Qu'est-ce que « Application transposée » ?

Exemple 2.9 (La transposée, coefficient par coefficient)

Soit $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matrice $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ dans les bases canoniques. Pour $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calculons $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sur la base de $\R^2$ :

Ainsi $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, et dans les bases duales la matrice de $u^{\mathsf T}$ est

la transposée abstraite est la matrice retournée, sans aucun calcul à croire sur parole. Notons le mécanisme : la $j$-ème colonne de $A$ est devenue la $j$-ème ligne de la nouvelle matrice parce que $\psi \circ u$ lit les sorties de $u$ à travers les coefficients de $\psi$.

Exemple 2.11 (Le rang lu des deux côtés)

Soit

Rang par colonnes : la troisième ligne est la somme des deux premières, donc $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; les colonnes $1$ et $2$ sont libres : $\operatorname{rk} A = 2$. Le noyau de la transposée : résoudre $A^{\mathsf T}y = 0$ donne $y \in \R\,(1, 1, -1)$, donc $\ker A^{\mathsf T}$ est de dimension $1 = 3 - 2$ : exactement $(\operatorname{im} A)^\circ$ sous l’identification de $(\R^3)^*$ avec les vecteurs lignes, comme la Proposition 2.10 l’affirme — l’unique relation « ligne$_3$ = ligne$_1$ + ligne$_2$ » est l’annulateur de l’espace des colonnes. Le rang par lignes ($2$ lignes libres) et le rang par colonnes coïncident non par hasard mais parce que les deux égalent $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.