¿Qué es Aplicación traspuesta?

Ejemplo 2.9 (La traspuesta, entrada a entrada)

Sea $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ en las bases canónicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calculemos $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sobre la base de $\R^2$:

Luego $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, y en las bases duales la matriz de $u^{\mathsf T}$ es

la traspuesta abstracta es la matriz volteada, sin dejar ningún cálculo a la fe. Obsérvese el mecanismo: la columna $j$-ésima de $A$ pasó a ser la fila $j$-ésima de la nueva matriz porque $\psi \circ u$ lee las salidas de $u$ a través de los coeficientes de $\psi$.

Ejemplo 2.11 (El rango leído por los dos lados)

Sea

Rango por columnas: la tercera fila es la suma de las dos primeras, luego $\operatorname{rk} A \leq 2$; las columnas $1$ y $2$ son libres: $\operatorname{rk} A = 2$. Núcleo de la traspuesta: resolviendo $A^{\mathsf T}y = 0$ se obtiene $y \in \R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tiene dimensión $1 = 3 - 2$: exactamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ bajo la identificación de $(\R^3)^*$ con los vectores fila, tal como afirma la Proposición 2.10; la única relación “fila$_3$ = fila$_1$ + fila$_2$” es el anulador del espacio de columnas. El rango por filas ($2$ filas libres) y el rango por columnas coinciden no por casualidad, sino porque ambos valen $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.