¿Qué es clase de Schwartz?

La clase de Schwartz $\mathcal S(\R)$ está formada por las funciones $\mathcal C^\infty$ $f$ con $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ para todos $m, n \geq 0$ (todas las derivadas decaen más deprisa que cualquier potencia). Ejemplos: $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Claramente $\mathcal S \subseteq L^p$ para todo $p$ (acótese por $C(1 + x^2)^{-1}$), y $\mathcal S$ es estable por derivación, por multiplicación por polinomios y por productos.