Wat is topology? — Wiskunde

Definitie 25.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 25 — Functies van twee veranderlijken

Op $\R^2$ gebruiken wij de euclidische norm $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Hoofdstuk 23). Open bollen, omgevingen en open deelverzamelingen van $\R^2$ worden precies zo gedefinieerd als in Hoofdstuk 12, met bollen in plaats van intervallen. Een functie $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ open) heet continu in $a \in U$ wanneer

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

met dezelfde karakterisering met rijen als in één veranderlijke. Sommen, producten, quotiënten en samenstellingen met continue functies van één veranderlijke bewaren de continuïteit; de coördinaatafbeeldingen zijn continu, en dus ook de veeltermen in $(x,y)$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 25.2 (De poolgrens, de nette manier om een limiet te bewijzen)

Toon aan dat $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (met $f(0,0) = 0$ ) continu is in de oorsprong. In poolcoördinaten $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

een grens onafhankelijk van $\theta$ : wat de richting van de benadering ook is, de waarden worden naar $0$ geknepen. Die uniformiteit in $\theta$ is het hele punt — een grens als $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (zonder $\rho$ ) bewijst niets, en die $g$ is inderdaad de discontinue radiale val van het volgende voorbeeld.

Voorbeeld 25.3 (De radiale val)

Zij $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ voor $(x,y) \neq (0,0)$ en $f(0, 0) = 0$ . Langs elke as is $f = 0 \to 0$ ; maar langs de diagonaal $y = x$ is $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Geen limiet in de oorsprong: langs elke rechte benaderen, en zelfs langs elke rechte dezelfde limiet vinden, is niet genoeg (hier verschillen de limieten langs de rechten al; ergere voorbeelden stemmen langs alle rechten overeen en falen toch langs een parabool, Oefening 25.3). Continuïteit in elke veranderlijke afzonderlijk impliceert geen continuïteit.

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 6.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 6 — Algemene topologie

Een topologie op een verzameling $X$ is een familie $\mathcal T$ van deelverzamelingen van $X$ — de open verzamelingen — zodanig dat $\varnothing, X \in \mathcal T$ , dat elke vereniging van open verzamelingen open is, en dat elke eindige doorsnede van open verzamelingen open is. Het paar $(X, \mathcal T)$ heet een topologische ruimte. Complementen van open verzamelingen heten gesloten. Een omgeving van $x$ is een verzameling die een open verzameling bevat die $x$ bevat.

Voorbeelden

Voorbeeld 6.2

(a) Een metrische ruimte, met “open” als in bachelorjaar 2 (verenigingen van open ballen): de metrische topologie; verschillende metrieken kunnen dezelfde topologie geven (gelijkwaardige metrieken). Een ruimte waarvan de topologie uit een metriek voortkomt heet metriseerbaar. (b) De discrete topologie (alle deelverzamelingen) en de indiscrete topologie $\{\varnothing, X\}$ . (c) De cofiniete topologie op een oneindige verzameling: open $=$ leeg of met eindig complement. Niet metriseerbaar, zoals we zullen zien (Oefening 6.3). (d) Op $\R$ de gewone topologie; op $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ de ordetopologie voortgebracht door de halfrechten — waardoor “ $x_n \to +\infty$ ” een geval van gewone convergentie wordt.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Voorbeelden

Verwante begrippen