الرياضيات الجامعية — السنة 1 · Bachelor Year 1

23الفضاءات الإقليدية

إضافة جداء سلّمي إلى فضاء متجهي حقيقي تشتري المفاهيم الهندسية — الأطوال والزوايا والتعامد والمسافات — و مبرهنةً واحدة تعلو على الفصل: أي إن لكل فضاء جزئي إسقاطًا متعامدًا، قابلًا للحساب بغرام–شميت، ويحقق أقصر مسافة. وتختم تقايسات المستوي الفصلَ وهندسة السنة.

وفي كل ما يأتي، $E$ فضاء متجهي حقيقي.

23.1 الجداءات السلّمية

تعريف 23.1

الجداء السلّمي على $E$ تطبيق $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ ثنائي الخطية، ومتماثل، ومعيَّن موجب ( $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ ). والفضاء ذو البُعد المنتهي المزوَّد به فضاء إقليدي. ومعيار $x$ هو $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ ، و $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

مثال 23.2

على $\R^n$ : الجداء القانوني $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . وعلى $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (والتعيين الموجب هو المبرهنة 15.7 (4)). وعلى $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ ، أو $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ على $n+1$ نقطة متمايزة.

مثال 23.3 (الزاوية بين كثيرَي حدود)

ما إن يُختار جداء سلّمي، تكتسب أيّ متجهتين غير معدومتين زاويةً، عبر $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (وهو جيب تمام مشروع بكوشي–شوارتز). ومن أجل $X$ و $X^2$ في $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

أي زاوية نحو $14.5$ درجة — فعلى $\intcc{0}{1}$ ، يكون منحنيا $x$ و $x^2$ «شبه متوازيين» بمعنى المتوسط التربيعي، ولهذا لا تترك إزالة ذلك الاتجاه المشترك (غرام–شميت أدناه) إلا التصحيح الصغير $X^2 - X + \frac16$ .

مبرهنة 23.4 (كوشي–شوارتز؛ خصائص المعيار)

من أجل كل $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x, y$ متناسبين. ونتيجةً لذلك يحقق $\norm\cdot$ متراجحةَ المثلث $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (و $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ و $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). وفوق ذلك:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

برهان. إذا كان $y = 0$ ، فكل شيء بديهي. وإلا فإن كثير الحدود من الدرجة الثانية $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ هو $\geq 0$ من أجل كل $t$ : ومنه فمميّزه $\leq 0$ ، وهذا هو كوشي–شوارتز؛ والمساواة تعني جذرًا مضاعفًا $t_0$ ، أي $x + t_0 y = 0$ (بالتعيين): ومنه التناسب. ومتراجحة المثلث: انشر،

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

والخطوة الوسطى هي كوشي–شوارتز؛ وتفرض المساواة $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ ، أي حالة المساواة الموجبة، أي التناسب بنسبة غير سالبة — وهندسيًا، لا ينحلّ المثلث إلا عندما تشير المتجهتان في الاتجاه نفسه. والمتطابقتان الأخيرتان نشران مباشران (والثانية، وهي متطابقة الاستقطاب، تستعيد الجداء من المعيار). ∎

23.2 التعامد

تعريف 23.5

يكون $x \perp y$ إذا كان $\langle x, y \rangle = 0$ . وتكون العائلة متعامدة إذا كانت متجهاتها متعامدة مثنى مثنى، و متعامدة ممنظمة إذا كان معيار كلٍّ منها فوق ذلك $1$ . والمتمم المتعامد لفضاء جزئي $F$ هو

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

وهو فضاء جزئي من $E$ .

قضية 23.6

(فيثاغورس) إذا كان $x \perp y$ فإن $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . وكل عائلة متعامدة من متجهات غير معدومة حرةٌ. وفي أساس متعامد ممنظم $(e_1, \dots, e_n)$ ، تكون الإحداثيات والجداءات

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

برهان. فيثاغورس: انشر. والحرية: خذ $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ لتركيبة معدومة: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . والإحداثيات: اكتب $x = \sum \lambda_i e_i$ وخذ الجداء مع $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ؛ وتتبع الصيغتان بثنائية الخطية. ∎

مثال 23.7 (الإحداثيات المتعامدة الممنظمة، مع تحقق بارسيفال)

انشر $x = (1, 2, 3)$ في الأساس المتعامد الممنظم للمقدار التمرين 23.3،

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

فلا جملة تُحلّ — بل ثلاثة جداءات سلّمية:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

والمصادقة بصيغة المعيار في القضية:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

وتحقق مجموع مربعات الإحداثيات هذا (وهو متطابقة بارسيفال منتهية) يكلّف ثوانيَ ويمسك أخطاء الإشارة والتنظيم بيقين شبه تامّ — فاجعله عادة كلما حُسب نشر متعامد ممنظم؛ وصيغته غير المنتهية البُعد، من أجل معاملات فورييه في المثال 23.14، مبرهنةٌ في مجلّد السنة الثالثة.

مبرهنة 23.8 (غرام–شميت)

لكل فضاء إقليدي أسسٌ متعامدة ممنظمة. وصراحةً، من أيّ أساس $(v_1, \dots, v_n)$ ، تنتج الوصفة

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

أساسًا متعامدًا ممنظمًا $(e_1, \dots, e_n)$ مع $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ من أجل كل $k$ .

برهان. بالاستقراء على $k$ . وبفرض $(e_1, \dots, e_{k-1})$ متعامدة ممنظمة تولّد $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ : تكون المتجهة $w_k$ متعامدة مع كل $e_j$ ( $j < k$ ) بحكم البناء ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ )، و $w_k \neq 0$ لأن $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . ويبقي التنظيم التعامدَ؛ وتصحّ عبارة التوليد لأن $e_k$ تركيبةٌ من $v_k$ ومن المقادير $e_i$ السابقة، بكيفية قابلة للقلب. ∎

مثال 23.9 (غرام–شميت على كثيرات الحدود، كاملًا)

عمّد $(1, X, X^2)$ في $\R_2[X]$ بالجداء $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . الخطوة 1: $\norm{1}^2 = 1$ ، ومنه $e_1 = 1$ . والخطوة 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ ، و $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : ومنه $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . والخطوة 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ و

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{ومنه}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

ومعياره محسوب في التمرين 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ ، ومنه $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . وكثيرات الحدود $1$ و $X - \frac12$ و $X^2 - X + \frac16$ هي، بغضّ النظر عن السلّم، أوائل كثيرات حدود لوجاندر للفترة $\intcc{0}{1}$ ؛ ويستمر البناء درجةً درجة، وكل كثير حدود جديد متعامد مع كل سابقيه. ولاحظ كيف تعيد الخوارزمية تدوير العمل السابق: فالإسقاط المطروح في الخطوة 3 هو بالضبط أفضل تقريب أفيني للمقدار $X^2$ الموجود في المثال 23.12 — فغرام–شميت هو إسقاط متعامد مكرَّر.

مبرهنة 23.10 (الإسقاط المتعامد)

ليكن $F$ فضاءً جزئيًا من الفضاء الإقليدي $E$ . عندئذ

E = F \oplus F^{\perp},

ويُعطى الإسقاط المرتبط $p_F$ على $F$ (وهو الإسقاط المتعامد)، في أيّ أساس متعامد ممنظم $(e_1, \dots, e_k)$ للمقدار $F$ ، بالمقدار $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . وهو يحقق المسافة إلى $F$ : فمن أجل كل $y \in F$ ،

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

مع المساواة من أجل $y = p_F(x)$ فقط؛ ويُكتب $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

برهان. خذ أساسًا متعامدًا ممنظمًا $(e_i)_{i \leq k}$ للمقدار $F$ (المبرهنة 23.8 داخل $F$ ) وضع $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . عندئذ $x - \pi(x) \perp e_j$ من أجل كل $j$ (بالتلاشي نفسه أعلاه)، ومنه $x - \pi(x) \in F^\perp$ : أي $E = F + F^\perp$ . و $F \cap F^\perp = \{0\}$ : لأن مثل هذه المتجهة تحقق $\langle x, x\rangle = 0$ . ومنه فالمجموع مباشر و $\pi = p_F$ .

والمسافة: من أجل $y \in F$ ، فكّك $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ ، وهما قطعتان متعامدتان ( $F^\perp$ و $F$ )؛ وبفيثاغورس:

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

والمساواة إذا وفقط إذا كان $y = p_F(x)$ . ∎

مثال 23.11 (الإسقاطات لا تطيل أبدًا)

بتطبيق فيثاغورس على الانقسام $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x \in F$ . وفي أساس متعامد ممنظم $(e_1, \dots, e_k)$ للمقدار $F$ يُقرأ هذا $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (وهي متراجحة بسّل): فمهما بلغ عدد الاتجاهات المتعامدة الممنظمة التي يقيسها المرء، لا تتجاوز مربعات الإحداثيات مربعَ الطول — وقارن المساواة المضبوطة في المثال 23.7 عندما تكون العائلة أساسًا كاملًا. وهذه المتراجحة ذات السطر الواحد هي ما يجعل معاملات فورييه قابلة للجمع في مجلّد السنة الثالثة؛ وهي هنا تفسّر أصلًا لماذا لا تستطيع إضافة دوال أساس أخرى إلى مقايسة بالمربعات الصغرى إلا أن تنقص الباقي.

مثال 23.12 (أفضل تقريب من الدرجة الثانية)

في $C(\intcc{0}{1})$ بالجداء $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ ، يكون كثير الحدود من الدرجة $\leq 1$ الأقرب إلى $f(x) = x^2$ في المسافة المرتبطة (متوسط تربيعي) هو $p_F(f)$ حيث $F = \R_1[X]$ . وغرام–شميت على $(1, X)$ : $e_1 = 1$ و $w_2 = X - \frac12$ و $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ و $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . عندئذ

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

باستعمال $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . أي فكرة «المربعات الصغرى» في سطر واحد من الجبر الخطي.

طريقة 23.13 (ثلاثة طرق إلى مسافة $d(x, F)$ )

أساس متعامد ممنظم للمقدار $F$ : عندئذ $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ و، بفيثاغورس،

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

وهو أرخص كثيرًا من حساب $x - p_F(x)$ نفسه.
المعادلات الناظمية: مع أيّ عائلة مولِّدة للمقدار $F$ ، حُلَّ $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ من أجل معاملات $p$ (التمرين 23.5) — دون أيّ تعميد.
عبر المتمم: إذا كان $F^\perp$ أصغر من $F$ (مثلًا $F$ مستوٍ فائق و $F^\perp$ مستقيم $\operatorname{Vect}(n)$ )، فأسقط على $F^\perp$ بدلًا من ذلك:

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

وهي صيغة المسافة الكلاسيكية إلى مستوٍ (ويستعملها التمرين 25.8).

والطريق 3 حالة خاصة من منعكس عام: أسقط دائمًا على أصغر بُعدًا من $F$ و $F^\perp$ .

مثال 23.14 (التعامد المثلثي: عرض مسبق لفورييه)

على $C(\intcc{0}{2\pi})$ بالجداء $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ ، تكون العائلة

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

متعامدة ممنظمة: فمثلًا $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ من أجل $p \neq q$ (بتخطيط الجداء إلى $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ والمكاملة على دورات كاملة)، بينما $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . ومنه فللإسقاط المتعامد على الفضاء المولَّد بالدوال $2N + 1$ الأولى منها إحداثيات $\langle f, e_i\rangle$ — أي تكاملات في مقابل جيوب التمام والجيوب. وهذه هي معاملات فورييه للمقدار $f$ ، ويكون الإسقاط أفضل تقريب مثلثي بالمتوسط التربيعي؛ ويدرس مجلّد السنة الثالثة تقاربها. ويقوم التعامد بكل العمل: فصيغ المعاملات هي المبرهنة 23.10 حرفيًا.

23.3 تقايسات المستوي

تعريف 23.15

يكون التشاكل الذاتي $u$ لفضاء إقليدي تقايسًا (أو تطبيقًا متعامدًا) إذا حفظ المعيار: $\norm{u(x)} = \norm x$ من أجل كل $x$ — وبكيفية مكافئة (بالاستقطاب) يحفظ الجداء السلّمي؛ وبكيفية مكافئة تحقق مصفوفته $A$ في أساس متعامد ممنظم $A^{\mathsf T} A = I$ . وتكوّن التقايسات زمرةً، هي الزمرة المتعامدة $O(E)$ .

مثال 23.16 (التعرّف على تقايس بالنظر)

هل $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ متعامدة؟ الأعمدة: المعياران $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ و $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ؛ والجداء $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . نعم — و $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ ، ومنه فهي الدوران $R_\theta$ مع $\cos\theta = \frac35$ و $\sin\theta = \frac45$ (وهو «دوران $3$ - $4$ - $5$ »، وزاويته ليست كسرًا لافتًا من $\pi$ ). وعلى النقيض فإن $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ لها مظهر مسلَّم بالمحدد الواحدي لكن عمودها الأول ليس واحديًا ( $\frac1{\sqrt2}$ ): فهي ليست متعامدة — فالمحدد $\pm1$ وحده لا يصادق على شيء، بل يجب التحقق من الأعمدة.

مبرهنة 23.17 (تقايسات المستوي)

في أساس متعامد ممنظم لمستوٍ إقليدي، تكون مصفوفات التقايسات بالضبط

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{دوران بالزاوية } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

والأخيرة هي الانعكاس في المستقيم الذي يصنع الزاوية $\frac\theta2$ مع متجهة الأساس الأولى.

برهان. لتكن $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ مع $A^{\mathsf T}A = I$ : فالأعمدة واحدية ومتعامدة. والعمود الأول هو $(\cos\theta, \sin\theta)$ من أجل $\theta$ ما؛ والثاني، الواحدي والمتعامد معه، هو $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . وتعطي الإشارة $+$ المقدارَ $R_\theta$ ؛ وتعطي الإشارة $-$ المقدارَ $S_\theta$ . ويُتحقق من $S_\theta^2 = I$ ومن أن المتجهة $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ صامدة بينما تُعكس متعامدتها: أي انعكاس. (و $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : ومنه فزمرة الدورانات هي زمرة الزوايا — قارن المبرهنة 3.7.) ∎

انعكاسان يصنعان دورانًا: فبانعكاس M = (2, 0.5) في محور x، ثم في المستقيم y = x، نحطّ عند (-0.5, 2) — وهي صورة M بالدوران بالزاوية π2 حول المبدأ، أي ضِعف الزاوية π4 بين المحورين. وتحوّل مسألة نهاية الأسبوع هذه الصورة إلى قانون تركيب كل تقايسات المستوي. — انعكاسان يصنعان دورانًا: فبانعكاس $M = (2, 0.5)$ في محور $x$ ، ثم في المستقيم $y = x$ ، نحطّ عند $(-0.5, 2)$ — وهي صورة $M$ بالدوران بالزاوية $\frac\pi2$ حول المبدأ، أي *ضِعف* الزاوية $\frac\pi4$ بين المحورين. وتحوّل مسألة نهاية الأسبوع هذه الصورة إلى قانون تركيب كل تقايسات المستوي.

ملاحظة 23.18 (مزالق شائعة)

صيغة الإسقاط تحتاج إلى أساس متعامد ممنظم: فمن أجل عائلة مولِّدة فحسب $(v_i)$ للمقدار $F$ ، لا يكون المجموع $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ هو $p_F(x)$ (اختبر $F = \R^2$ مع $v_1 = e_1$ و $v_2 = e_1 + e_2$ )؛ ومع عائلة غير متعامدة ممنظمة، حُلَّ المعادلات الناظمية بدل ذلك (الطريقة 23.13 (2)). على العائلات المتعامدة أن تتجنّب $0$ لتكون حرة: فالمتجهة المعدومة متعامدة مع كل شيء، بما فيه نفسها — والحرية في القضية 23.6 تقتضي متجهات غير معدومة. المقدار $F^\perp$ يتعلق بالجداء السلّمي: ففي $\R_1[X]$ ، ليس متمم $\operatorname{Vect}(X)$ من أجل $\int_0^1 PQ$ هو الثوابت بل $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — احسب $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ؛ فكلمة «العمودي» بلا معنى حتى يُسمّى الجداء. لا تنشر $\norm{x + y}$ نشرًا خطيًا: فالمتطابقة الصحيحة هي $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ؛ ولا ينعدم الحدّ المتقاطع إلا بالتعامد (فيثاغورس)، ومتراجحة المثلث متراجحة. إرسال المتجهات الواحدية إلى متجهات واحدية لا يكفي: فالتطبيق $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ يرسل متجهتَي الأساس القانوني كلتيهما إلى المتجهة الواحدية $(1, 0)$ ، ومع ذلك $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : فلا تقايس. ويطلب التعريف $\norm{u(x)} = \norm x$ من أجل كل $x$ ؛ وبلغة المصفوفات $A^{\mathsf T}A = I$ ، أي أعمدة واحدية ومتعامدة مثنى مثنى — الشرطان معًا، متحقَّقًا منهما معًا.

ملاحظة 23.19 (إلى أين يذهب الجداء السلّمي)

الإسقاط المتعامد أكثر مبرهنات الفصل تطبيقًا: فهو يقوم تحت المربعات الصغرى (وتبني مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 25 مستقيمات الانحدار عليه)، ومعاملات فورييه (المثال 23.14)، والمعادلات الناظمية في التمرين 23.5، التي يحلّها التحليل العددي على نطاق واسع. ويكتمل التصنيف $R_\theta / S_\theta$ أدناه: فتصنّف مسألة نهاية الأسبوع كل التحويلات الحافظة للمسافات في المستوي، خطيةً كانت أو لا، وزمرها المنتهية — وهي رياضيات الورديات والمضلعات المنتظمة. وفي مجلّد السنة الثانية يلتقي الجداء السلّمي بنظرية القيم الذاتية (المصفوفات المتماثلة والأشكال التربيعية)؛ وفي السنة الثالثة تصير الهندسة الإقليدية غير المنتهية البُعد نظريةَ فضاءات هيلبرت.

ملاحظة 23.20 (منظورات داخل الكتاب 3)

جسران يغادران هذا الفصل. إلى الوراء، إلى الجبر الخطي: تعلّب مصفوفة غرام في التمرين 23.11 الجداءاتِ السلّمية في آلة المحددات في الفصل 22، ويكون الإسقاط المتعامد المسقطَ الخاص في الفصل 20 الذي نواته $F^\perp$ — وينطبق كل جبره ( $p^2 = p$ و $s = 2p - \mathrm{id}$ ) حرفيًا، مع مكافأة أن $\norm{x - p(x)}$ مسافة. وإلى الأمام، إلى التحليل: يقيس الفصل 24 طول القوس بمعيار هذا الفصل ولا يصنّف شيئًا دون تقايساته؛ و يقرأ الفصل 25 التدرجَ عبر كوشي–شوارتز (أشدّ صعود) ويختم المجلّد بالمربعات الصغرى، وهي المبرهنة 23.10 مطبَّقًا على متجهة معطيات في $\R^n$ . والجداء السلّمي هو الموضع الذي يلتقي فيه جبر الكتاب وتحليله أخيرًا.

23.4 تمارين

تمرين 23.1 ★

في $\R^3$ القانوني: احسب $\langle u, v\rangle$ و $\norm u$ و $\norm v$ والزاوية بين $u = (1, 2, 2)$ و $v = (2, -2, 1)$ . وتحقق من كوشي–شوارتز عدديًا.

حل

حل التمرين 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ؛ $\norm u = \norm v = 3$ . و المتجهتان متعامدتان: فالزاوية $\frac\pi2$ . وكوشي–شوارتز: $\abs 0 \leq 9$ ، بارتياح.

تمرين 23.2 ★

برهن على متطابقة متوازي الأضلاع $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ في أيّ فضاء إقليدي، واستعملها لتبيّن أن معيار الحد الأعلى على $\R^2$ ، $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ ، لا يأتي من جداء سلّمي.

حل

حل التمرين 23.2.

انشر مربعَي المعيارين بالمتطابقة في المبرهنة 23.4 واجمع: فتتلاشى الحدود المتقاطعة.

ومعيار الحد الأعلى: خذ $x = (1, 0)$ و $y = (0, 1)$ . عندئذ $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ وستقتضي المتطابقة $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ : وهذا خطأ. فالمعيار الذي ينتهك متطابقة متوازي الأضلاع لا يأتي من أيّ جداء سلّمي.

تمرين 23.3 ★

طبّق غرام–شميت على $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ في $\R^3$ القانوني.

حل

حل التمرين 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ؛ $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ ، ومنه $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ؛ وبالتنظيم، $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(وللتحقق: تنعدم الجداءات مثنى مثنى؛ ومعيار كلٍّ $1$ .)

تمرين 23.4 ★

في $\R^3$ ، لتكن $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . حدّد $F^\perp$ (معادلةً وأساسًا)، ومصفوفة $p_F$ في الأساس القانوني، و $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

حل

حل التمرين 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ ، بالأساس $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . ومع $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ ، ومنه

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

ومن أجل $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ و $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

تمرين 23.5 ★★

(المعادلات الناظمية) لتكن $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ و $x = (1, 1, 4)$ . احسب $p_F(x)$ بحلّ $\langle x - p, v \rangle = 0$ من أجل المولّدين ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ )، ثم $d(x, F)$ . ولماذا لا يلزم غرام–شميت هنا؟

حل

حل التمرين 23.5.

لتكن $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . وتعامد $x - p$ مع المولّدين:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

أي $2\alpha + \beta = 5$ و $\alpha + 2\beta = 5$ : ومنه $\alpha = \beta = \frac53$ . ومنه $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ و

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

ولا يلزم غرام–شميت لأن الخاصية المعرِّفة للإسقاط — $x - p \perp F$ — هي نفسها جملة خطية («المعادلات الناظمية») على المعاملات في أيّ عائلة مولِّدة.

تمرين 23.6 ★★

من أجل $f$ متصلة على $\intcc{0}{1}$ ، برهن على

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

مع حالة المساواة، مثالًا على كوشي–شوارتز في $C(\intcc{0}{1})$ . ثم برهن على $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ من أجل أعداد حقيقية $a_i$ .

حل

حل التمرين 23.6.

كوشي–شوارتز مع $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

والمساواة إذا وفقط إذا كان $f$ متناسبًا مع $1$ ، أي ثابتًا. والصيغة المتقطّعة: في $\R^n$ مع $x = (a_1, \dots, a_n)$ و $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ ، والمساواة إذا وفقط إذا تساوت كل $a_i$ .

تمرين 23.7 ★★

برهن على أنه من أجل كل فضاء جزئي $F$ من فضاء إقليدي: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ و $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

حل

حل التمرين 23.7.

حسب المبرهنة 23.10، $E = F \oplus F^\perp$ ، ومنه تُجمع الأبعاد: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . والاحتواء $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ مباشر (لأن متجهات $F$ متعامدة مع كل شيء في $F^\perp$ ). والأبعاد: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ؛ والاحتواء بأبعاد (منتهية) متساوية مساواةٌ (المبرهنة 19.14).

تمرين 23.8 ★★

عيّن تقايسات المستوي ذات المصفوفات

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(النوع، الزاوية أو المحور). واحسب $A^8$ و $B^2$ دون ضرب مصفوفات.

حل

حل التمرين 23.8.

$A$ : الأعمدة واحدية، والمحدد $+1$ : أي دوران، مع $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ و $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : ومنه $\theta = \frac\pi4$ . ومنه $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : المحدد $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : أي انعكاس $S_\theta$ مع $\cos\theta = \frac35$ و $\sin\theta = \frac45$ ؛ و محوره يصنع الزاوية $\frac\theta2$ مع محور $x$ ، أي المستقيم الذي يوجّهه $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — وملموسًا يكون المحور $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ ، لأن $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . ولكونه انعكاسًا، $B^2 = I$ .

تمرين 23.9 ★★★

(القيمة الصغرى إسقاطًا) احسب

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

باستعمال المثال 23.12: فالقيمة الصغرى هي $\norm{f - p_F(f)}^2$ من أجل $f = X^2$ و $F = \R_1[X]$ .

حل

حل التمرين 23.9.

المقدار هو $\norm{f - (a + bX)}^2$ في $C(\intcc{0}{1})$ بالجداء السلّمي التكاملي: وهو أصغري بالضبط عند الإسقاط المتعامد $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (المثال 23.12). والقيمة الصغرى هي

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

وبالنشر: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . ومنه فالقيمة الصغرى تساوي $\dfrac{1}{180}$ .

تمرين 23.10 ★★★

ليكن $u$ تقايسًا لفضاء إقليدي $E$ . برهن على أن $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ ، واستنتج $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (احسب $\langle x - u(x), y\rangle$ من أجل $u(y) = y$ ، مستعملًا حفظ الجداء.)

حل

حل التمرين 23.10.

ليكن $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (أي $u(y) = y$ ) وليكن $x \in E$ . عندئذ، باستعمال حفظ الجداء السلّمي ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ):

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

ومنه فكل متجهة من $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ متعامدة مع كل متجهة صامدة.

ومنه $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ ، ومنه، بمبرهنة الرتبة مع التمرين 23.7، يكون لكليهما البُعد $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : فهما متساويان. وعندئذ $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

تمرين 23.11 ★★

(مصفوفة غرام) من أجل متجهات $v_1, \dots, v_k$ من فضاء إقليدي، لتكن $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ مصفوفة غرام لها.

برهن على أن $(v_1, \dots, v_k)$ حرة إذا وفقط إذا كانت $G$ قابلة للقلب. (إذا كان $Gc = 0$ ، فاحسب $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
احسب مصفوفة غرام للعائلة $(1, X, X^2)$ في $\R_2[X]$ بالجداء $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ ، وتعرّف على مصفوفة هيلبرت $H_3$ في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22، واستنتج الحرية من $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

حل

حل التمرين 23.11.

افترض $Gc = 0$ من أجل عمود $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . عندئذ

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

ومنه $\sum_i c_i v_i = 0$ . وإذا كانت العائلة حرة فهذا يفرض $c = 0$ : ومنه فالمصفوفة $G$ قابلة للقلب. وبالعكس، تعطي علاقة غير بديهية $\sum_j c_j v_j = 0$ ، بأخذ الجداء مع كل $v_i$ ، العلاقةَ غير البديهية $Gc = 0$ : ومنه فالمصفوفة $G$ شاذة. فالحرية $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : فمصفوفة غرام للعائلة $(1, X, X^2)$ هي بالضبط مصفوفة هيلبرت $H_3$ ، ومحددها $\frac1{2160}$ محسوب في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22: وهو غير معدوم، ومنه فالوحيدات الحدّ حرة — كما كان متوقعًا، لكن مصادَقًا عليه الآن بعدد.

تمرين 23.12 ★★★

ليكن $u$ تشاكلًا ذاتيًا لفضاء إقليدي $E$ مصفوفته $A$ في أساس متعامد ممنظم متعامدةً ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) ومتماثلة ( $A^{\mathsf T} = A$ ) معًا.

بيّن $A^2 = I$ ، واستنتج (عبر المبرهنة 20.15) أن $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
بيّن أن الفضاءين الجزئيين متعامدان، ومنه فالتطبيق $u$ هو التماثل المتعامد بالنسبة إلى $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : أي الانعكاس عبر $F$ . (من أجل $u(x) = x$ و $u(y) = -y$ ، احسب $\langle x, y\rangle$ بكيفيتين.)
صنّف حالة المستوي: أيّ مصفوفات المبرهنة 23.17 متماثلة، وما التطبيقات المقابلة؟

حل

حل التمرين 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ ، ومنه $u^2 = \mathrm{id}$ : أي إن $u$ تماثل، و يعطي المبرهنة 20.15 (2) أن $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
ليكن $u(x) = x$ و $u(y) = -y$ . ولأن $u$ يحفظ الجداء السلّمي،

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

ومنه $\langle x, y\rangle = 0$ : فالفضاءان الذاتيان متعامدان، و $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ من أجل $F = \ker(u - \mathrm{id})$ ، ويكون $u$ التماثلَ المتعامد بالنسبة إلى $F$ .
يكون $R_\theta$ متماثلًا إذا وفقط إذا كان $-\sin\theta = \sin\theta$ ، أي $\theta \in \{0, \pi\}$ : أي التطبيقان $\pm\mathrm{id}$ (التطبيق المطابق والتماثل المركزي). وكل $S_\theta$ متماثل: أي انعكاسات المستقيمات. وهذه هي بالضبط التماثلات المتعامدة للمستوي، مع $F$ يساوي المستوي كله أو $\{0\}$ أو محور الانعكاس.

23.5 مسألة: تقايسات المستوي ومبرهنة ليوناردو

مسألة 23.1

تقايس المستوي هو أيّ تطبيق $f \colon \R^2 \to \R^2$ يحفظ المسافات: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ من أجل كل $x, y$ — دون افتراض خطية. وتبرهن هذه المسألة على أن مثل هذه التطبيقات هي بالضبط الانسحابات والدورانات والانعكاسات والانعكاسات المنزلقة (وهو تصنيف تقايسات المستوي)، وتحسب تراكيبها، وتحدّد كل زمرها المنتهية: أي مبرهنة ليوناردو، وهي رياضيات ما وراء أنماط الورديات. ومن الجزء 2 فصاعدًا نطابق $\R^2$ مع $\C$ (الفصل 3): فالجداء السلّمي القانوني هو $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ والمعيار هو المقياس.

الجزء 1 — كل تقايس أفيني.

تحقق من أن الانسحابات $t_a(x) = x + a$ والتقايسات الخطية وكل تراكيبها تقايساتٌ، ومن أن التقايسات تكوّن زمرةً بالتركيب.
ليكن $f$ تقايسًا مع $f(0) = 0$ . بيّن أن $f$ يحفظ المعايير، ثم — بالاستقطاب، المبرهنة 23.4 — أن $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ من أجل كل $x, y$ .
ومع $f(0) = 0$ دائمًا: انشر $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ و $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ باستعمال السؤال 2، واستنتج أن $f$ خطي: أي $f \in O(\R^2)$ .
استنتج أن كل تقايس $f$ يُكتب كتابة وحيدة $f = t_a \circ g$ مع $a = f(0)$ و $g$ تقايسًا خطيًا (وهو الجزء الخطي للمقدار $f$ ).
سمِّ $f$ مباشرًا إذا كان $\det g = 1$ ، وغير مباشر إذا كان $\det g = -1$ . بيّن أن الجزء الخطي لتركيب هو تركيب الجزأين الخطيين، واذكر قاعدة الإشارة الناتجة (المباشر/غير المباشر يتركبان مثل $+1/-1$ ).

الجزء 2 — الأنواع الأربعة. عبر المبرهنة 23.17، تكون التقايسات الخطية للمقدار $\C$ هي $z \mapsto az$ و $z \mapsto a\conj z$ مع $\abs a = 1$ ؛ ومنه فكل تقايس مستوٍ هو

f(z) = a z + b \quad (\text{مباشر}) \qquad\text{أو}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{غير مباشر}), \qquad \abs a = 1 .

تحقق من القاموس: $R_\theta$ هو $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ و $S_\theta$ هو $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (تحقق من كليهما على $1$ و $\iu$ ).
(الحالة المباشرة) ليكن $f(z) = az + b$ مع $\abs a = 1$ . بيّن: أنه إذا كان $a = 1$ فإن $f$ انسحاب؛ وإذا كان $a \neq 1$ فللمقدار $f$ نقطة صامدة وحيدة $z_0 = b/(1 - a)$ و $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : أي دوران مركزه $z_0$ و زاويته $\arg a$ .
(الحالة غير المباشرة) ليكن $f(z) = a\conj z + b$ ، ولتكن $v = a\conj b + b$ . بيّن $f \circ f = t_v$ و $f \circ t_v = t_v \circ f$ . وإذا كان $v = 0$ : فبيّن أن منتصف $z$ و $f(z)$ نقطة صامدة، وأن $f$ انعكاس في مستقيم. وإذا كان $v \neq 0$ : فبيّن أن $r = t_{-v/2}\circ f$ انعكاسٌ محوره موازٍ للمقدار $v$ ، بحيث يكون $f = t_{v/2} \circ r$ انعكاسًا منزلقًا. واختم: كل تقايس مستوٍ انسحابٌ أو دوران أو انعكاس أو انعكاس منزلق (وهو تصنيف تقايسات المستوي).
(التراكيب) بيّن: أن تركيب دورانين بزاويتين $\alpha$ و $\beta$ دورانٌ بالزاوية $\alpha + \beta$ (وانسحابٌ إذا كان $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ )؛ وأن تركيب انعكاسين دورانٌ بضِعف الزاوية بين المحورين (و انسحابٌ إذا كان المحوران متوازيين).
استنتج أن كل تقايس مستوٍ تركيبُ ثلاثة انعكاسات على الأكثر.

الجزء 3 — ثلاثة تعيينات.

صنّف تصنيفًا كاملًا $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : النوع والمحور ومتجهة الانزلاق.
ليكن $f$ الدوران بالزاوية $\frac\pi2$ حول $0$ وليكن $g$ الدوران بالزاوية $\frac\pi2$ حول $1$ . احسب $g \circ f$ في الصورة $z \mapsto az + b$ و عيّنه (النوع والمركز والزاوية).
ليكن $r_1(z) = \conj z$ (الانعكاس في المحور الحقيقي) و $r_2(z) = \iu\conj z$ (الانعكاس في المستقيم $y = x$ ). احسب $r_2 \circ r_1$ وتحقق من السؤال 9 على هذا المثال.

الجزء 4 — الزمر المنتهية: مبرهنة ليوناردو. لتكن $G$ زمرةً منتهية من تقايسات المستوي.

بيّن أن التقايسات تحفظ المرجّحات: فإذا كان $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ و $f = t_a \circ g$ ( $g$ خطي)، فإن $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
ضع $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ من أجل أيّ $x_0$ مختار. بيّن أن كل $h \in G$ يثبّت $c$ : أي إن للزمرة المنتهية من التقايسات نقطة صامدة مشتركة.
استنتج أنه، بعد الاقتران بالمقدار $t_{-c}$ ، يمكن افتراض $G \subseteq O(\R^2)$ . ولتكن $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ؛ وبيّن أنه إمّا $G = G^{+}$ وإمّا أن $G^{+}$ دليله $2$ بالضبط في $G$ (بإظهار تقابل $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
بيّن أن الزمرة المنتهية من الدورانات حول $c$ دوريةٌ: فبين عناصرها اختر الدوران $R_{\theta_0}$ ذا أصغر زاوية $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ ، واستعمل القسمة الإقليدية للزوايا لتبرهن على أنه يولّد؛ واختم بأن $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ و $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
افترض $G \neq G^{+}$ واختر انعكاسًا $s \in G$ . بيّن $G = G^{+} \cup sG^{+}$ ، وأن $s r s = r^{-1}$ من أجل كل دوران $r \in G^{+}$ ، وأن كل العناصر $n$ في $sG^{+}$ انعكاسات: ومنه فالزمرة $G$ هي الزمرة ثنائية السطح $D_n$ من الرتبة $2n$ .
اختم (بمبرهنة ليوناردو): كل زمرة منتهية من تقايسات المستوي دورية $C_n$ أو ثنائية السطح $D_n$ .

الجزء 5 — الأرباح، والتوليفة.

بيّن مباشرةً أن الزمرة المنتهية من التقايسات لا يمكن أن تحتوي أيّ انسحاب ولا أيّ انعكاس منزلق غير التطبيق المطابق (انظر في قوى مثل هذا العنصر).
ليكن $P_n$ المضلع المنتظم ذا $n$ ضلعًا برؤوسه جذور الوحدة من الرتبة $n$ ( $n \geq 3$ ). بيّن أن زمرة تماثله هي $D_n$ بالضبط: أي الدورانات $n$ $z \mapsto \omega^k z$ والانعكاسات $n$ $z \mapsto \omega^k \conj z$ مع $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ، ولا غير ذلك.
أظهر أشكالًا مستوية زمر تماثلها $C_1$ و $D_1$ و $D_2$ و $C_3$ على الترتيب.
اذكر العناصر الثمانية لزمرة تماثل المربع ذي الرؤوس $\pm1, \pm\iu$ تطبيقاتٍ $z \mapsto \omega^k z$ أو $z \mapsto \omega^k\conj z$ ، وأعطِ محور كلٍّ من الانعكاسات الأربعة.
ليكن $f, g$ دورانين بالزاوية نفسها $\theta \notin 2\pi\Z$ حول مركزين متمايزين $c_1 \neq c_2$ . احسب $f\circ g - g\circ f$ نقطةً نقطة وبيّن $f\circ g \neq g\circ f$ ؛ وبيّن فوق ذلك أن $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ انسحابٌ غير بديهي، ومنه تكون كل زمرة تحتوي $f$ و $g$ غير منتهية — وهو تفسير ثانٍ للمركز الوحيد في مبرهنة ليوناردو.
توليفة، في أربع جمل: أيّ نتيجتين بنيويتين تردّان التقايسات الكيفية إلى الجبر الخطي (السؤالان 3–4) والزمر المنتهية الكيفية إلى زمر جزئية من $O(2)$ (السؤال 15)؛ وما القائمة الكاملة لتقايسات المستوي وأيّ قرائن (مباشر/غير مباشر، النقاط الصامدة) تفصل الأنواع الأربعة؛ ولماذا تجعل قواعد التركيب في السؤال 9 الانعكاسات مولّدات كل شيء؛ وماذا تضيف مبرهنة ليوناردو على السلّم المنتهي. وسمِّ المبرهنتين المبرهن عليهما في الجزأين 2 و 4.

حل

حل المسألة 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ؛ والتقايس الخطي يحفظ المعايير، ومنه المسافات ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ )؛ وتركيب التطبيقات الحافظة للمسافات يحفظ المسافات. وكل تقايس متباين (لأن النقاط المتمايزة تبقى على مسافة موجبة) و، حسب التصنيف أدناه، تقابلي؛ والتطبيق المطابق والمعكوسات تقايسات: أي زمرة.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . وبالاستقطاب:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. بالنشر مع السؤال 2 (فكل جداء لصور $f$ يساوي جداء المتغيرين):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

كما يبيّن تحقّق مباشر؛ وكذلك $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . ومنه $f(x + y) = f(x) + f(y)$ و $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : أي إن $f$ خطي، و حافظ للمعيار: ومنه $f \in O(\R^2)$ .

4. ضع $a = f(0)$ و $g = t_{-a}\circ f$ : فهو تقايس يثبّت $0$ ، ومنه تقايس خطي (السؤال 3)، و $f = t_a \circ g$ . والوحدانية: يعطي $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ مقوَّمًا عند $0$ أن $a = a'$ ، ثم $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ ، لأن $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ من أجل $g$ خطي. ومنه فالجزء الخطي لتركيب هو $g \circ g'$ ، و $\det(gg') = \det g \det g'$ : أي مباشر $\circ$ مباشر $=$ غير مباشر $\circ$ غير مباشر $=$ مباشر، و مباشر $\circ$ غير مباشر $=$ غير مباشر — وهي قاعدة إشارة $\pm1$ .

6. يرسل $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ المقدارَ $1$ إلى $(\cos\theta, \sin\theta)$ و $\iu$ إلى $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : أي أعمدة $R_\theta$ . ويرسل $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ المقدارَ $1$ إلى $(\cos\theta, \sin\theta)$ و $\iu$ إلى $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : أي أعمدة $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . و $a \neq 1$ : لمعادلة النقطة الصامدة $az_0 + b = z_0$ الحلُّ الوحيد $z_0 = b/(1 - a)$ ، وعندئذ

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

وفي المعلم المتمركز عند $z_0$ ، يكون $f$ الضربَ في $a = \eu^{\iu\arg a}$ : أي الدوران بمركز $z_0$ وزاوية $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : أي $f^2 = t_v$ . والتبادل: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ و $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ ، ومنه $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

الحالة $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . ومن أجل أيّ $z$ ، يحقق المنتصف $m = \frac{z + f(z)}2$ (ولأن التقايسات أفينية، الجزء 1) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : ومنه توجد نقاط صامدة. وبالاقتران بالانسحاب إلى نقطة صامدة، يصير $f$ تقايسًا خطيًا غير مباشر، أي $S_\theta$ ما (المبرهنة 23.17): أي انعكاس في مستقيم.

والحالة $v \neq 0$ : يكون $r = t_{-v/2}\circ f$ غير مباشر و

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(باستعمال التبادل)، ومنه فالتطبيق $r$ انعكاس، و $f = t_{v/2}\circ r$ . ومحوره موازٍ للمقدار $v$ : لأن $r$ يتبادل مع $t_v$ (فكلٌّ من $f$ و $t_{v/2}$ يفعل)، ومنه يرسل $t_v$ المحورَ (وهو المستقيم الصامد للمقدار $r$ ) إلى نفسه، فيُفرض على $v$ أن يوجّهه. ومنه فالتطبيق $f$ انعكاس منزلق بمتجهة انزلاق $v/2$ . وقد صُنّف كل تقايس الآن: انسحاب أو دوران (مباشر)، أو انعكاس أو انعكاس منزلق (غير مباشر).

9. الدورانان $f(z) = az + b$ و $g(z) = a'z + b'$ مع $a = \eu^{\iu\alpha}$ و $a' = \eu^{\iu\beta}$ : فللتركيب $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ معاملٌ خطي $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : أي دوران بالزاوية $\alpha + \beta$ حسب السؤال 7، أو انسحاب عندما $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . والانعكاسان $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ مع $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (بمحور بالزاوية $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

وهو مباشر بالزاوية $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : أي ضِعف الزاوية بين المحورين؛ والمحوران المتوازيان ( $\theta_1 = \theta_2$ ) يعطيان انسحابًا.

10. الدوران بمركز $c$ وزاوية $\theta$ هو جداء انعكاسين في مستقيمين مارّين بالمقدار $c$ يصنعان الزاوية $\theta/2$ (السؤال 9، مقروءًا بالمقلوب)؛ والانسحاب $t_v$ هو جداء انعكاسين في مستقيمين متوازيين عموديين على $v$ على بعد $\norm v/2$ ؛ والانعكاس انعكاسٌ واحد؛ و الانعكاس المنزلق انعكاسٌ مركَّب مع انسحاب، ومنه ثلاثة. والحدّ الأقصى: ثلاثة.

11. $a = \iu$ و $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : أي انعكاس منزلق بمتجهة انزلاق $v/2 = 1 + \iu$ . و الانعكاس $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ هو $r(z) = \iu\conj z$ ، ومحوره المستقيم بالزاوية $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ : أي المستقيم $y = x$ . ومنه فالتطبيق $f$ انعكاس منزلق محوره $y = x$ ومتجهته $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ و $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ ، ومنه

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

فالمعامل الخطي $-1 = \eu^{\iu\pi}$ ، أي دوران بالزاوية $\pi$ (نصف دورة)، ومركزه $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : أي الدوران بالزاوية $\frac\pi2$ حول $0$ . ويتلاقى المحوران (المحور الحقيقي بالزاوية $0$ ؛ والمستقيم $y = x$ بالزاوية $\frac\pi4$ ) بالزاوية $\frac\pi4$ ، وضِعفها $\frac\pi2$ : ومنه يتأكد السؤال 9.

14. مع $f = t_a\circ g$ و $g$ خطي و $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. من أجل $h \in G$ ، باستعمال السؤال 14 (فالمعاملات $\frac1{\abs G}$ مجموعها $1$ ):

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

لأن $g \mapsto hg$ تقابلٌ من $G$ على نفسها.

16. تكوّن المقترنات $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) زمرةً من التقايسات التي تثبّت $0$ ، ومنه من التقايسات الخطية (السؤال 3): أي زمرة جزئية منتهية من $O(\R^2)$ . وإذا كان $s \in G$ ما غير مباشر، فإن التطبيق $g \mapsto sg$ يرسل $G^+$ إرسالًا متباينًا داخل $G\setminus G^+$ ويكون $h \mapsto s^{-1}h$ معكوسه (بقاعدة الإشارة في السؤال 5): ومنه $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ؛ وإلا فإن $G = G^+$ .

17. إذا كان $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ ، فهي $C_1$ . وإلا فاكتب عناصرها $R_\theta$ مع $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ ، ولتكن $\theta_0$ أصغر زاوية موجبة تظهر. ومن أجل $R_\theta \in G^{+}$ ، تعطي القسمة الإقليدية $\theta = k\theta_0 + \rho$ مع $0 \leq \rho < \theta_0$ أن $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ ، ومنه $\rho = 0$ بالأصغرية: ومنه $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . وبقسمة $2\pi$ على $\theta_0$ بالكيفية نفسها يتبيّن $2\pi = n\theta_0$ : أي $G^{+} \cong C_n$ ، مولَّدة بالدوران بالزاوية $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ بالعدّ في السؤال 16. ومع $s(z) = a\conj z$ و $r(z) = \omega z$ (في الصورتين الخطيتين، بعد السؤال 16؛ $\abs a = \abs\omega = 1$ ):

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

وكل عنصر $sr^k$ من $sG^{+}$ غير مباشر ويحقق $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : أي تقايس غير مباشر تقابضي يثبّت $c$ ، أي انعكاس. ومنه تتألف $G$ من $n$ دورانًا و $n$ انعكاسًا بالعلاقات $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ و $srs = r^{-1}$ : أي الزمرة ثنائية السطح $D_n$ .

19. وبالجمع: تثبّت الزمرة المنتهية من تقايسات المستوي نقطةً $c$ (السؤال 15)، وتُردّ إلى زمرة جزئية منتهية من $O(2)$ (السؤال 16)، وتكون $C_n$ إذا احتوت دورانات فقط (السؤال 17)، و $D_n$ فيما عدا ذلك (السؤال 18): وهي مبرهنة ليوناردو.

20. للانسحاب $t_v \neq \mathrm{id}$ قوًى $t_{kv}$ ، وكلها متمايزة (لأن $kv$ متمايزة مثنى مثنى من أجل $v \neq 0$ ): أي رتبة غير منتهية. وللانعكاس المنزلق $f$ لدينا $f^2 = t_v$ مع $v \neq 0$ : أي رتبة غير منتهية مرة أخرى. فلا واحد منهما يسع في زمرة منتهية — وهذا متسق مع الأسئلة 15–19، التي لم تنتج إلا دورانات وانعكاسات.

21. التطبيقات $2n$ تحفظ مجموعة الرؤوس: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ و $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ؛ ولكونها تقايسات، فهي تحفظ المضلع (لأن القطع تذهب إلى قطع). وبالعكس، يحفظ التماثل مرجّح الرؤوس $0$ (السؤال 14)، ومنه فهو خطي، ويبدّل الرؤوس (لأنها نقاط المضلع الأبعد مسافةً عن $0$ ). والتقايس الخطي الذي يرسل الرأس $1$ إلى $\omega^k$ هو $z \mapsto \omega^k z$ إذا كان مباشرًا، و $z \mapsto \omega^k\conj z$ إذا كان غير مباشر (لأن مصفوفته تتحدد بعمود واحد وبالإشارة): ومنه $2n$ تماثلًا على الأكثر، أي بالضبط $D_n$ أعلاه.

22. $C_1$ : مثلث مختلف الأضلاع (بلا تماثل غير بديهي). و $D_1$ : مثلث متساوي الساقين غير متساوي الأضلاع (بانعكاس واحد). و $D_2$ : مستطيل غير مربع (التطبيق المطابق، ونصف الدورة حول المركز، وانعكاسا المحورين). و $C_3$ : شكل ثلاثي الأذرع — ثلاثة أذرع منحنية متطابقة مثبَّتة على فترات $120$ درجة؛ فيقتل الانحناء كل انعكاس ويبقي الدورانات من الرتبة $3$ .

23. مع $\omega = \iu$ : الدورانات $z \mapsto z$ و $\iu z$ و $-z$ و $-\iu z$ (بالزوايا $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ )، والانعكاسات

z \mapsto \conj z \ (\text{محور } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

أي القطران والمتوسطان في المربع — وهي الزمرة ثنائية السطح $D_4$ من الرتبة $8$ .

24. اكتب $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ و $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . عندئذ

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

ومنه $f g \neq g f$ . ولكلا التركيبين معامل خطي $a^2$ ، ومنه فللمقدار $(fg)\circ(gf)^{-1}$ معاملٌ خطي $1$ : أي إنه الانسحاب بالمقدار $fg(z) - gf(z)$ ، وهو الثابت غير المعدوم أعلاه. والزمرة التي تحتوي $f$ و $g$ تحتوي هذا الانسحاب و كل قواه: ومنه فهي غير منتهية. فمركزا دوران أكثر مما تحتمل زمرة منتهية — وهو القلب الهندسي لمبرهنة ليوناردو.

25. (أ) يبيّن السؤالان 3–4 أن كل تطبيق حافظ للمسافات أفينيٌّ بجزء خطي متعامد، ويثبّت السؤال 15 كل زمرة منتهية عند نقطة صامدة: فتحوّل النتيجتان الهندسةَ المترية إلى جبر خطي عند المبدأ. (ب) و القائمة الكاملة هي الانسحاب والدوران والانعكاس والانعكاس المنزلق؛ ويفصل محدد الجزء الخطي المباشرَ عن غير المباشر، ويفصل وجود النقاط الصامدة بين النوعين داخل كل زوجية. (ج) وحسب السؤال 9، يتركّب انعكاسان ليعطيا أيّ دوران أو انسحاب، ومنه تولّد الانعكاسات الزمرةَ كلها — ويكفي ثلاثة على الأكثر من أجل أيّ تقايس. (د) وعلى السلّم المنتهي لا تنجو إلا عائلتان، الزمر الدورية والزمر ثنائية السطح، ولهذا تأتي زخارف الورديات في نوعين بالضبط (بمحاور مرآة أو بدونها). وقد برهن الجزء 2 على تصنيف تقايسات المستوي؛ وبرهن الجزء 4 على مبرهنة ليوناردو.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد