O que é classe de Schwartz?

A classe de Schwartz $\mathcal S(\R)$ é formada pelas funções $\mathcal C^\infty$ $f$ com $\sup_x\abs{x^m f^{(n)}(x)} < \infty$ para todos $m, n \geq 0$ (todas as derivadas decaem mais rápido do que qualquer potência). Exemplos: $\eu^{-ax^2}$, $\mathcal C_c^\infty$. Claramente $\mathcal S \subseteq L^p$ para todo $p$ (limite por $C(1 + x^2)^{-1}$), e $\mathcal S$ é estável por derivação, por multiplicação por polinômios e por produtos.