Wat is Getransponeerde afbeelding?

Voorbeeld 2.9 (De getransponeerde, term voor term)

Zij $u \colon \R^2 \to \R^3$ met matrix $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ in de canonieke basissen. Bereken voor $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ de vorm $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ op de basis van $\R^2$:

Dus $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, en in de duale basissen is de matrix van $u^{\mathsf T}$

de abstracte getransponeerde is de gekantelde matrix, en er blijft niets over dat op goed vertrouwen moet worden aangenomen. Let op het mechanisme: de $j$-de kolom van $A$ werd de $j$-de rij van de nieuwe matrix, omdat $\psi \circ u$ de uitvoer van $u$ door de coëfficiënten van $\psi$ heen leest.

Voorbeeld 2.11 (De rang van twee kanten gelezen)

Zij

Kolommenrang: de derde rij is de som van de eerste twee, dus $\operatorname{rk} A \leq 2$; de kolommen $1$ en $2$ zijn vrij: $\operatorname{rk} A = 2$. De kern van de getransponeerde: het oplossen van $A^{\mathsf T}y = 0$ geeft $y \in \R\,(1, 1, -1)$, dus heeft $\ker A^{\mathsf T}$ dimensie $1 = 3 - 2$: precies $(\operatorname{im} A)^\circ$ onder de vereenzelviging van $(\R^3)^*$ met de rijvectoren, zoals Propositie 2.10 beweert — de ene relatie “rij$_3$ = rij$_1$ + rij$_2$” is de annihilator van de kolomruimte. De rijenrang ($2$ vrije rijen) en de kolommenrang komen niet toevallig overeen, maar omdat beide gelijk zijn aan $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.