परिवर्त प्रतिचित्रण क्या है?

उदाहरण 2.9 (परिवर्त, प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि)

मान लीजिए $u \colon \R^2 \to \R^3$ का विहित आधारों में आव्यूह $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ है। $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ के लिए $\R^2$ के आधार पर $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ परिकलित कीजिए:

अतः $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, और द्वैत आधारों में $u^{\mathsf T}$ का आव्यूह

है: अर्थात् अमूर्त परिवर्त ही पलटा हुआ आव्यूह है, और कुछ भी विश्वास के भरोसे नहीं छूटता। कार्यविधि पर ध्यान दीजिए: $A$ का $j$-वाँ स्तंभ नए आव्यूह की $j$-वीं पंक्ति इसलिए बना कि $\psi \circ u$ $u$ के निर्गमों को $\psi$ के गुणांकों से होकर पढ़ता है।

उदाहरण 2.11 (कोटि दोनों ओर से पढ़ी गई)

मान लीजिए

स्तंभ कोटि: तीसरी पंक्ति पहली दो का योग है, अतः $\operatorname{rk} A \leq 2$; और स्तंभ $1$ तथा $2$ स्वतंत्र हैं: $\operatorname{rk} A = 2$। परिवर्त का केंद्रक: $A^{\mathsf T}y = 0$ हल करने पर $y \in \R\,(1, 1, -1)$ मिलता है, अतः $\ker A^{\mathsf T}$ की विमा $1 = 3 - 2$ है: और $(\R^3)^*$ को पंक्ति सदिशों से पहचानने पर यह ठीक $(\operatorname{im} A)^\circ$ है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 2.10 कहता है — अर्थात् अकेला संबंध “पंक्ति$_3$ = पंक्ति$_1$ + पंक्ति$_2$” ही स्तंभ समष्टि का विलोपक है। पंक्ति कोटि ($2$ स्वतंत्र पंक्तियाँ) और स्तंभ कोटि संयोग से नहीं, बल्कि इसलिए मिलती हैं कि दोनों $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ के बराबर हैं।