطات متصلة. ($\Leftarrow$) ليكن $x^{(k)} \to x$ مركّبةً مركّبةً وليكن $W = \prod U_n$ جوارًا أساسيًا للنقطة $x$، مع $U_n = X_n$ عدا من أجل $n \in F$ منتهية. فمن أجل كل $n \in F$ لدينا $x_n^{(k)} \in U_n$ من أجل $k \geq K_n$؛ ومن أجل $k \geq \max_F K_n$ يكون $x^{(k)} \in W$. وتعرّف الصيغة $d$ مسافة (فكل حد مسافة، إلى حدود التحقق المعياري من أن $\min(1, d_n)$ كذلك)؛ وأما كراتها: فإن $B_d(x, 2^{-N})$ تحتوي على الصندوق الأساسي $\{y : d_n(x_n,y_n) < 2^{-N},\ n \leq N'\}$ من أجل $N'$ مناسب (لأن الذيل $\sum_{n > N'} 2^{-n}$ صغير)، وبالعكس يحتوي كل صندوق أساسي على كرة $d$: أي إن للطوبولوجيتين جوارات كل نقطة نفسها.

(c) في الطوبولوجيا الجدائية، $x^{(k)} \to 0$ حسب (b). أما المجموعة المفتوحة صندوقيًا $U = \prod_n \intoo{-\tfrac1n}{\tfrac1n}$ فتحتوي على $0$، لكن $x^{(k)} \notin U$ من أجل كل $k$ (لأن الإحداثي النوني من الرتبة $n$ يحقق $1/k \geq 1/n$ حين $n \geq k$): فلا يدخل أي ذيل في $U$. إذن طوبولوجيا الصناديق أدقّ تمامًا وليست طوبولوجيا من النمط الجدائي لأغراض التقارب.

حل التمرين 6.5.

التطبيق $\varphi \colon \R \to S^1$، $x \mapsto \eu^{2\iu\pi x}$، متصل وشامل وثابت على الأصناف بترديد $\Z$: ومنه فهو يُحدث تقابلًا متصلًا $\bar\varphi \colon \R/\Z \to S^1$ (القضية 6.10(b)). والإسقاط $\pi$ مفتوح: فمن أجل $U \subseteq \R$ مفتوحة، تكون $\pi^{-1}(\pi(U)) = \bigcup_{n}(U + n)$ مفتوحة، ومنه $\pi(U)$ مفتوحة. وأما هاوسدورف: فليكن $\bar x \neq \bar y$؛ نختار ممثّلين يحققان $\delta = \min_{n}\abs{x - y - n} > 0$؛ فتكون صور الفترات ذات نصف القطر $\delta/3$ حول $x$ و $y$ مفتوحةً (بانفتاح $\pi$)، وتحتوي على $\bar x, \bar y$، وهي منفصلة (إذ إن نقطتَي سابق ستكونان على مسافة $< 2\delta/3$ بترديد $\Z$). وأما التراص: فإن $\R/\Z = \pi([0,1])$، وهي صورة متصلة لفضاء متراص (المبرهنة 6.13(2)). والآن يكون $\bar\varphi$ تقابلًا متصلًا من فضاء متراص إلى $S^1$ الهاوسدورفي: أي إنه تماثل طوبولوجي (النتيجة 6.14).

ومن أجل (ج): يكون المركّب $[0,1] \hookrightarrow \R \xrightarrow{\pi} \R/\Z$ متصلًا وشاملًا ويطابق $0 \sim 1$ بالضبط: ومنه يُحدث تقابلًا متصلًا $[0,1]/(0\sim1) \to \R/\Z$ من فضاء متراص (بوصفه صورة متصلة للفترة $[0,1]$ بإسقاط القسمة) إلى فضاء هاوسدورفي: أي إنه تماثل طوبولوجي. وبالتركيب: تكون الفضاءات الثلاثة مماثلة طوبولوجيًا.

حل التمرين 6.6.

(a) تُقصَر أي تغطية للمجموعة $K_1 \cup \dots \cup K_m$ إلى تغطية لكل $K_j$: ويكفي عدد منتهٍ من المفتوحات لكل قطعة. وأما التقاطع $\bigcap K_i$ فهو مغلق في المتراص $K_{i_0}$ (لأن المتراصات مغلقة في الفضاء المتري المحيط)، ومنه فهو متراص.

(b) التطبيق $x \mapsto d(x, F)$ متصل (وهو ليبشيتزي بثابت $1$) وموجب تمامًا على $K$ (لأن $d(x, F) = 0$ يعني $x \in \bar F = F$)؛ وعلى المتراص $K$ يبلغ قيمة صغرى $m > 0$: أي $d(K, F) \geq m$. ومثال مضادّ دون تراص: المجموعتان $F_1 = \{n : n \geq 2\}$ و $F_2 = \{n + \frac1n : n \geq 2\}$ مغلقتان ومنفصلتان، والمسافة بينهما $\inf_n \frac1n = 0$.

(c) إذا كان $X$ متراصًّا، فكل تطبيق متصل $f$ محدود (المبرهنة 6.13(2)). وبالعكس، إذا لم يكن $X$ متراصًّا، أخذنا $(x_n)$ بلا متتالية جزئية متقاربة (المبرهنة 6.16)؛ وبالانتقال إلى متتالية جزئية يمكننا أن نفترض أن الحدود $x_n$ متمايزة مثنى مثنى، وأنه ليست أي نقطة من $X$ نقطةَ تراكم للمتتالية، ومنه

وتكون الكرات $B(x_n, r_n)$ منفصلة مثنى مثنى (إذ إن نقطة مشتركة بين النونية من الرتبة $n$ والنونية من الرتبة $m$ ستعطي $d(x_n, x_m) < r_n + r_m \leq \frac23 d(x_n, x_m)$). نعرّف

فعند كل $x$ لا يكون أكثر من حد واحد غير معدوم، و $f(x_n) = n$. وأما الاتصال عند $x$: فليكن $y_k \to x$؛ فتكون كل قيمة $f(y_k)$ إما $0$ وإما قيمةَ نتوء واحدة $\mathrm{bump}_{n_k}(y_k)$. فإذا تكرّر دليل $n$ ما عددًا لامنتهيًا من المرات، فإن $f(y_k) = \mathrm{bump}_n(y_k) \to \mathrm{bump}_n(x)$ على تلك المتتالية الجزئية، وهي تساوي $f(x)$ (إذ إذا كان $x \in B(x_n, r_n)$، فإن الذيل كله يقع في هذه الكرة المفتوحة ولا يظهر دليل آخر؛ وإذا كان $x \notin B(x_n, r_n)$ فإن $\mathrm{bump}_n(x) = 0 = f(x)$، لأن $x$، وهي ملتصقة بالكرة النونية من الرتبة $n$، لا تقع في أي كرة مفتوحة أخرى). وإذا كان $n_k \to \infty$: فإن $d(y_k, x_{n_k}) < r_{n_k} \leq 2^{-n_k} \to 0$، ومنه $x_{n_k} \to x$، فتصير $x$ نقطة تراكم للمتتالية $(x_n)$ — وهذا مستبعَد؛ ومنه فهذه الحالة تخص عددًا منتهيًا من الأدلّة $k$ لا غير. وفي كل الحالات $f(y_k) \to f(x)$: أي إن $f$ متصل وغير محدود.

حل التمرين 6.7.

لنفترض أنه لا يوجد $\delta$ يفي بالغرض: فمن أجل كل $n$ توجد $A_n$ قطرها $< 1/n$ ولا تقع في أي مجموعة واحدة $U_i$؛ نختار $x_n \in A_n$. وبالتراص (المبرهنة 6.16)، توجد متتالية جزئية $x_{n_k} \to x$؛ نختار $i$ و $r > 0$ يحققان $B(x, r) \subseteq U_i$. ومن أجل $k$ كبير: $d(x_{n_k}, x) < r/2$ و $1/n_k < r/2$، ومنه $A_{n_k} \subseteq B(x_{n_k}, 1/n_k) \subseteq B(x, r) \subseteq U_i$ — وهو تناقض. وأما هاين: فإذا أُعطي $\varepsilon$، غطّينا $Y$ بكرات $B(y, \varepsilon/2)$؛ فتشكّل السوابق تغطية مفتوحة للفضاء $X$؛ وليكن $\delta$ عددَ لوبيغ: فإذا كان $d(x, x') < \delta$، كان قطر الزوج $\{x, x'\}$ يحقق $< \delta$، فيقع في سابق واحد، ومنه $d(f(x), f(x')) < \varepsilon$.

حل التمرين 6.8.

(a) المجموعة $GL_n(\R) = \det^{-1}(\R\setminus\{0\})$ مفتوحة (لأن $\det$ كثير حدود، ومنه متصل). وغير مترابطة: إذ يرسلها $\det$ على $\R\setminus\{0\}$، ولفضاء مترابط صورٌ متصلة مترابطة (المبرهنة 6.20(2))؛ والمجموعة $\R\setminus\{0\}$ ليست فترةً. وأما $GL_n(\C)$: فمن أجل $A, B$ قابلتين للقلب، يكون $p(\lambda) = \det\bigl((1-\lambda)A + \lambda B\bigr)$ كثير حدود في $\lambda$ يحقق $p(0), p(1) \neq 0$، ومنه فهو غير معدوم تطابقيًا: فله عدد منتهٍ من الجذور في $\C$. والمستوي منزوعًا منه عدد منتهٍ من النقط مترابط بالمسارات (بتجنّب النقط بالدوران حولها)، ومنه يوجد مسار $\lambda(t)$ من $0$ إلى $1$ يحقق $p(\lambda(t)) \neq 0$: فيكون $t \mapsto (1-\lambda(t))A + \lambda(t)B$ مسارًا في $GL_n(\C)$.

(b) ينعدم $\det(A + \varepsilon I) = \chi_A(-\varepsilon)\cdot(\pm1)$ من أجل $n$ من القيم $\varepsilon$ على الأكثر: ومنه فإن المصفوفات القابلة للقلب $A + \varepsilon I \to A$ حين $\varepsilon \to 0$: أي الكثافة.

حل التمرين 6.9.

(a) لتحتوِ $A \subseteq \Q$ على $p < q$ ولنختر عددًا أصمّ $\alpha \in (p, q)$: فتشطر $A = (A \cap (-\infty, \alpha)) \sqcup (A\cap(\alpha, +\infty))$ المجموعةَ $A$ إلى قطعتين غير خاليتين مفتوحتين نسبيًا: أي إن $A$ غير مترابطة. ومنه فالمركّبات أحادية. ويخفق التراص المحلي: فجوار متراص $V$ للنقطة $0$ في $\Q$ يحتوي على $[-r, r]\cap\Q$ من أجل $r > 0$ ما، وهي مغلقة في $V$، ومنه متراصة؛ لكن متتالية من الأعداد الناطقة في $[-r,r]$ تتقارب (في $\R$) إلى عدد أصمّ ليست لها متتالية جزئية متقاربة في $\Q$: وهو تناقض مع المبرهنة 6.16.