Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

24Curvas planas

El cálculo de los Capítulos 14 y 16 se construyó para funciones $y = f(x)$ ; pero la mayoría de las curvas de la geometría y de la mecánica —trayectorias, círculos rodando sobre círculos, órbitas— se niegan a esa forma y vienen, en su lugar, como curvas parametrizadas $t \mapsto (x(t), y(t))$ o como curvas polares $r = r(\theta)$ . Este capítulo clásico estudia las dos, y cierra con las cónicas.

24.1 Curvas parametrizadas

Definición 24.1

Una curva parametrizada es una aplicación $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , con $x, y$ de clase $C^1$ (al menos) en el intervalo $I$ . El vector velocidad es $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; el punto $M(t_0)$ es regular cuando $f'(t_0) \neq (0,0)$ , y la tangente en él es la recta que pasa por $M(t_0)$ dirigida por $f'(t_0)$ .

Por qué $f'$ dirige la tangente. Por Taylor–Young componente a componente, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : la dirección de la cuerda $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tiende a $f'(t_0)$ . La hipótesis de regularidad es lo que hace del límite una dirección: si $f'(t_0) = 0$ , la fórmula se colapsa en $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ y no dice nada sobre cómo abandona la curva el punto — de ahí el tratamiento aparte de los puntos singulares en el método de más abajo, donde la primera derivada no nula asume el papel de $f'$ . Nótese además que la recta tangente es un objeto geométrico: toda reparametrización cambia $f'$ en un factor escalar no nulo y deja la recta intacta. ∎

Método 24.2 (Estudiar una curva parametrizada)

Redúzcase el dominio usando las simetrías: relaciones entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … y $M(t)$ (reflexiones, traslaciones, periodicidad), y dibújese después solo la parte reducida.
Variaciones: tabúlense conjuntamente los signos de $x'$ y de $y'$ ; la curva se mueve a la derecha o a la izquierda según $x'$ , y hacia arriba o abajo según $y'$ .
Puntos notables: tangente horizontal ( $y' = 0 \neq x'$ ), tangente vertical ( $x' = 0 \neq y'$ ); y en un punto singular ( $f' = 0$ ), examínense las derivadas de orden superior para la dirección tangente.
Comportamiento asintótico en los extremos de $I$ , y después el boceto.

Ejemplo 24.3 (Ramas asintóticas, trabajadas)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Cuando $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ mientras $y \to +\infty$ — la curva trepa a lo largo de la asíntota vertical $x = 0$ (límite finito para una coordenada e infinito para la otra). Cuando $t \to +\infty$ : las dos coordenadas explotan, así que pruébese con una recta: la diferencia

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

exhibe la asíntota oblicua $y = x$ , alcanzada por encima. Entremedias, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ se anula en $t = 1$ : el punto $(1, 2)$ es el punto bajo de la rama, y $x' = 1 > 0$ en todo el recorrido, de modo que la curva siempre avanza hacia la derecha. Un arco, dos asíntotas, un mínimo: una imagen completa a partir de tres cálculos — con la receta general visible por debajo: cuando $x, y \to \infty$ juntas, examínese $y/x$ para una pendiente candidata (aquí $\to 1$ ) y después $y - (\text{pendiente})\,x$ para la ordenada en el origen y el lado de aproximación.

Ejemplo 24.4 (La astroide)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Simetrías: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estúdiese un período); $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ respecto del eje $x$ ; $M(\pi - t)$ , respecto del eje $y$ ; y $M(\frac\pi2 - t)$ , respecto de la diagonal $y = x$ : basta estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ y desplegar.

Velocidad: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . En $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos los puntos son regulares con tangente dirigida por $(-\cos t, \sin t)$ ; y en $t = 0$ (el punto $(1,0)$ ) la velocidad se anula: un punto de retroceso, donde la curva se invierte a lo largo de la dirección tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetría, los cuatro puntos de retroceso están en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Ejemplo 24.5 (Un ocho, estudiado al completo)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (una curva de Lissajous). Simetrías: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflexión respecto del eje $y$ ), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetría central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexión respecto del eje $x$ ): basta estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ y desplegar. Variaciones: $x' = \cos t \geq 0$ en todo el recorrido, mientras que $y' = 2\cos 2t$ es positiva antes de $t = \frac\pi4$ y negativa después: el arco sube hacia la derecha hasta la cima $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ en $t = \frac\pi4$ (tangente horizontal) y desciende después hacia la derecha hasta $(1, 0)$ en $t = \frac\pi2$ , donde $x' = 0 \neq y'$ : tangente vertical. Punto doble: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , con dos velocidades distintas

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

dos ramas regulares que se cruzan en el origen con ángulos distintos — un punto doble, no un punto singular: cada paso es perfectamente suave, y los dos pasos simplemente comparten el lugar. La curva entera es el ocho de más abajo.

La curva de Lissajous ( t, 2t): un punto doble en el origen, donde dos ramas regulares se cruzan con velocidades (1, 2) y (-1, 2), y tangentes horizontales en las cuatro cimas. La simetría redujo todo el trabajo a un cuarto de período. — La curva de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$ : un punto doble en el origen, donde dos ramas regulares se cruzan con velocidades $(1, 2)$ y $(-1, 2)$ , y tangentes horizontales en las cuatro cimas. La simetría redujo todo el trabajo a un cuarto de período.

La astroide ( 3 t, 3 t): cuatro arcos que se encuentran en cuatro puntos de retroceso. Es la curva que traza un punto de un círculo de radio 1/4 que rueda dentro del círculo unidad. — La astroide $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : cuatro arcos que se encuentran en cuatro puntos de retroceso. Es la curva que traza un punto de un círculo de radio $\frac14$ que rueda dentro del círculo unidad.

24.2 Curvas polares

Definición 24.6

Una curva polar viene dada por $r = r(\theta)$ : el punto de parámetro $\theta$ es

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Con $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , la velocidad es

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Consecuencias: donde $r \neq 0$ , el punto es regular y la tangente forma con el radio el ángulo $V$ dado por $\tan V = \frac{r}{r'}$ (el ángulo entre $M'$ y $\vec u$ ); y donde $r(\theta_0) = 0$ , la curva pasa por el origen con tangente el radio $\theta = \theta_0$ (dirección $\vec u(\theta_0)$ , leída en $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , o del límite de las cuerdas: la cuerda de $O$ a $M(\theta)$ va dirigida por el propio $\vec u(\theta)$ , que tiende a $\vec u(\theta_0)$ — así que la regla vale incluso cuando $r'(\theta_0) = 0$ y el punto es singular, que es por lo que los puntos de retroceso polares en el origen, como el de la cardioide, obtienen su tangente gratis).

Ejemplo 24.7 (La cardioide)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Simetría: $r(-\theta) = r(\theta)$ : reflexión respecto del eje $x$ ; estúdiese $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ decrece de $2$ a $0$ ; y en $\theta = \pi$ , $r = 0$ : la curva alcanza el origen tangencialmente al radio $\theta = \pi$ (el eje $x$ ), formando ahí un punto de retroceso — la punta del corazón. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$ , luego $\tan V = \infty$ : perpendicular al eje.

El ángulo $V$ merece una lectura más. En $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ y $r' = -1$ , luego $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : la tangente forma tres cuartos de ángulo recto con el radio saliente — la curva ya se está doblando de vuelta hacia su punto de retroceso. La fórmula $\tan V = r/r'$ entrega direcciones tangentes a lo largo de toda la curva sin calcular en absoluto $M'(\theta)$ : es el análogo polar de leer una pendiente.

Ejemplo 24.8 (De polar a cartesiana: un círculo escondido)

¿Qué es la curva polar $r = 2\cos\theta$ ? Multiplíquese por $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , es decir, $x^2 + y^2 = 2x$ , es decir,

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

el círculo de centro $(1, 0)$ y radio $1$ , que pasa por el origen. La contabilidad importa: cuando $\theta$ recorre $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , todo el círculo se barre exactamente una vez ( $r$ se anula en los dos extremos), y en $\theta = \pm\frac\pi2$ la regla «tangente en el origen a lo largo del radio $\theta = \theta_0$ » da ahí una tangente vertical — de acuerdo con la geometría, ya que el eje vertical es en efecto tangente a este círculo en $O$ . Para $\theta$ más allá de ese rango, $r < 0$ vuelve a recorrer el mismo círculo: un recordatorio de que una curva polar es un objeto parametrizado, con permiso para pasar sobre sí misma.

La rosa de cuatro pétalos r = 2 (). Los pétalos a lo largo del eje y se trazan con r < 0 (el punto se dibuja en el radio opuesto a ); y las diagonales a trazos = ± π4 son las tangentes en el origen, donde r se anula. — La rosa de cuatro pétalos $r = \cos 2\theta$ (Ejercicio 24.4). Los pétalos a lo largo del eje $y$ se trazan con $r < 0$ (el punto se dibuja en el radio opuesto a $\theta$ ); y las diagonales a trazos $\theta = \pm\frac\pi4$ son las tangentes en el origen, donde $r$ se anula.

La cardioide r = 1 +. Las curvas polares se leen barriendo el ángulo: el radio se hincha y se encoge conforme gira . — La cardioide $r = 1 + \cos\theta$ . Las curvas polares se leen barriendo el ángulo: el radio se hincha y se encoge conforme gira $\theta$ .

24.3 Longitud de arco

Definición 24.9 (Longitud de un arco)

La longitud de un arco de clase $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ es la integral de la rapidez:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivación: en un intervalo pequeño, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , de modo que el arco está próximo a una poligonal cuyas longitudes de segmento suman una suma de Riemann de $\norm{f'}$ , Teorema 15.20.) Para una curva polar $r = r(\theta)$ , la velocidad $r'\vec u + r\vec v$ tiene componentes ortogonales, luego

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longitud no depende de la parametrización elegida (monótona y de clase $C^1$ ): sustituir $t = \varphi(s)$ en la integral (Teorema 15.15) multiplica $f'$ por $\varphi'$ y $\dd t$ por $\varphi'^{-1}$ .

Ejemplo 24.10 (Comprobación de coherencia: el círculo)

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ en $\intcc{0}{2\pi}$ : $\norm{f'} = R$ , luego $L = 2\pi R$ — la definición devuelve la circunferencia. Prueba de reparametrización: la aplicación $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ en $\intcc{0}{\pi}$ dibuja el mismo círculo al doble de rapidez $\norm{g'} = 2R$ , y

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

otra vez: la mitad de tiempo, el doble de rapidez, la misma longitud — la invariancia prometida en la definición, vista una vez sobre números. (Ejecutar $g$ en todo $\intcc{0}{2\pi}$ daría $4\pi R$ : una curva recorrida dos veces es dos veces más larga como trayecto; la longitud mide el camino parametrizado, y llevar bien la cuenta del intervalo es parte del cálculo.) Para la astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ y, por simetría, $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : una curva dibujada dentro del círculo unidad, de longitud $6 < 2\pi$ . El problema del fin de semana mide el arco más famoso de todos.

Un arco de la cicloide (de radio R = 1), el círculo rodante en t = 2 y las dos rectas guía del problema del fin de semana: la cuerda MC al punto de contacto es normal a la curva, y la cuerda MT a lo alto del círculo es tangente. — Un arco de la cicloide (de radio $R = 1$ ), el círculo rodante en $t = 2$ y las dos rectas guía del problema del fin de semana: la cuerda $MC$ al punto de contacto es *normal* a la curva, y la cuerda $MT$ a lo alto del círculo es *tangente*.

24.4 Cónicas

Definición 24.11 (Definición por foco y directriz)

Fíjense un punto $F$ (el foco), una recta $D$ que no pase por $F$ (la directriz) y $e > 0$ (la excentricidad). La cónica de esos datos es

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

una elipse para $e < 1$ , una parábola para $e = 1$ y una hipérbola para $e > 1$ . (El círculo aparece como el límite degenerado $e \to 0$ .)

Ejemplo 24.12 (La definición, comprobada en una parábola)

Tómese la parábola $y^2 = 4x$ , es decir, $2p = 4$ : foco $F = (1, 0)$ y directriz $D : x = -1$ (la forma reducida del Teorema 24.13 los coloca en $\pm\frac p2$ ). En el punto $M = (1, 2)$ de la curva:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

iguales, como exige $e = 1$ . En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ y $d(M', D) = 5$ otra vez. La definición por foco y directriz no es una abstracción: es una pareja de distancias que se puede medir en cualquier punto, y el álgebra de las ecuaciones reducidas no es más que esa medición hecha de una vez por todas.

Teorema 24.13 (Ecuaciones reducidas)

En un sistema de referencia ortonormal bien elegido:

\text{elipse: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hipérbola: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parábola: } y^2 = 2px,

con, para la elipse: focos en $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ y la caracterización bifocal $MF + MF' = 2a$ ; y para la hipérbola: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , con asíntotas $y = \pm\frac ba x$ .

Demostración. Tómese el foco en el origen y la directriz vertical, $x = -h$ ( $h > 0$ ): la condición $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ dice $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Para $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , una parábola tras el desplazamiento $x \mapsto x - \frac h2$ (con $p = h$ ). Y para $e \neq 1$ , completando el cuadrado en $x$ ,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Póngase $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (un desplazamiento del sistema de referencia). Cuando $e < 1$ , divídase por el miembro derecho, que es positivo: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ con $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; y cuando $e > 1$ , los dos miembros de la fórmula cambian de signo como corresponde y la misma división da $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ con $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . Los valores indicados de $c$ se siguen ( $c^2 = a^2 - b^2$ o $a^2 + b^2$ da $c = ea$ en los dos casos, colocando el foco correctamente), y las propiedades bifocales son comprobaciones directas sobre las ecuaciones reducidas. Con detalle para la elipse, con $F' = (c, 0)$ y $M = (X, y)$ sobre la curva:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

usando $c^2 + b^2 = a^2$ y $e = \frac ca$ ; y como $\abs X \leq a$ y $e < 1$ , se tiene $a - eX > 0$ , luego $MF' = a - eX$ sin extraer jamás ninguna raíz cuadrada. El cálculo espejo da $MF = a + eX$ , de donde $MF + MF' = 2a$ , constante. Para la hipérbola, la misma álgebra da $MF = \abs{a + eX}$ y $MF' = \abs{eX - a}$ , con diferencia $\pm2a$ según la rama. ∎

Ejemplo 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : elipse, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : focos $(\pm4, 0)$ , excentricidad $\frac45$ . Su parametrización: $(5\cos t, 3\sin t)$ — un círculo estirado de forma anisótropa; y la suma de las distancias a los focos de cualquiera de sus puntos es $10$ .

Ejemplo 24.15 (Leer una órbita en su ecuación polar)

La cónica polar $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Ejercicio 24.7 con $p = 1$ , $e = \frac12$ ) es una elipse con un foco en el origen — la geometría de una órbita planetaria con el sol en $O$ . Extráigase todo de $p$ y de $e$ : por la reducción del Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ y $c = ea = \dfrac23$ . Y los dos ápsides lo comprueban sin ninguna teoría:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelio}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{afelio}),

y su suma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera el eje mayor. La forma polar es la natural siempre que un foco esté físicamente distinguido; y la forma cartesiana reducida, siempre que lo estén los ejes de simetría. Convertir una en otra es exactamente lo que hace el cálculo de completar cuadrados del teorema.

La excentricidad como un dial, por último: manténgase $p = 1$ y gírese $e$ en $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . En $e = 0$ : el círculo $r = 1$ . En $e = \frac12$ : la elipse recién estudiada, con $r$ oscilando entre $\frac23$ y $2$ . En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ cuando $\theta \to \pi$ — la curva ya no se cierra: una parábola, con su punto más lejano empujado al infinito. Y en $e = 2$ : el denominador se anula en $\cos\theta = -\frac12$ , y solo sobrevive $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ : una rama de hipérbola, que se escapa por dos direcciones asintóticas. Una fórmula, toda la familia de las cónicas y el punto de transición $e = 1$ visible como el momento en que el denominador alcanza el cero por primera vez.

Observación 24.16 (Errores frecuentes)

Los puntos dobles no son puntos singulares: en un autocruce, cada rama es regular; «singular» se refiere a $f'(t_0) = 0$ para un valor del parámetro (Ejemplo 24.5 frente a los puntos de retroceso de la astroide). Tangente vertical frente a punto de retroceso: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ es un punto regular con tangente vertical; solo $x' = y' = 0$ exige el desarrollo de orden superior. Los radios negativos se dibujan en el radio opuesto: para $r(\theta) < 0$ , el punto es $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , de ángulo $\theta + \pi$ (Ejercicio 24.5); olvidarlo pierde los lazos interiores o duplica curvas. La longitud de arco integra $\norm{f'}$ , no $f'$ : pártase la integral en los ceros de la rapidez — para la astroide, integrar $\frac32\sin 2t$ en un período completo sin valores absolutos da $0$ , no $6$ . Las cónicas hay que reducirlas antes de leerlas: en $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ no se ven ni los ejes, ni el centro, ni la excentricidad hasta completar los cuadrados (Ejercicio 24.6); y que la parte cuadrática se anule en una variable significa parábola, no «elipse degenerada».

Observación 24.17 (Adónde van estas curvas)

Las curvas parametrizadas son el idioma de la mecánica: las trayectorias son curvas, los vectores velocidad son vectores tangentes y la longitud de arco de la Definición 24.9 es la distancia recorrida. Las cónicas reaparecen allí donde actúa una ley del inverso del cuadrado — las órbitas planetarias son elipses con el sol en un foco. En el Capítulo 25, las curvas se convierten en los conjuntos de nivel de las funciones de dos variables, y la tangente de este capítulo se encuentra con el gradiente del siguiente. El volumen del segundo año añade la curvatura y la forma canónica local de una curva; y el problema del fin de semana de más abajo ya extrae, solo con las herramientas de este año, todo lo que el siglo XVII sabía sobre su curva más célebre.

Observación 24.18 (Perspectivas dentro del libro 3)

Este capítulo consume toda la primera mitad del volumen y alimenta el último capítulo. Consumido: los vectores tangentes son derivadas (Capítulo 14), las longitudes de arco y las áreas son integrales (Capítulo 15), los puntos de retroceso los resuelven los desarrollos de Taylor (Capítulo 16), la tautócrona es una ecuación diferencial lineal (Capítulo 5) y toda distancia y todo ángulo son euclídeos (Capítulo 23). Alimentado: en el Capítulo 25, una curva $t \mapsto (x(t), y(t))$ dibujada dentro de un conjunto de nivel $\{f = c\}$ se deriva con la regla de la cadena, y la identidad resultante $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ casa los vectores tangentes de este capítulo con los gradientes del siguiente — la recta tangente de la curva y la dirección normal de la superficie son el mismo cálculo visto desde las dos orillas.

24.5 Ejercicios

Ejercicio 24.1 ★

Estúdiese y esbócese la curva $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (simetrías, variaciones, comportamiento en el punto singular $t = 0$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : reflexión respecto del eje $x$ ; se estudia $t \geq 0$ . Tanto $x' = 2t$ como $y' = 3t^2$ son $\geq 0$ : la rama avanza hacia la derecha y hacia arriba, de $(0,0)$ al infinito. En $t = 0$ la velocidad se anula; los desarrollos $x = t^2$ , $y = t^3$ muestran que la tangente es el eje $x$ ( $y/x = t \to 0$ ), con $y$ cambiando de signo mientras $x \geq 0$ : un punto de retroceso que apunta hacia la izquierda. La curva es la parábola semicúbica $y^2 = x^3$ .

Ejercicio 24.2 ★

Para la cicloide $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (la trayectoria de un punto de una rueda de radio $1$ que rueda): identifíquense la simetría de traslación por el período, los puntos singulares y la dirección tangente en $t = 0$ (desarróllense $x$ e $y$ hasta los primeros órdenes no nulos).

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : la curva se repite, trasladada una circunferencia de rueda; se estudia un periodo. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : el arco sube en $\intoo{0}{\pi}$ , baja en $\intoo{\pi}{2\pi}$ y culmina en $(\pi, 2)$ . Puntos singulares donde $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , sobre el suelo. Cerca de $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ cambia de signo, $y \geq 0$ y $\frac{x}{y^{3/2}}$ está acotada: la tangente es vertical (dirección $(0,1)$ ), un punto de retroceso donde el punto marcado tiene momentáneamente velocidad nula — la firma física de la rodadura sin deslizamiento.

Ejercicio 24.3 ★

Dese la recta tangente a la curva $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ en $t = \frac\pi4$ , y compruébese que el segmento de esa tangente que recortan los ejes tiene longitud $1$ — una famosa propiedad de la astroide (cierta en todo punto regular).

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

En $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , dirección tangente $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (Ejemplo 24.4). Recta tangente: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , es decir, $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Cortes con los ejes: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ y $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; el segmento entre ellos tiene longitud $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Punto general $t$ : la tangente en $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ corta los ejes en $(\cos t, 0)$ y $(0, \sin t)$ — compruébese que la recta que pasa por estos puntos tiene dirección $(-\cos t, \sin t)$ y pasa por $M(t)$ — y el segmento cortado tiene longitud $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ .)

Ejercicio 24.4 ★

Esbócense las curvas polares $r = \cos 2\theta$ (la rosa de cuatro pétalos) y $r = \frac{1}{\cos\theta}$ en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconózcase una recta).

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : periodo $\pi$ en $\theta$ , simétrica respecto de ambos ejes; $r$ se anula en $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes en el origen a lo largo de las diagonales) y es negativo para $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , donde los puntos se dibujan sobre el rayo opuesto — lo que produce cuatro pétalos en las direcciones de los ejes $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ , cada uno de radio máximo $1$ .

$r\cos\theta = 1$ es la ecuación $x = 1$ : la curva polar $r = \frac{1}{\cos\theta}$ es la recta vertical $x = 1$ (recorrida una vez para $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Ejercicio 24.5 ★★

Estúdiese la curva polar $r = 1 + 2\cos\theta$ (un caracol de Pascal): dominio donde $r \geq 0$ frente a $r < 0$ (los puntos dibujados con radio negativo caen en el radio opuesto), paso por el origen, lazo interior y boceto.

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ se anula para $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Simetría respecto del eje $x$ ; se estudia $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Para $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , decreciente de $3$ a $0$ : arco exterior, que entra en el origen tangente al rayo $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Para $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : los puntos $r\vec u(\theta)$ se sitúan sobre el rayo opuesto (ángulo $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), con distancia $\abs r$ creciente de $0$ a $1$ : esto dibuja un pequeño lazo interior que pasa por el origen. En $\theta = \pi$ , $r = -1$ y el punto es $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : el lazo se cierra sobre el semieje $x$ positivo. Esbozo: una gran curva exterior en forma de corazón, con alcance máximo $3$ en $\theta = 0$ , más un lazo dentro de ella que pasa por $O$ y $(1,0)$ .

Ejercicio 24.6 ★★

Identifíquese la cónica $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : redúzcase completando cuadrados y dense el centro, los semiejes, los focos y la excentricidad.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

Compleción de cuadrados:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

Dividiendo por $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : una elipse de centro $(2, 1)$ , semiejes $a = 5$ (horizontal), $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : focos $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ y $(6, 1)$ ; excentricidad $e = \frac45$ .

Ejercicio 24.7 ★★

Demuéstrese que la ecuación polar de una cónica con foco en el origen es

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

(con directriz vertical a distancia $\frac pe$ a la derecha del foco). ¿Qué valores de $\theta$ se permiten cuando $e > 1$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

Foco en el origen, directriz $D: x = d$ con $d = \frac pe > 0$ . Para un punto $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ con $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

y la condición de cónica $MF = e\,d(M, D)$ , en el régimen en que $M$ está del lado del foco respecto de la directriz ( $r\cos\theta < d$ ), se escribe $r = e(d - r\cos\theta)$ , es decir,

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Para $e < 1$ el denominador no se anula nunca: todo $\theta$ es admisible (elipse). Para $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parábola, abierta hacia el lado alejado de la directriz). Para $e > 1$ : hace falta $1 + e\cos\theta > 0$ , es decir, $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ con $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : una rama de la hipérbola (la otra rama corresponde a la elección de signo $r < 0$ , o al segundo foco).

Ejercicio 24.8 ★★

De la propiedad bifocal $MF + MF' = 2a$ , dedúzcase la «construcción del jardinero» de la elipse, y demuéstrese que la tangente en $M$ forma ángulos iguales con $MF$ y $MF'$ (propiedad de reflexión; derívese $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ e interprétese la suma nula de los productos con los vectores unitarios).

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

Jardinero: átese una cuerda de longitud $2a$ a dos estacas $F, F'$ y manténgase tensa con el punto trazador $M$ : la restricción es exactamente $MF + MF' = 2a$ , de modo que la curva trazada es la elipse.

Propiedad de reflexión: sea $t \mapsto M(t)$ una parametrización regular y $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , $u'(t)$ el vector unitario análogo hacia $F'$ . Derivando $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ , con $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (regla de la cadena sobre $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ):

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

Así, la dirección tangente $M'$ es ortogonal a la dirección bisectriz $u + u'$ de los dos rayos focales: la tangente forma ángulos iguales con $MF$ y $MF'$ . (Un rayo de luz que sale de un foco se refleja en la elipse hacia el otro foco.)

Ejercicio 24.9 ★★★

La lemniscata de Bernoulli es la curva polar $r^2 = \cos 2\theta$ (tómese $r = \sqrt{\cos2\theta}$ donde esté definida).

Dense su dominio, sus simetrías y sus tangentes en el origen, y esbócese.
Demuéstrese que es el lugar de los puntos $M$ con $MF \cdot MF' = \frac12$ , donde $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Calcúlese $MF^2\,MF'^2$ en coordenadas polares.)

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

Dominio: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Simetrías: $\theta \mapsto -\theta$ (eje $x$ ) y $\theta \mapsto \pi - \theta$ (eje $y$ ): se estudia $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ decrece de $1$ a $0$ . En $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r = 0$ , tangentes en el origen a lo largo de las diagonales. La curva es el símbolo $\infty$ : dos lazos simétricos que se encuentran en $O$ y alcanzan $(\pm 1, 0)$ .
Con $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ y $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

por la identidad $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ con $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ . Con $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

Sobre la lemniscata, $r^2 = \cos 2\theta$ : los dos primeros términos se cancelan y queda $MF^2MF'^2 = \frac14$ , es decir, $MF \cdot MF' = \frac12$ . Recíprocamente, el cálculo leído al revés muestra que la ecuación del lugar $MF\,MF' = \frac12$ es $r^2 = \cos 2\theta$ (para $r \neq 0$ ; y $O$ satisface ambas).

Ejercicio 24.10 ★★

Calcúlese la longitud total de la cardioide $r = 1 + \cos\theta$ con la fórmula polar de la Definición 24.9 (la identidad $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ convierte la raíz cuadrada en $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

luego $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ y, por la simetría respecto del eje $x$ ,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Otro perímetro algebraico, sin $\pi$ .

Ejercicio 24.11 ★★

Véase que la tangente a la elipse $(a\cos t, b\sin t)$ en el punto de parámetro $t$ tiene ecuación

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

y dedúzcase la tangente a $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un punto $(x_0, y_0)$ de la elipse: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (la regla del «desdoblamiento de los cuadrados»).

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

El punto $(a\cos t, b\sin t)$ satisface la ecuación: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . El vector normal de la recta es $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ , y su producto con la velocidad $(-a\sin t, b\cos t)$ vale $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : la recta pasa por el punto con la dirección tangente — es la tangente. Para $(x_0, y_0)$ sobre la elipse, escríbase $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ y sustitúyase:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

obtenida de la ecuación de la elipse «desdoblando» $x^2 \mapsto x\,x_0$ y $y^2 \mapsto y\,y_0$ .

Ejercicio 24.12 ★★★

La espiral logarítmica es la curva polar $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ fijo, $\theta \in \R$ ).

Véase que el ángulo $V$ entre el radio y la tangente es constante ( $\tan V = \frac1k$ ) — la espiral cruza todos los radios con el mismo ángulo.
Véase que girar la espiral un ángulo $c$ la lleva sobre su homotética de razón $\eu^{-kc}$ : toda rotación de la espiral es una ampliación de ella misma (autosemejanza).
Calcúlese la longitud del arco $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (como límite de las longitudes sobre $\intcc{A}{\theta_0}$ , con $A \to -\infty$ ) y obsérvese que es finita: una curva que da infinitas vueltas en torno al origen, de longitud finita.

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , luego $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constante. La espiral corta todo rayo que sale del origen bajo el mismo ángulo $V = \arctan\frac1k$ .
En notación compleja la espiral es $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . Girar un ángulo $c$ equivale a multiplicar por $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

y, cuando $\theta + c$ recorre $\R$ , esto describe $\eu^{-kc}$ veces la espiral: girar $=$ escalar. Ninguna otra curva regular salvo las rectas y las circunferencias tiene esta propiedad.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , luego sobre $\intcc{A}{\theta_0}$ la longitud vale $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , y cuando $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

infinitas vueltas alrededor del origen, con longitud total finita (las vueltas decrecen geométricamente).

24.6 Problema: la cicloide, reina de las curvas

Problema 24.1

Una rueda de radio $R$ rueda sin deslizar a lo largo del eje $x$ ; el punto de la llanta que estaba inicialmente en el origen traza la cicloide. El siglo XVII se peleó por esta curva —Galileo pesó recortes de papel con su forma, Wren la midió, Roberval calculó su área, Huygens construyó relojes sobre ella— y todos sus resultados están al alcance de este capítulo. Demostramos los cuatro clásicos: la construcción de la tangente, la longitud $8R$ de Wren, el área $3\pi R^2$ y la propiedad tautócrona de Huygens.

Parte I — Rodadura y tangente.

Tras girar la rueda un ángulo $t$ , su centro está en $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rodadura sin deslizamiento: la distancia de contacto $=$ el arco rodado). Véase que el punto marcado está en

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Calcúlese $f'(t)$ y véase que $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localícense los puntos singulares (puntos de retroceso — cf. Ejercicio 24.2) y la cima de cada arco.
Sean $C(t) = (Rt, 0)$ el punto de contacto y $T(t) = (Rt, 2R)$ lo alto de la rueda. Demuéstrese que para $0 < t < 2\pi$ el vector $M - C$ es normal a la curva en $M(t)$ y el vector $T - M$ es tangente: para trazar la tangente a una cicloide, únase el punto con lo alto de su círculo rodante. (Factorícese todo a través de $\sin\frac t2$ y $\cos\frac t2$ .)
Interprétese la pregunta 3 de forma cinemática: el punto de contacto es el centro instantáneo de rotación, y la rapidez de $M$ es igual a su distancia a $C$ (para velocidad angular unidad). Compruébese $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Demuéstrese la relación altura–rapidez

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

en una cicloide recorrida a velocidad angular unidad, la rapidez en cada punto es exactamente la de la caída libre para un descenso igual a la altura actual. (Guárdese esto para la parte IV.)

Parte II — El teorema de Wren: el arco tiene longitud $8R$ .

Con la Definición 24.9, calcúlese la longitud de un arco:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(teorema de Wren, 1658). Cuatro diámetros de rueda, y ningún $\pi$ por ninguna parte.
Calcúlese la longitud de arco desde el punto de retroceso: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ , y compruébese $s(2\pi) = 8R$ .
Mídase ahora el arco desde el ápice $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Demuéstrese la relación intrínseca

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

la distancia de arco al cuadrado desde lo alto es proporcional al descenso de altura por debajo de lo alto.
Comprobaciones: recupérese de la pregunta 8 que el medio arco del ápice al punto de retroceso tiene longitud $4R$ , y compárese con el cálculo de la astroide del Ejemplo 24.10 — las dos curvas tienen longitudes algebraicas, sin $\pi$ ; explíquese qué lo hace posible aunque las dos estén construidas a partir de círculos. (Mírese la forma de $\norm{f'}$ .)

Parte III — El área de Roberval: $3\pi R^2$ .

Justifíquese que el área entre un arco y el suelo es $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ (el cambio $x = x(t)$ en $\int y\,\dd x$ , Teorema 15.15; $x$ es creciente).
Calcúlese

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

exactamente tres veces el área de la rueda — la razón que Galileo había conjeturado pesando.
El mismo método para la astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : véase que el área encerrada es $\frac{3\pi}8$ (linealícese $\sin^4 t\cos^2 t$ ; en un período completo solo sobrevive el término constante).
Compruébese la fórmula de la pregunta 10 sobre la semicircunferencia unidad superior $(\cos t, \sin t)$ , con $t$ de $\pi$ a $0$ : ¿devuelve $\frac\pi2$ ?

Parte IV — La tautócrona de Huygens. Dese la vuelta al arco: una cuenta sin rozamiento se desliza, bajo la gravedad $g$ , dentro del cuenco cicloidal

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

cuyo punto más bajo es el origen ( $y$ medida hacia arriba).

Calcúlense la rapidez $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ y la longitud de arco desde el fondo $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , y demuéstrese la identidad clave

$y = \frac{s^2}{8R} .$
La cuenta soltada en reposo desde el punto de parámetro $t_0 > 0$ obedece la conservación de la energía: si $s(\tau)$ denota su posición de arco en el instante $\tau$ , entonces $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Reescríbase esto, usando la pregunta 14, como

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Derívese respecto de $\tau$ y obténgase el oscilador armónico

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

resuélvase con el Teorema 5.10 y las condiciones iniciales: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
Dedúzcase la propiedad tautócrona (Huygens, 1659): el tiempo hasta llegar al fondo,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

no depende del punto de partida — dos cuentas soltadas a la vez desde dos alturas cualesquiera del cuenco llegan a la vez.
Compruébese por sustitución que $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ cumple exactamente la ecuación de energía de primer orden de la pregunta 15 (no solo la derivada), y explíquese en una frase por qué un péndulo circular es solo aproximadamente isócrono mientras que la cicloide lo es exactamente.
Numéricamente: ¿qué radio $R$ hace que el tiempo de descenso sea exactamente un segundo ( $g = 9.81$ )? Obsérvese lo cerca que está la respuesta de un metro, y cómo se compara el período completo de oscilación $2\pi\sqrt{4R/g}$ con la fórmula del péndulo de pequeñas oscilaciones $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para $\ell = 4R$ .

Parte V — Dividendos, y síntesis.

Aplíquese la regla de la tangente de la pregunta 3 en $t = \frac\pi2$ (tómese $R = 1$ ): calcúlense $M$ , $T$ y la dirección de $MT$ , y compruébese contra $f'(\frac\pi2)$ .
(Trocoides) Márquese en su lugar un punto a distancia $d$ del centro ( $d \neq R$ ): la curva es $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Véase que para $d < R$ la curva es regular en todas partes y no presenta ningún comportamiento singular ( $x' > 0$ : avanza), mientras que para $d > R$ la abscisa $x'$ cambia de signo y la curva hace lazos — la rueda de tren con pestaña, cuyos puntos del reborde viajan hacia atrás.
(Anticipo de la braquistócrona) Desde el punto de retroceso $(\pi R, 2R)$ del cuenco hasta el fondo, compárese el tiempo de descenso por la cicloide $\pi\sqrt{R/g}$ con el tiempo por la rampa recta que une los mismos puntos (aceleración constante $g\sin\alpha$ a lo largo de la cuerda): véase que la cuerda tarda $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . La curva le gana a la recta — de hecho, es la más rápida de todas las curvas, un resultado del cálculo de variaciones.
Véase que en el arco ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

el arco es cóncavo, con tangentes verticales exactamente en los puntos de retroceso.
Recupérese geométricamente la tangente vertical en el punto de retroceso del Ejercicio 24.2: calcúlese la dirección límite de la cuerda $MT$ de la pregunta 3 cuando $t \to 0^{+}$ , sin ningún desarrollo.
Síntesis, en cuatro frases: qué tres teoremas con nombre demostró este problema (con sus números $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ y sus autores); qué único recurso de cálculo (las factorizaciones con $\sin\frac t2$ y $\cos\frac t2$ ) movió las partes I, II y IV; cómo la relación intrínseca $y = s^2/8R$ convirtió la geometría en una ecuación diferencial lineal; y en qué capítulo de este libro se apoyó cada parte.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. Rodar sin deslizar significa que el punto de contacto ha recorrido una distancia igual al arco de rueda desenrollado: tras girar un ángulo $t$ , el centro está en $(Rt, R)$ . El punto marcado se sitúa sobre la llanta con ángulo $t$ por detrás de la vertical descendente (la rueda gira en sentido horario mientras avanza):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

lo que es correcto en $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) y en $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , el punto más alto).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ y

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

luego $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Puntos singulares en $t \in 2\pi\Z$ : los puntos de retroceso sobre el suelo (Ejercicio 24.2); la cima del arco es $t = \pi$ , donde la rapidez $2R$ es máxima.

3. Factorizaciones con el ángulo mitad:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Para $0 < t < 2\pi$ , $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ es ortogonal a la dirección tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (su producto vale $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), y $T - M$ es paralelo a ella. La cuerda hacia la cima de la rueda es la tangente; la cuerda hacia el punto de contacto es la normal.

4. En cada instante la rueda pivota alrededor de su punto de contacto (ese punto tiene velocidad nula: rodadura sin deslizamiento), de modo que todo punto rígido de la rueda se mueve ortogonalmente a la recta que lo une con $C$ , con rapidez (velocidad angular $1$ ) igual a esa distancia. Comprobación: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . La rapidez a la altura $y$ es $\sqrt{2R\,y}$ — formalmente la ley $v = \sqrt{2gh}$ de la caída libre, con el suelo haciendo de techo; la Parte IV convierte esta observación en un mecanismo de relojería.

6. Por Definición 24.9 y la pregunta 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ en $\intcc{0}{2\pi}$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

Teorema de Wren: exactamente cuatro diámetros.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , consistente.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , luego $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; y $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , de donde $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. En el punto de retroceso $t = 0$ (o $2\pi$ ): $\sigma = 4R$ , la mitad de $8R$ : la cima divide el arco por la mitad. En ambos cálculos la rapidez es $\abs{\text{polinomio trigonométrico en } t/2}$ , cuya primitiva es de nuevo trigonométrica: la longitud es una diferencia de valores de cosenos — números racionales por $R$ — sin ningún arco de circunferencia que medir, y por tanto sin $\pi$ . La circunferencia misma tiene rapidez constante, así que su longitud se obtiene como integral que devuelve la medida del intervalo entero, de longitud $2\pi$ ; la rapidez de la cicloide se anula en los extremos y se integra algebraicamente.

10. El arco se recorre con $x$ creciendo de $0$ a $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , que se anula solo en puntos aislados). Sustituyendo $x = x(t)$ en la integral de área $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (Teorema 15.15) resulta $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

usando $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Exactamente tres áreas de rueda: la balanza de Galileo decía «alrededor de $3$ »; el cálculo de Roberval dice «exactamente».

12. Con $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Linealícese:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

y sobre $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Luego $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , y el área encerrada es $\frac{3\pi}8$ (el signo registra la orientación antihoraria).

13. Para $(\cos t, \sin t)$ con $t$ variando de $\pi$ a $0$ , $x$ crece de $-1$ a $1$ y

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

la fórmula devuelve el área del semidisco superior, como debe ser.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , luego $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (no negativo en $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Arco desde el fondo: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . Entonces

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Conservación de la energía con $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ y $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. Derivando respecto de $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , luego dondequiera que $s' \neq 0$ (y por tanto en todo punto por continuidad), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : el oscilador armónico. Por Teorema 5.10, $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ con $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; las condiciones iniciales $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ dan $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. La cuenta llega al fondo cuando $s = 0$ , es decir, en $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

independiente de $s_0$ : soltadas desde cualquier punto del cuenco, todas las cuentas llegan en el mismo instante — la tautócrona.

18. Sustituyendo $s = s_0\cos\omega\tau$ : el miembro izquierdo es $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ y el derecho es $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : igualdad exacta, así que no se introdujo ninguna solución espuria. Para un arco de circunferencia, $y$ no es proporcional a $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): el término restaurador solo es aproximadamente lineal, de modo que el periodo de un péndulo circular deriva con la amplitud, mientras que el de la cicloide es rigurosamente constante.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ da $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — casi exactamente un metro. La oscilación completa dura $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , que es precisamente la fórmula de pequeñas oscilaciones $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para un péndulo de longitud $\ell = 4R$ : Huygens suspendió su péndulo entre mejillas cicloidales exactamente de esa proporción.

20. En $t = \frac\pi2$ , $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , luego $T - M = (1, 1)$ . Y $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : la cuerda hacia la cima es la velocidad, tal como se prometió.

21. Para la trocoide, $x'(t) = R - d\cos t$ y $y'(t) = d\sin t$ . Si $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$ , el punto siempre avanza; la velocidad no se anula nunca (su primera componente es positiva): ningún punto singular, una onda regular. Si $d > R$ : $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , luego el punto retrocede cerca de los instantes de contacto y avanza en los demás: la curva se corta a sí misma formando lazos. Un punto de la pestaña de una rueda de ferrocarril (por debajo de la cabeza del carril, $d > R$ ) retrocede en cada vuelta.

22. La cuerda que va del punto de retroceso $(\pi R, 2R)$ al origen tiene longitud $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ y ángulo de inclinación $\alpha$ con $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . Deslizando desde el reposo con aceleración constante $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , luego

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

frente a $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ para la cicloide: el camino curvo es más rápido. De hecho es el más rápido posible — la braquistócrona — un teorema del cálculo de variaciones, más allá de este volumen.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (fórmulas del ángulo mitad). Entonces

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

cóncava en todo el arco; cuando $t \to 0^+$ o $2\pi^-$ la pendiente $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : tangentes verticales en los puntos de retroceso.

24. La dirección de la cuerda es $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , que tiende a $(0, 1)$ cuando $t \to 0^{+}$ : la tangente en el punto de retroceso es vertical — obtenida por geometría pura, sin ningún desarrollo de Taylor.

25. (i) El teorema de Wren, $L = 8R$ ; el área de Roberval, $A = 3\pi R^2$ (la razón $3$ conjeturada por Galileo); la tautócrona de Huygens, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Todos los cálculos se apoyaron en las factorizaciones con el ángulo mitad $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ y en su análogo para el cuenco — una sola identidad que alimenta por igual la tangente, la longitud y el reloj. (iii) La relación intrínseca $y = s^2/8R$ convirtió la ecuación de la energía en $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , una ecuación lineal con coeficientes constantes cuyas soluciones son exactamente isócronas. (iv) La Parte I usó el cálculo diferencial del Capítulo 14, las Partes II–III la integral del Capítulo 15, la Parte IV las ecuaciones diferenciales del Capítulo 5 — la cicloide es el temario entero de este libro enrollado en una sola curva.

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