ما معنى التطبيق المنقول؟

مثال 2.9 (المنقول، عنصرًا عنصرًا)

ليكن للتطبيق $u \colon \R^2 \to \R^3$ المصفوفة $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ في الأسس القانونية. من أجل $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$، نحسب $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ على أساس الفضاء $\R^2$:

ومنه $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$، وتكون مصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي

فالمنقول المجرد هو المصفوفة المقلوبة، ولم يبقَ حساب يُؤخذ على الثقة. ولاحظ الآلية: صار العمود رقم $j$ من $A$ هو السطر رقم $j$ في المصفوفة الجديدة لأن $\psi \circ u$ يقرأ مخرجات $u$ عبر معاملات $\psi$.

مثال 2.11 (الرتبة مقروءة من الجهتين)

ليكن

رتبة الأعمدة: السطر الثالث مجموع الأولين، ومنه $\operatorname{rk} A \leq 2$؛ والعمودان $1$ و$2$ حرّان: ومنه $\operatorname{rk} A = 2$. نواة المنقول: يعطي حلّ $A^{\mathsf T}y = 0$ أن $y \in \R\,(1, 1, -1)$، ومنه فبعد $\ker A^{\mathsf T}$ هو $1 = 3 - 2$: أي بالضبط $(\operatorname{im} A)^\circ$ بمماهاة $(\R^3)^*$ مع متجهات الأسطر، كما تؤكد القضية 2.10 — فالعلاقة الوحيدة “السطر$_3$ = السطر$_1$ + السطر$_2$” هي مُبيد فضاء الأعمدة. ورتبة الأسطر ($2$ سطرًا حرًّا) ورتبة الأعمدة تتفقان لا مصادفةً بل لأن كلتيهما تساوي $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.