¿Qué es Subgrupo generado; orden? — Matemáticas

Definición 1.13 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 1 — Conjuntos y estructuras

Sea $G$ un grupo y $A \subseteq G$ . El subgrupo generado por $A$ , escrito $\langle A \rangle$ , es el menor subgrupo que contiene a $A$ ; en concreto, el conjunto de todos los productos finitos de elementos de $A$ y de sus inversos. Un grupo es cíclico cuando está generado por un solo elemento: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . El orden de $a \in G$ es $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (posiblemente infinito); cuando es finito, es el menor $n \geq 1$ con $a^n = e$ , y $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

El retículo de subgrupos de ℤ/12ℤ: un subgrupo por cada divisor de 12 (), con una arista cuando uno contiene al otro con índice primo. Las inclusiones van en contra de la divisibilidad del generador: 4 ⊂eq 2 porque 4 es múltiplo de 2. — El retículo de subgrupos de $\Z/12\Z$ : un subgrupo por cada divisor de $12$ (Proposición 1.17), con una arista cuando uno contiene al otro con índice primo. Las inclusiones van *en contra* de la divisibilidad del generador: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ porque $4$ es múltiplo de $2$ .

Ejemplos

Ejemplo 1.15 (Clases laterales en acción: $A_3$ dentro de $\mathfrak{S}_3$ )

Tomemos $G = \mathfrak{S}_3$ (de orden $6$ ) y $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . Las clases laterales izquierdas son

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

dos clases de tres elementos que reparten $G$ , exactamente como exige el recuento $\abs G = \abs H \times (\text{número de clases})$ , y visiblemente la partición en permutaciones pares e impares. Nótese que $(1\,3)H = (1\,2)H$ aunque $(1\,3) \neq (1\,2)$ : las clases laterales son clases, no van etiquetadas por sus representantes, y $x^{-1}y \in H$ es la única comparación legítima. Esta imagen de dos clases es la general para la signatura: $A_n$ y su única clase acompañante parten $\mathfrak{S}_n$ por la mitad, y así es como el problema de fin de semana cuenta las posiciones alcanzables del rompecabezas.

Ejemplo 1.16

Dos dividendos inmediatos. Los grupos de orden primo son cíclicos: si $\abs G = p$ es primo y $a \neq e$ , entonces $\operatorname{ord}(a)$ divide a $p$ y no vale $1$ , luego vale $p$ : $\langle a\rangle = G$ . El retículo de subgrupos de $\Z/12\Z$ : por la Proposición 1.17 de más abajo hay exactamente un subgrupo por cada divisor de $12$ —de órdenes $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , generados respectivamente por $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ —. La advertencia final: el recíproco del teorema de Lagrange es falso en general; $A_4$ tiene orden $12$ pero ningún subgrupo de orden $6$ , como demostramos en el problema de fin de semana de este capítulo (Problema 1.1, pregunta 14). Lagrange restringe los órdenes posibles; no los garantiza.

Ejemplo 1.20 (El tipo de ciclos como recuento)

¿Cuántas permutaciones de $\mathfrak{S}_9$ tienen el tipo de ciclos $(4, 3, 2)$ —un ciclo de longitud $4$ , uno de longitud $3$ y una transposición—? Se eligen los soportes y los órdenes cíclicos:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

se alinean los nueve símbolos en fila ( $9!$ maneras), se agrupan los cuatro primeros, los tres siguientes y los dos últimos en ciclos y se divide por las rotaciones dentro de cada grupo ( $4$ , $3$ y $2$ respectivamente), que dan la misma permutación. (Aquí las longitudes de los ciclos son distintas, luego no hay que dividir más; con longitudes iguales habría que dividir además por las permutaciones de los grupos iguales.) Toda permutación de este tipo tiene orden $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ y signatura $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Teorema 1.19 y el teorema de la signatura de más abajo). Una partición de $9$ , una clase de conjugación, un recuento: la combinatoria de $\mathfrak{S}_n$ es la aritmética de las particiones.

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