اتصال منتظم কী?

مثال 13.20

الدالة $x \mapsto x^2$ متصلة على $\R$ لكنها ليست متصلة انتظامًا: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ مع أن المتغيرين على بعد $\frac 1n \to 0$. وأمّا على أيّ فترة محدودة فهي ليبشيتزية، ومنه متصلة انتظامًا — وهذا متسق مع مبرهنة هاينه أدناه.

مثال 13.21 (معاملات الانتظام، صراحةً)

على قطعة، يضمن هاينه وجود $\delta$ منتظم؛ وكثيرًا ما يمكن حسابه كذلك. فمن أجل $f(x) = x^2$ على $\intcc{0}{10}$:

ومنه يفي $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ بالغرض انتظامًا (وهو معامل ليبشيتزي، خطي في $\varepsilon$). ومن أجل $\sqrt x$ على $\intcc{0}{1}$: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (التمرين 13.9)، ومنه يفي $\delta = \varepsilon^2$ بالغرض — وهو منتظم لكنه ليس خطيًا: فقرب $0$ يكون الجذر التربيعي شديد الانحدار، ويظهر الثمن في أُسّ $\varepsilon$، لا في فشل الانتظام. والفكرة النافذة: الاتصال المنتظم طيف، لا نعم/لا — فالدالة $\delta(\varepsilon)$، المسمّاة المعامل، تقيس كم يكلّف الانتظام، وليبشيتز ببساطة أفضل درجاتها.

مثال 13.23 (محدودة ومتصلة ومع ذلك ليست منتظمة)

الدالة $f(x) = \sin(x^2)$ متصلة ومحدودة على $\R$، لكنها ليست متصلة انتظامًا. خذ

ومع ذلك $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ من أجل كل $n$: فلا $\delta$ واحد يستطيع أن يفي بالمقدار $\varepsilon = \frac12$ في كل مكان. وهندسيًا، تتسارع تذبذبات $\sin(x^2)$: إذ يُتمّ المنحنى موجة كاملة على نوافذ أقصر فأقصر، ومنه فالسلّم الأفقي الذي يقتضيه $\varepsilon$ معطى يتقلص إلى الصفر كلما كبر $x$. والفكرة النافذة: الحدّية لا تشتري الانتظام (وهذا المثال شاهده)، وعدم الحدّية لا يمنعه ($\sqrt x$، التمرين 13.9)؛ وما يفصل هو معامل التذبذب، وتقول مبرهنة هاينه إن مجموعات التعريف المتراصة تؤدّبه تلقائيًا.