O que é Aplicação transposta?

Exemplo 2.9 (A transposta, entrada por entrada)

Seja $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ nas bases canônicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calcule $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ na base de $\R^2$:

Logo $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ e, nas bases duais, a matriz de $u^{\mathsf T}$ é

a transposta abstrata é a matriz virada, sem nenhum cálculo que reste a aceitar por fé. Note o mecanismo: a $j$-ésima coluna de $A$ tornou-se a $j$-ésima linha da nova matriz porque $\psi \circ u$ lê as saídas de $u$ através dos coeficientes de $\psi$.

Exemplo 2.11 (O posto lido dos dois lados)

Seja

Posto por colunas: a terceira linha é a soma das duas primeiras, logo $\operatorname{rk} A \leq 2$; as colunas $1$ e $2$ são livres: $\operatorname{rk} A = 2$. O núcleo da transposta: resolvendo $A^{\mathsf T}y = 0$ obtém-se $y \in \R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tem dimensão $1 = 3 - 2$: exatamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ sob a identificação de $(\R^3)^*$ com os vetores linha, como afirma a Proposição 2.10 — a única relação “linha$_3$ = linha$_1$ + linha$_2$” é o anulador do espaço das colunas. O posto por linhas ($2$ linhas livres) e o posto por colunas coincidem não por acaso, mas porque ambos valem $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.