Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

24Curvas planas

El cálculo de Capítulos 14 y 16 fue construido para funciones $y = f(x)$ ; la mayoría de las curvas de geometría y mecánica — trayectorias, círculos rodados sobre círculos, órbitas — rechaza esa forma y vienen en cambio como parametrizado curvas $t \mapsto (x(t), y(t))$ o como polar curvas $r = r(\theta)$ . este clasico El capítulo estudia ambos y cierra con el cónicas.

24.1 Curvas parametrizadas

Definición 24.1

Un curva parametrizada es una aplicación $f \colon I \to \R^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , con $x, y$ de clase $C^1$ (al menos) en el intervalo $I$ . El velocidad vector es $f'(t) = (x'(t), y'(t))$ ; el punto $M(t_0)$ es regular cuando $f'(t_0) \neq (0,0)$ y tangente ahí está la línea que pasa por $M(t_0)$ dirigida por $f'(t_0)$ .

Por qué $f'$ dirige la tangente. Por Taylor–Young por componentes, $M(t) = M(t_0) + (t - t_0) f'(t_0) + o(t - t_0)$ : la dirección del acorde $\frac{M(t) - M(t_0)}{t - t_0}$ tiende a $f'(t_0)$ . La hipótesis de la regularidad es lo que hace que la limitar a dirección: si $f'(t_0) = 0$ , la pantalla colapsa a $M(t) = M(t_0) + o(t - t_0)$ y no dice nada sobre cómo La curva abandona el punto — de donde el tratamiento separado de puntos singulares en el método siguiente, donde el primero no desaparecer derivado asume el papel de $f'$ . Tenga en cuenta también que la recta tangente es un objeto geométrico: cualquier La reparametrización cambia $f'$ por un factor escalar distinto de cero y deja la línea sin cambios. ∎

Método 24.2 (Estudiando una curva parametrizada)

Reducir el dominio usando simetrías: relaciones entre $M(-t)$ , $M(t + T)$ , … y $M(t)$ (reflexiones, traducciones, periodicidad), luego dibuje solo la parte reducida.
Variaciones: tabular los signos de $x'$ y $y'$ de forma conjunta; la curva se mueve hacia la derecha/izquierda como $x'$ , arriba/abajo como $y'$ .
Puntos destacables: tangente horizontal ( $y' = 0 \neq x'$ ), tangente vertical ( $x' = 0 \neq y'$ ); en un Punto singular ( $f' = 0$ ), examinar derivados superior para la dirección tangente.
Comportamiento asintótico en los extremos de $I$ , luego dibuje.

Ejemplo 24.3 (Ramas asintóticas, trabajadas)

$x(t) = t$ , $y(t) = t + \dfrac1t$ en $\intoo{0}{+\infty}$ . Como $t \to 0^{+}$ : $x \to 0$ mientras que $y \to +\infty$ — la curva sube a lo largo del asíntota vertical $x = 0$ (límite finito para una coordenada, infinita para la otra). Como $t \to +\infty$ : ambos coordenadas explotan, así que prueba una línea: la diferencia

y(t) - x(t) = \frac1t \longrightarrow 0^{+}

exhibe el asíntota oblicua $y = x$ , abordado desde arriba. Mientras tanto, $y' = 1 - \frac1{t^2}$ desaparece en $t = 1$ : el punto $(1, 2)$ es el punto bajo de la rama, y $x' = 1 > 0$ en todas partes, por lo que la curva siempre avanza hacia la derecha. un arco, dos asíntotas, una mínima: una imagen completa de tres cálculos — con la receta general visible debajo: cuando $x, y \to \infty$ estén juntos, examine $y/x$ en busca de un candidato pendiente (aquí $\to 1$ ), luego $y - (\text{slope})\,x$ para el interceptación y el lado de aproximación.

Ejemplo 24.4 (El astroide)

$x(t) = \cos^3 t$ , $y(t) = \sin^3 t$ . Simetrías: $M(t + 2\pi) = M(t)$ (estudiar un período); $M(-t)$ es el reflejo de $M(t)$ en el eje $x$ ; $M(\pi - t)$ en el eje $y$ ; $M(\frac\pi2 - t)$ en la diagonal $y = x$ : basta estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi4}$ y desplegar.

Velocidad: $f'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ . encendido $\intoo{0}{\frac\pi2}$ todos los puntos son regulares con dirección tangente por $(-\cos t, \sin t)$ ; en $t = 0$ (el punto $(1,0)$ ) la velocidad desaparece: a cúspide, donde la curva se invierte a lo largo la dirección tangente $(-1, 0)\cdot(\pm)$ — por simetría los cuatro cúspides siéntate en $(\pm1, 0), (0, \pm1)$ .

Ejemplo 24.5 (Un ocho, estudiado en su totalidad)

$x(t) = \sin t$ , $y(t) = \sin 2t$ (un curva de lissajous). Simetrías: $M(t + \pi) = (-x(t), y(t))$ (reflejo en el eje $y$ ), $M(-t) = (-x(t), -y(t))$ (simetría central), $M(\pi - t) = (x(t), -y(t))$ (reflexión en el eje $x$ ): basta con estudiar $t \in \intcc{0}{\frac\pi2}$ y desarrollarlo. Variaciones: $x' = \cos t \geq 0$ en todo momento, mientras que $y' = 2\cos 2t$ es positivo antes de $t = \frac\pi4$ y negativo después: el arco sube hacia la derecha hasta la cumbre $\bigl(\frac{\sqrt2}2,\ 1\bigr)$ y $t = \frac\pi4$ (horizontal tangente), luego desciende hacia la derecha hasta $(1, 0)$ en $t = \frac\pi2$ , donde $x' = 0 \neq y'$ : tangente vertical. punto doble: $M(0) = M(\pi) = (0,0)$ , con dos diferentes velocidades

f'(0) = (1,\ 2), \qquad f'(\pi) = (-1,\ 2) :

dos ramas regular que se cruzan en el origen en puntos distintos ángulos — un punto doble, no un punto singular: cada pasaje es Perfectamente suave, los dos pasajes simplemente comparten su ubicación. La curva completa es la figura del ocho que aparece a continuación.

La curva de Lissajous ( t, 2t): un punto doble en el origen, donde dos ramas regulares se cruzan con velocidades (1, 2) y (-1, 2), y tangentes horizontales en los cuatro cumbres. La simetría redujo todo el trabajo a un cuarto de período. — La curva de Lissajous $(\sin t, \sin 2t)$ : un punto doble en el origen, donde dos ramas regulares se cruzan con velocidades $(1, 2)$ y $(-1, 2)$ , y tangentes horizontales en los cuatro cumbres. La simetría redujo todo el trabajo a un cuarto de período.

El astroide ( 3 t, 3 t): cuatro arcos que se encuentran en cuatro cúspides. Es la curva trazada por un punto de una circunferencia de radio. 1/4 rodando dentro del círculo unitario. — El astroide $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ : cuatro arcos que se encuentran en cuatro cúspides. Es la curva trazada por un punto de una circunferencia de radio. $\frac14$ rodando dentro del círculo unitario.

24.2 Curvas polares

Definición 24.6

A curva polar viene dado por $r = r(\theta)$ : el punto del parámetro $\theta$ es

M(\theta) = r(\theta)\,\vec u(\theta), \qquad \vec u(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta).

Con $\vec v(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta) = \vec u\,'(\theta)$ , la velocidad es

M'(\theta) = r'(\theta)\, \vec u(\theta) + r(\theta)\, \vec v(\theta) .

Consecuencias: donde $r \neq 0$ , el punto es regular, y el la tangente forma con el rayo el ángulo $V$ dado por $\tan V = \frac{r}{r'}$ (ángulo entre $M'$ y $\vec u$ ); donde $r(\theta_0) = 0$ , la curva pasa por el origen with tangent the ray $\theta = \theta_0$ (dirección $\vec u(\theta_0)$ , lectura $M'(\theta_0) = r'(\theta_0)\vec u(\theta_0)$ , o desde el límite acorde: el acorde de $O$ a $M(\theta)$ lo lleva el propio $\vec u(\theta)$ , que tiende a $\vec u(\theta_0)$ — por lo que el La regla se mantiene incluso cuando $r'(\theta_0) = 0$ y el punto es singular, por lo que el polar cúspides en el origen, al igual que el cardioides, obtén su tangente libre).

Ejemplo 24.7 (El cardioide)

$r(\theta) = 1 + \cos\theta$ . Simetría: $r(-\theta) = r(\theta)$ : reflexión en el eje $x$ ; estudio $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . $r$ disminuye de $2$ a $0$ ; en $\theta = \pi$ , $r = 0$ : la curva llega al origen tangencialmente al rayo $\theta = \pi$ (el eje $x$ ), formando un cúspide allí — el corazón punto. Tangente en $\theta = 0$ : $r' = 0$ , entonces $\tan V = \infty$ : perpendicular al eje.

El ángulo $V$ merece una lectura más. En $\theta = \frac\pi2$ : $r = 1$ y $r' = -1$ , entonces $\tan V = \frac{r}{r'} = -1$ : la tangente forma tres cuartos de ángulo recto con la rayo saliente — la curva ya se está doblando hacia su cúspide. La fórmula $\tan V = r/r'$ proporciona direcciones tangentes a lo largo de toda la curva sin cálculo de $M'(\theta)$ en absoluto: es el análogo polar de leer una pendiente.

Ejemplo 24.8 (Polar a cartesiano: un círculo oculto)

¿Qué es el curva polar $r = 2\cos\theta$ ? Multiplicar por $r$ : $r^2 = 2r\cos\theta$ , es decir $x^2 + y^2 = 2x$ , es decir

(x - 1)^2 + y^2 = 1 :

la circunferencia de centro $(1, 0)$ y radio $1$ , que pasa por el origen. La contabilidad importa: como se desborda $\theta$ $\intoc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ se barre todo el círculo exactamente una vez ( $r$ desaparece en ambos extremos), y en $\theta = \pm\frac\pi2$ la regla “tangente al origen a lo largo del rayo $\theta = \theta_0$ ” da una tangente vertical allí — coincidiendo con la geometría, ya que el eje vertical es de hecho tangente a este círculo en $O$ . Para $\theta$ más allá de ese rango, $r < 0$ vuelve sobre el mismo círculo: un recordatorio de que un curva polar es un Objeto parametrizado, permitido pasar sobre sí mismo.

La rosa de cuatro pétalos r = 2 (). Los pétalos a lo largo del eje y son trazado con r < 0(el punto se traza en el rayo opuesto a ); las diagonales discontinuas = ± π4 son las tangentes en el origen, donde r desaparece. — La rosa de cuatro pétalos $r = \cos 2\theta$ (Ejercicio 24.4). Los pétalos a lo largo del eje $y$ son trazado con $r < 0$ (el punto se traza en el rayo opuesto a $\theta$ ); las diagonales discontinuas $\theta = \pm\frac\pi4$ son las tangentes en el origen, donde $r$ desaparece.

El cardioide r = 1 +. Curvas polares son leídos por barriendo el ángulo: el radio se hincha y se contrae como vueltas. — El cardioide $r = 1 + \cos\theta$ . Curvas polares son leídos por barriendo el ángulo: el radio se hincha y se contrae como $\theta$ vueltas.

24.3 Longitud del arco

Definición 24.9 (longitud de un arco)

El longitud de un arco $C^1$ $f \colon \intcc{a}{b} \to \R^2$ es el integral de la velocidad:

L = \int_a^b \norm{f'(t)}\,\dd t = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\;\dd t .

(Motivación: en un pequeño intervalo, $M(t + h) \approx M(t) + h f'(t)$ , entonces el arco está cerca de un polígono cuyas longitudes de segmento suman a una suma de Riemann de $\norm{f'}$ , Teorema 15.20.) Para un curva polar $r = r(\theta)$ , la velocidad $r'\vec u + r\vec v$ tiene ortogonal componentes, entonces

L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r'(\theta)^2 + r(\theta)^2}\;\dd\theta .

La longitud no depende del (monótono, $C^1$ ) parametrización elegida: sustituyendo $t = \varphi(s)$ en el integral (Teorema 15.15) multiplica $f'$ por $\varphi'$ y $\dd t$ por $\varphi'^{-1}$ .

Ejemplo 24.10 (Comprobación de cordura: el círculo)

Para $f(t) = (R\cos t, R\sin t)$ en $\intcc{0}{2\pi}$ se tiene $\norm{f'} = R$ , luego $L = 2\pi R$ — la definición recupera la circunferencia. Prueba de reparametrización: la aplicación $g(t) = (R\cos 2t, R\sin 2t)$ en $\intcc{0}{\pi}$ dibuja el mismo círculo al doble de velocidad $\norm{g'} = 2R$ , y

\int_0^{\pi} 2R\,\dd t = 2\pi R

de nuevo: la mitad del tiempo, el doble de velocidad, mismo longitud — el invariancia prometida en la definición, observada una vez en los números. (Ejecutar $g$ en todo $\intcc{0}{2\pi}$ daría $4\pi R$ : a la curva recorrida dos veces tiene el doble de longitud como un viaje; longitud mide la ruta parametrizada y la contabilidad honesta de el intervalo es parte del cálculo.) Para el astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : $\norm{f'} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ , y por simetría $L = 4\int_0^{\pi/2} \tfrac32\sin 2t\,\dd t = 6$ : una curva trazada dentro del círculo unitario, de longitud $6 < 2\pi$ . El problema del fin de semana mide a los más famosos arco de todos.

Un arco de la cicloide (radio R = 1), el balanceo círculo en t = 2, y las dos líneas guía del problema del fin de semana: la cuerda MC al punto de contacto es normal al curva, el acorde MT hasta la parte superior del círculo es tangente. — Un arco de la cicloide (radio $R = 1$ ), el balanceo círculo en $t = 2$ , y las dos líneas guía del problema del fin de semana: la cuerda $MC$ al punto de contacto es *normal* al curva, el acorde $MT$ hasta la parte superior del círculo es *tangente*.

24.4 Cónicas

Definición 24.11 (Enfoque - definición de directora)

Se fija un punto $F$ (enfocar), una línea $D$ que no pasa por $F$ (directora) y $e > 0$ (excentricidad). el cónico de estos datos es

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

un elipse para $e < 1$ , un parábola para $e = 1$ , un hipérbola para $e > 1$ . (El círculo aparece como un degenerado límite $e \to 0$ .)

Ejemplo 24.12 (La definición, comprobada en una parábola.)

Tome la parábola $y^2 = 4x$ , es decir $2p = 4$ : enfoque $F = (1, 0)$ y directriz $D : x = -1$ (la forma reducida Teorema 24.13 los pone en $\pm\frac p2$ ). en el punto $M = (1, 2)$ de la curva:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

iguales, como exige $e = 1$ . En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ y $d(M', D) = 5$ nuevamente. El foco–directriz La definición no es una abstracción: es un par de distancias. puede medir en cualquier punto, y el álgebra de la reducción ecuaciones no es más que esta medición hecha de una vez por todas todos.

Teorema 24.13 (Ecuaciones reducidas)

En un marco ortonormal bien elegido:

\text{ellipse: } \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a \geq b > 0), \qquad \text{hyperbola: } \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, \qquad \text{parabola: } y^2 = 2px,

con, para la elipse: focos en $(\pm c, 0)$ , $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ , $e = \frac ca$ , y la caracterización bifocal $MF + MF' = 2a$ ; para la hipérbola: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , $e = \frac ca$ , $\abs{MF - MF'} = 2a$ , asíntotas $y = \pm\frac ba x$ .

Demostración. Tome el foco en el origen y la directriz vertical, $x = -h$ ( $h > 0$ ): la condición $MF^2 = e^2 d(M, D)^2$ dice $x^2 + y^2 = e^2 (x + h)^2$ . Para $e = 1$ : $y^2 = 2hx + h^2$ , una parábola después de la cambie $x \mapsto x - \frac h2$ (entonces $p = h$ ). Para $e \neq 1$ : completando el cuadrado en $x$ ,

(1 - e^2)\Bigl(x - \frac{e^2 h}{1 - e^2}\Bigr)^{\!2} + y^2 = e^2h^2 + \frac{e^4 h^2}{1 - e^2} = \frac{e^2 h^2}{1 - e^2} .

Establezca $X = x - \frac{e^2h}{1-e^2}$ (un cambio de fotograma). Cuando $e < 1$ , dividir por el lado derecho positivo: $\frac{X^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ con $a = \frac{eh}{1 - e^2}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{1-e^2}}$ ; cuando $e > 1$ , ambos lados de el signo de giro de pantalla apropiadamente y la misma división da $\frac{X^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ con $a = \frac{eh}{e^2 - 1}$ , $b = \frac{eh}{\sqrt{e^2 - 1}}$ . Los valores indicados de $c$ seguir ( $c^2 = a^2 - b^2$ o $a^2 + b^2$ da $c = ea$ en ambos casos, colocando el foco correctamente), y las propiedades bifocales son verificaciones directas sobre las ecuaciones reducidas. En detalle para el elipse, con $F' = (c, 0)$ y $M = (X, y)$ en la curva:

MF'^2 = (X - c)^2 + y^2 = X^2 - 2cX + c^2 + b^2\Bigl(1 - \frac{X^2}{a^2}\Bigr) = \frac{c^2}{a^2}X^2 - 2cX + a^2 = (a - eX)^2 ,

utilizando $c^2 + b^2 = a^2$ y $e = \frac ca$ ; desde $\abs X \leq a$ y $e < 1$ , $a - eX > 0$ , entonces $MF' = a - eX$ sin cuadrado raíz alguna vez extraída. El cálculo del espejo da $MF = a + eX$ , de donde $MF + MF' = 2a$ , constante. Para la hipérbola lo mismo el álgebra produce $MF = \abs{a + eX}$ y $MF' = \abs{eX - a}$ , con diferencia $\pm2a$ según la sucursal. ∎

Ejemplo 24.14

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ : elipse, $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 4$ : focos $(\pm4, 0)$ , excentricidad $\frac45$ . Su parametrización: $(5\cos t, 3\sin t)$ — un círculo estirado anisotrópicamente; el La suma de distancias a los focos de cualquiera de sus puntos es $10$ .

Ejemplo 24.15 (Leyendo una órbita a partir de su ecuación polar)

El polar cónico $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Ejercicio 24.7 con $p = 1$ , $e = \frac12$ ) es un elipse con un centrarse en el origen — la geometría de un órbita planetaria con el sol en $O$ . Extrae todo de $p$ y $e$ : de la reducción de Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ y $c = ea = \dfrac23$ . los dos Además, compruébalo sin ninguna teoría:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelion}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphelion}),

y su suma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera el mayor eje. La forma polar es la natural siempre que se coloca un foco. físicamente distinguido; la forma cartesiana reducida, siempre que los ejes de simetría son. Convertir entre los dos es exactamente lo que hace el cálculo del cuadrado completo del teorema.

La excentricidad como dial, por último: mantén $p = 1$ y gira $e$ en $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . En $e = 0$ : el círculo $r = 1$ . en $e = \frac12$ : la elipse recién estudiada, $r$ oscilando entre $\frac23$ y $2$ . En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ como $\theta \to \pi$ — la curva ya no se cierra: una parábola, su punto más lejano empujado al infinito. En $e = 2$ : el denominador desaparece en $\cos\theta = -\frac12$ , y sólo $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ sobrevive: una rama de un hipérbola, que escapa a lo largo de dos direcciones asintóticas. uno fórmula, toda la familia cónico y los puntos de transición $e = 1$ visibles en el momento en que el denominador llega a cero por primera vez.

Observación 24.16 (Errores comunes)

Los puntos dobles no son puntos singulares.: en un autocruzado, cada rama es regular; "singular" se refiere a $f'(t_0) = 0$ para un valor del parámetro (Ejemplo 24.5 vs cúspides del astroide). Vertical tangent versus cúspide: $x'(t_0) = 0 \neq y'(t_0)$ es un punto regular con tangente vertical; solo $x' = y' = 0$ exige la expansión de orden superior. Trazado de radios negativos en el rayo opuesto: para $r(\theta) < 0$ el punto es $-\abs{r}\,\vec u(\theta)$ , en el ángulo $\theta + \pi$ (Ejercicio 24.5); olvidar esto pierde bucles internos o dobla curvas. Longitud del arco integrates $\norm{f'}$ , not $f'$ : dividir el integral en los ceros de la velocidad — para el astroide, integrando $\frac32\sin 2t$ durante un período completo sin absoluta Los valores dan $0$ , no $6$ . Cónicas must be reduced before being read: en $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ , ni los ejes, ni el centro, ni la excentricidad es visible hasta que se completan los cuadrados (Ejercicio 24.6); y una parte cuadrática fugaz en uno variable significa parábola, no "elipse degenerada".

Observación 24.17 (Adónde van estas curvas)

Curvas parametrizadas son el lenguaje de la mecánica: trayectorias son curvas, los vectores de velocidad son vectores tangentes y arco longitud de Definición 24.9 es la distancia recorrida. el cónicas reaparece allí donde actúa una ley del cuadrado inverso — planetario las órbitas son elipses con el sol en un foco. en Capítulo 25, las curvas pasan a ser el nivel conjuntos de funciones de dos variables, y la tangente de este capítulo cumple con la gradiente del siguiente. El volumen Year 2 añade curvatura y el forma canónica local de una curva; el problema del fin de semana a continuación ya extrae, sólo con las herramientas de este año, todo lo que El siglo XVII conoció su curva más famosa.

Observación 24.18 (Perspectivas dentro del Libro 3)

Este capítulo ocupa toda la primera mitad del volumen y alimenta el último capítulo. Consumado: los vectores tangentes son derivados (Capítulo 14), longitud del arco y las áreas son integrales (Capítulo 15), cúspides se liquidan mediante Expansiones de Taylor (Capítulo 16), la tautocrona es una lineal ecuación diferencial (Capítulo 5), y cada la distancia y el ángulo son euclidianos (Capítulo 23). alimentado: en Capítulo 25, una curva $t \mapsto (x(t), y(t))$ dibujada dentro de un nivel conjunto $\{f = c\}$ se diferencia por la regla de la cadena, y la identidad resultante $\langle \nabla f,\ f'(t)\rangle = 0$ une los vectores tangentes de este capítulo con la gradientes del siguiente — la línea tangente de la curva y la dirección normal de la superficie son los mismos cálculos vistos de ambos bancos.

24.5 Ceremonias

Ejercicio 24.1 ★

Estudia y dibuja la curva $x(t) = t^2$ , $y(t) = t^3$ (simetrías, variaciones, comportamiento en el punto singular $t = 0$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.1.

$M(-t) = (t^2, -t^3)$ : reflexión en el eje $x$ ; estudio $t \geq 0$ . Tanto $x' = 2t$ como $y' = 3t^2$ son $\geq 0$ : la rama se mueve derecha y arriba, desde $(0,0)$ hasta el infinito. En $t = 0$ la velocidad desaparece; las expansiones $x = t^2$ , $y = t^3$ muestran que la tangente es la Eje $x$ ( $y/x = t \to 0$ ) con $y$ cambiando de signo mientras que $x \geq 0$ : un cúspide apuntando hacia la izquierda. La curva es la parábola semicúbica. $y^2 = x^3$ .

Ejercicio 24.2 ★

Para la cicloide $x(t) = t - \sin t$ , $y(t) = 1 - \cos t$ (la trayectoria de un punto de una rueda rodante de radio $1$ ): identificar la simetría de traslación del período, los puntos singulares y la dirección tangente en $t = 0$ (expandir $x$ y $y$ al primer órdenes distintas de cero).

Solución

Solución de Ejercicio 24.2.

$M(t + 2\pi) = M(t) + (2\pi, 0)$ : la curva se repite, traducida por circunferencia de una rueda; estudiar un período. $x'(t) = 1 - \cos t \geq 0$ , $y'(t) = \sin t$ : el arco sube en $\intoo{0}{\pi}$ , baja en $\intoo{\pi}{2\pi}$ , culminando en $(\pi, 2)$ . Puntos singulares donde $x' = y' = 0$ : $t \in 2\pi\Z$ , en el terreno. Cerca de $t = 0$ :

x(t) = \frac{t^3}{6} + o(t^3), \qquad y(t) = \frac{t^2}{2} + o(t^2):

$x$ cambia de signo, $y \geq 0$ y $\frac{x}{y^{3/2}}$ acotados: el la tangente es vertical (dirección $(0,1)$ ), una cúspide donde El punto rastreado tiene momentáneamente velocidad cero — la firma física de rodar sin resbalar.

Ejercicio 24.3 ★

Da la recta tangente a la curva $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ en $t = \frac\pi4$ , y comprueba que el segmento de esta tangente cortado por la ejes tiene longitud $1$ — una propiedad famosa del astroide (verdadera en cada punto regular).

Solución

Solución de Ejercicio 24.3.

En $t = \frac\pi4$ : $M = \bigl(\frac{\sqrt2}{4}, \frac{\sqrt2}{4}\bigr)$ , dirección tangente $(-\cos t, \sin t) = \frac{1}{\sqrt2}(-1, 1)$ (Ejemplo 24.4). tangente línea: $y - \frac{\sqrt2}{4} = -(x - \frac{\sqrt2}{4})$ , es decir $x + y = \frac{\sqrt2}{2}$ . Intersecciones: $\bigl(\frac{\sqrt2}{2}, 0\bigr)$ y $\bigl(0, \frac{\sqrt2}{2}\bigr)$ ; el segmento entre ellos tienen longitud $\sqrt{\frac12 + \frac12} = 1$ .

(Punto general $t$ : la tangente en $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ corta la ejes en $(\cos t, 0)$ y $(0, \sin t)$ — verifique que la línea por estos puntos tiene dirección $(-\cos t, \sin t)$ y pasa hasta $M(t)$ — y el segmento cortado tiene longitud $\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1$ ).

Ejercicio 24.4 ★

Dibuja la curvas polares $r = \cos 2\theta$ (rosa de cuatro pétalos) y $r = \frac{1}{\cos\theta}$ en $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (reconocer una línea).

Solución

Solución de Ejercicio 24.4.

$r = \cos 2\theta$ : período $\pi$ en $\theta$ , simétrico en ambos ejes; $r$ desaparece en $\theta = \pm\frac\pi4$ (tangentes en el origen a lo largo de las diagonales) y es negativo para $\theta \in \intoo{\frac\pi4}{\frac{3\pi}{4}}$ , donde los puntos se trazan en la rayo opuesto — produciendo cuatro pétalos a lo largo de las direcciones del eje $\theta = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}{2}$ , cada uno de máximo radio $1$ .

$r\cos\theta = 1$ es la ecuación $x = 1$ : la curva polar $r = \frac{1}{\cos\theta}$ es la línea vertical $x = 1$ (barrida una vez por $\theta \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ).

Ejercicio 24.5 ★★

Estudia el dominio curva polar $r = 1 + 2\cos\theta$ (a limaçon): donde $r \geq 0$ vs $r < 0$ (puntos trazados con radio negativo sentarse en el rayo opuesto), paso por el origen, bucle interior, boceto.

Solución

Solución de Ejercicio 24.5.

$r(\theta) = 1 + 2\cos\theta$ desaparece para $\cos\theta = -\frac12$ : $\theta = \pm\frac{2\pi}{3}$ . Simetría en el eje $x$ ; estudiar $\theta \in \intcc{0}{\pi}$ . Para $\theta \in \intco{0}{\frac{2\pi}{3}}$ : $r > 0$ , disminuyendo de $3$ a $0$ : arco exterior, entrando en el origen tangente al rayo $\theta = \frac{2\pi}{3}$ . Para $\theta \in \intoc{\frac{2\pi}{3}}{\pi}$ : $r < 0$ : los puntos $r\vec u(\theta)$ se encuentran en el rayo opuesto (ángulo $\theta - \pi \in \intoc{-\frac\pi3}{0}$ ), con distancia $\abs r$ creciendo de $0$ a $1$ : esto dibuja un pequeño bucle interior a través del origen. En $\theta = \pi$ , $r = -1$ y el punto es $-\vec u(\pi) = (1, 0)$ : el bucle se cierra en el eje positivo $x$ . Boceto: una gran curva exterior en forma de corazón con alcance máximo $3$ en $\theta = 0$ , más un bucle en su interior hasta $O$ y $(1,0)$ .

Ejercicio 24.6 ★★

Identificar el cónico $9x^2 + 25y^2 - 36x - 50y - 164 = 0$ : reducir en completar cuadrados, dar centro, semiejes, focos, excentricidad.

Solución

Solución de Ejercicio 24.6.

Cuadrados completos:

9(x^2 - 4x) + 25(y^2 - 2y) = 164 \iff 9(x-2)^2 + 25(y-1)^2 = 164 + 36 + 25 = 225 .

Dividiendo por $225$ : $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ : un elipse de centro $(2, 1)$ , semiejes $a = 5$ (horizontal), $b = 3$ ; $c = \sqrt{25 - 9} = 4$ : focos $(2 \pm 4,\, 1) = (-2, 1)$ y $(6, 1)$ ; excentricidad $e = \frac45$ .

Ejercicio 24.7 ★★

Demuestre que la ecuación polar de un cónico con foco en el origen es

r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}

(directriz vertical a la distancia $\frac pe$ a la derecha del foco). ¿Qué valores de $\theta$ están permitidos cuando $e > 1$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 24.7.

Centrarse en el origen, directriz $D: x = d$ con $d = \frac pe > 0$ . Para un punto $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ con $r > 0$ :

MF = r, \qquad d(M, D) = \abs{d - r\cos\theta},

y la condición cónico $MF = e\,d(M, D)$ , en el régimen donde $M$ está en el lado de enfoque de la directriz ( $r\cos\theta < d$ ), lee $r = e(d - r\cos\theta)$ , es decir

r(1 + e\cos\theta) = ed = p, \qquad r = \frac{p}{1 + e\cos\theta} .

Para $e < 1$ el denominador nunca desaparece: se permiten todos los $\theta$ (elipse). Para $e = 1$ : $\theta \neq \pi$ (parábola, abierta hacia el otro lado de la directriz). Para $e > 1$ : necesita $1 + e\cos\theta > 0$ , es decir, $\theta \in \intoo{-\theta_0}{\theta_0}$ con $\theta_0 = \arccos\bigl(-\frac1e\bigr)$ : un rama de la hipérbola (la otra rama corresponde a la elección de signo $r < 0$ , o a la segundo enfoque).

Ejercicio 24.8 ★★

De la propiedad bifocal $MF + MF' = 2a$ , deduzca la "distancia del jardinero". construcción” de la elipse, y demostrar que la tangente en $M$ forma ángulos iguales con $MF$ y $MF'$ (reflection property; differentiate $\norm{M(t) - F} + \norm{M(t) - F'} = 2a$ and interpret the vanishing sum of unit-vector products).

Solución

Solución de Ejercicio 24.8.

Jardinero: ate una cuerda de longitud $2a$ a dos estacas $F, F'$ y manténgala tensa con el punto de calco $M$ : la restricción es exactamente $MF + MF' = 2a$ , por lo que la curva trazada es la elipse.

Propiedad de reflexión: deja que $t \mapsto M(t)$ sea un habitual parametrización y $u(t) = \frac{M(t) - F}{\norm{M(t) - F}}$ , $u'(t)$ el vector unitario análogo a $F'$ . diferenciando $\norm{M - F} + \norm{M - F'} = 2a$ , usando $\frac{\dd}{\dd t}\norm{M - F} = \bigl\langle \frac{M - F}{\norm{M-F}},\, M'\bigr\rangle$ (regla de cadena en $\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ ):

\bigl\langle u + u',\, M'\bigr\rangle = 0 .

Entonces la dirección tangente $M'$ es ortogonal a la bisectriz dirección $u + u'$ de los dos rayos focales: la tangente hace igual ángulos con $MF$ y $MF'$ . (Un rayo de luz de un foco refleja de la elipse al otro foco.)

Ejercicio 24.9 ★★★

El lemniscata de Bernoulli es el curva polar $r^2 = \cos 2\theta$ (tome $r = \sqrt{\cos2\theta}$ donde esté definido).

Indica su dominio, simetrías, tangentes en el origen y dibújalo.
Demuestre que es el lugar geométrico de los puntos $M$ con $MF \cdot MF' = \frac12$ donde $F, F' = \bigl(\pm\frac{1}{\sqrt2}, 0\bigr)$ . (Compute $MF^2\,MF'^2$ in polar coordenadas.)

Solución

Solución de Ejercicio 24.9.

Dominio: $\cos 2\theta \geq 0$ : $\theta \in \intcc{-\frac\pi4}{\frac\pi4} \cup \intcc{\frac{3\pi}{4}}{\frac{5\pi}{4}}$ . Simetrías: $\theta \mapsto -\theta$ (eje $x$ ) y $\theta \mapsto \pi - \theta$ (eje $y$ ): estudio $\intcc{0}{\frac\pi4}$ ; $r$ disminuye de $1$ a $0$ . En $\theta = \pm\frac\pi4$ : $r = 0$ , tangentes en el origen a lo largo de las diagonales. la curva es el símbolo $\infty$ : dos bucles simétricos que se encuentran en $O$ , llegando a $(\pm 1, 0)$ .
Con $F, F' = (\pm c, 0)$ , $c = \frac{1}{\sqrt 2}$ y $M = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ :

$MF^2\, MF'^2 = \bigl((r\cos\theta - c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) \bigl((r\cos\theta + c)^2 + r^2\sin^2\theta\bigr) = (r^2 + c^2)^2 - (2rc\cos\theta)^2 ,$

por la identidad $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ con $A = r^2 + c^2$ , $B = 2rc\cos\theta$ . Con $c^2 = \frac12$ :

$MF^2 MF'^2 = \Bigl(r^2 + \frac12\Bigr)^2 - 2r^2\cos^2\theta = r^4 + r^2\bigl(1 - 2\cos^2\theta\bigr) + \frac14 = r^4 - r^2\cos 2\theta + \frac14 .$

En la lemniscata, $r^2 = \cos 2\theta$ : los dos primeros términos cancelar, dejando $MF^2MF'^2 = \frac14$ , es decir $MF \cdot MF' = \frac12$ . Por el contrario, el cálculo leído al revés muestra la ecuación del lugar $MF\,MF' = \frac12$ es $r^2 = \cos 2\theta$ (para $r \neq 0$ ; y $O$ satisface ambas).

Ejercicio 24.10 ★★

Calcular el total longitud del cardioide $r = 1 + \cos\theta$ usando la fórmula polar de Definición 24.9 (the identity $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac\theta2$ turns the square root into $2\abs{\cos\frac\theta2}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 24.10.

$r = 1 + \cos\theta$ , $r' = -\sin\theta$ :

r^2 + r'^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\frac\theta2 ,

entonces $\sqrt{r^2 + r'^2} = 2\abs{\cos\frac\theta2}$ y, por el simetría en el eje $x$ ,

L = \int_0^{2\pi} 2\Bigl|\cos\frac\theta2\Bigr|\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi} 2\cos\frac\theta2\,\dd\theta = 2\Bigl[4\sin\frac\theta2\Bigr]_0^{\pi} = 8 .

Otro perímetro algebraico libre de $\pi$ .

Ejercicio 24.11 ★★

Demuestre que la tangente a la elipse $(a\cos t, b\sin t)$ en el punto del parámetro $t$ tiene ecuación

\frac{x\cos t}{a} + \frac{y\sin t}{b} = 1 ,

y deducir la tangente a $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ en un punto $(x_0, y_0)$ de la elipse: $\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1$ (la regla de la "división de los cuadrados").

Solución

Solución de Ejercicio 24.11.

El punto $(a\cos t, b\sin t)$ satisface la ecuación: $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ . El vector normal de la recta es $\bigl(\frac{\cos t}a, \frac{\sin t}b\bigr)$ y su producto. con la velocidad $(-a\sin t, b\cos t)$ es $-\sin t\cos t + \sin t\cos t = 0$ : la recta pasa por el punto con la dirección tangente — es la tangente. Para $(x_0, y_0)$ en el elipse, escriba $\cos t = \frac{x_0}a$ , $\sin t = \frac{y_0}b$ y sustituto:

\frac{x\,x_0}{a^2} + \frac{y\,y_0}{b^2} = 1 ,

obtenido de la ecuación de la elipse "dividiendo" $x^2 \mapsto x\,x_0$ y $y^2 \mapsto y\,y_0$ .

Ejercicio 24.12 ★★★

El espiral logarítmica es el curva polar $r = \eu^{k\theta}$ ( $k > 0$ fijo, $\theta \in \R$ ).

Demuestre que el ángulo $V$ entre el radio y el tangente es constante ( $\tan V = \frac1k$ ) — la La espiral cruza cada rayo en el mismo ángulo.
Demuestre que al girar la espiral en un ángulo $c$ aplicaciones se en su escala por el factor $\eu^{-kc}$ : cada La rotación de la espiral es una ampliación de la misma. (autosemejanza).
Calcular el longitud del arco $\theta \in \intoc{-\infty}{\theta_0}$ (como límite de longitudes en $\intcc{A}{\theta_0}$ , $A \to -\infty$ ) y observe que es finito: una curva que gira en espiral infinitas veces alrededor del origen, de longitud finito.

Solución

Solución de Ejercicio 24.12.

$r' = k\eu^{k\theta}$ , entonces $\tan V = \frac{r}{r'} = \frac1k$ : constante. La espiral corta cada rayo del origen en el mismo ángulo $V = \arctan\frac1k$ .
En notación compleja la espiral es $\{\eu^{k\theta} \eu^{\iu\theta} : \theta \in \R\}$ . Girando por $c$ multiplica por $\eu^{\iu c}$ :

$\eu^{k\theta}\eu^{\iu(\theta + c)} = \eu^{-kc}\,\eu^{k(\theta + c)}\eu^{\iu(\theta+c)} ,$

y como $\theta + c$ se ejecuta sobre $\R$ , esto describe $\eu^{-kc}$ veces la espiral: rotación $=$ escala. No Otra curva suave pero líneas y círculos tiene esto. propiedad.
$\sqrt{r^2 + r'^2} = \sqrt{1 + k^2}\,\eu^{k\theta}$ , entonces en $\intcc{A}{\theta_0}$ el longitud es $\frac{\sqrt{1+k^2}}{k}\bigl(\eu^{k\theta_0} - \eu^{kA}\bigr)$ , y como $A \to -\infty$ :

$L = \frac{\sqrt{1 + k^2}}{k}\,\eu^{k\theta_0} < \infty :$

infinitas vueltas alrededor del origen, total finito longitud (las espiras se contraen geométricamente).

24.6 Problema: la cicloide, reina de las curvas

Problema 24.1

Una rueda de radio $R$ rueda sin deslizarse a lo largo del eje $x$ ; la punta de la llanta inicialmente en el origen rastros el cicloide. El siglo XVII luchó por esta curva. — Galileo pesó recortes de papel, Wren los midió, Roberval calculó su área, Huygens construyó relojes en ella…y cada uno de sus resultados está al alcance de este capítulo. Nosotros prueba los cuatro clásicos: la construcción tangente, longitud de Wren $8R$ , el área $3\pi R^2$ y la tautocrona de Huygens propiedad.

Parte I — Rolling and the tangent.

Después de que la rueda haya girado un ángulo $t$ , su centro se sienta en $\Omega(t) = (Rt, R)$ (rodando sin resbalar: distancia de contacto $=$ arco laminado). Demuestre que lo marcado el punto es en

$M(t) = \bigl(R(t - \sin t),\; R(1 - \cos t)\bigr).$
Calcula $f'(t)$ y muestra $\norm{f'(t)} = 2R\,\abs{\sin\frac t2}$ ; localizar los puntos singulares (cúspides — cf. Ejercicio 24.2) y la parte superior de cada arco.
Sea $C(t) = (Rt, 0)$ el punto de contacto y $T(t) = (Rt, 2R)$ la parte superior de la rueda. Demuestre que para $0 < t < 2\pi$ el vector $M - C$ es normal con respecto a la curva en $M(t)$ y el vector $T - M$ es tangente: para dibujar la tangente a una cicloide, une el punto a la parte superior de su círculo rodante. (Factor everything through $\sin\frac t2$ and $\cos\frac t2$ .)
Interpretar la pregunta 3 cinemáticamente: el punto de contacto es el centro de rotación instantáneo y el La velocidad de $M$ es igual a su distancia a $C$ (para unidades angulares). velocidad). Verifique $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ .
Demostrar la relación altura-velocidad

$\norm{f'(t)}^2 = 2R\,y(t) :$

en una cicloide atravesada con velocidad angular unitaria, la La velocidad en cada punto es exactamente la velocidad de caída libre de un caída igual a la altura actual. (Guarde esto para Parte IV.)

Parte II — Wren’s theorem: the arch has longitud $8R$ .

Usando Definición 24.9, calcule el longitud de un arco:

$L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 8R$

(Teorema de Wren, 1658). Cuatro diámetros de rueda, y no $\pi$ en cualquier lugar.
Calcule longitud del arco a partir de cúspide: $s(t) = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ y verifique $s(2\pi) = 8R$ .
Ahora mida el arco desde ápex $t = \pi$ : $\sigma(t) = \abs{4R\cos\frac t2}$ . Demostrar lo intrínseco relación

$\sigma^2 = 8R\,\bigl(2R - y\bigr) :$

la distancia del arco cuadrado desde la parte superior es proporcional a la altura cae por debajo de la parte superior.
Comprobaciones de cordura: recupera de la pregunta 8 que el medio arco desde el ápice hasta cúspide tiene longitud $4R$ , y comparar con el cálculo astroide de Ejemplo 24.10 — ambas curvas tienen longitudes algebraico, $\pi$ libre; explicar qué hace esto posible a pesar de que ambos son construido a partir de círculos. (Look at the form of $\norm{f'}$ .)

Parte III — Roberval’s area: $3\pi R^2$ .

Justify that the area between one arch and the ground is $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ (the substitution $x = x(t)$ in $\int y\,\dd x$ , Teorema 15.15; $x$ is increasing).
Computar

$A = R^2\int_0^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,\dd t = 3\pi R^2 :$

exactamente tres veces el área de la rueda — la proporción que Galileo había adivinado al pesar.
Mismo método para el astroide $(\cos^3t, \sin^3t)$ : mostrar que el área cerrada es $\frac{3\pi}8$ (linearize $\sin^4 t\cos^2 t$ ; only the constant term survives over a full period).
Cordura verifica la fórmula de la pregunta 10 en la unidad superior semicírculo $(\cos t, \sin t)$ , $t$ de $\pi$ a $0$ : ¿Devuelve $\frac\pi2$ ?

Parte IV — Huygens’ tautochrone. Voltear el arco: una cuenta sin fricción se desliza, por gravedad $g$ , dentro del cuenco cicloidal

x(t) = R(t + \sin t), \qquad y(t) = R(1 - \cos t) \qquad (t \in \intcc{-\pi}{\pi}),

cuyo punto más bajo es el origen ( $y$ medido hacia arriba).

Calcula la velocidad $\norm{f'(t)} = 2R\cos\frac t2$ , la longitud del arco desde abajo $s(t) = 4R\sin\frac t2$ , y probar la identidad clave

$y = \frac{s^2}{8R} .$
La cuenta liberada en reposo desde el punto del parámetro $t_0 > 0$ obedece a conservación de energía: si $s(\tau)$ denota su posición de arco en el momento $\tau$ , luego $\frac12\bigl( \frac{\dd s}{\dd\tau}\bigr)^2 + g\,y = g\,y_0$ . Reescribir esto, utilizando la pregunta 14, como

$\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = \frac{g}{4R}\,\bigl(s_0^2 - s^2\bigr), \qquad s_0 = s(t_0).$
Diferenciar respecto de $\tau$ y obtener el oscilador armónico

$\frac{\dd^2 s}{\dd\tau^2} = -\frac{g}{4R}\,s ;$

resuélvelo con Teorema 5.10 y el condiciones iniciales: $s(\tau) = s_0\cos(\omega\tau)$ , $\omega = \sqrt{g/4R}$ .
Deducir el propiedad tautocrona (Huygens, 1659): el momento de llegar al fondo,

$T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,$

no depende del punto de liberación — perlas liberadas juntos desde dos alturas cualesquiera del recipiente llegan juntos.
Verificar por sustitución que $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ satisface la energía de primer orden. ecuación de la pregunta 15 exactamente (no sólo la diferenciado), y explica en una frase por qué un El péndulo circular es solo aproximadamente. isócrono mientras que la cicloide lo es exactamente.
Numéricamente: qué radio $R$ hace el tiempo de descenso exactamente un segundo ( $g = 9.81$ )? Observe lo cerca que está el la respuesta es a un metro, y cómo la oscilación completa período $2\pi\sqrt{4R/g}$ se compara con el ángulo pequeño fórmula del péndulo $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para $\ell = 4R$ .

Part V — Dividends, and synthesis.

Aplique la regla de la tangente de la pregunta 3 en $t = \frac\pi2$ (tome $R = 1$ ): calcule $M$ , $T$ , el dirección de $MT$ y compruébelo con $f'(\frac\pi2)$ .
(Trocoides) Marque en su lugar un punto a la distancia $d$ de el centro ( $d \neq R$ ): la curva es $x = Rt - d\sin t$ , $y = R - d\cos t$ . Muestre que para $d < R$ el La curva es regular en todas partes y es la gráfica de no comportamiento singular ( $x' > 0$ : avanza), mientras que para $d > R$ la abscisa $x'$ cambia de signo y la curva hace bucles — la rueda de ferrocarril con pestañas cuyo borde apunta viaje hacia atrás.
(avance de Braquistócrona) Del cúspide $(\pi R, 2R)$ de el recipiente hasta el fondo, compare el tiempo de descenso de la cicloide $\pi\sqrt{R/g}$ con el tiempo por la rampa recta uniendo los mismos puntos (constant acceleration $g\sin\alpha$ along the chord): muestra las tomas del acorde $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{R/g} \approx 3.72\sqrt{R/g}$ . La curva supera a la línea; de hecho, es la más rápida. de todas las curvas, resultado del cálculo de variaciones.
Muestra que en el arco ( $0 < t < 2\pi$ ),

$\frac{\dd y}{\dd x} = \cot\frac t2, \qquad \frac{\dd^2 y}{\dd x^2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :$

el arco es cóncavo, con tangentes verticales exactamente en el cúspides.
Recuperar la tangente vertical cúspide de Ejercicio 24.2 geométricamente: calcular el límite dirección del acorde $MT$ de la pregunta 3 como $t \to 0^{+}$ , sin expansión alguna.
Síntesis, en cuatro frases: cuáles tres teoremas nombrados este problema quedó demostrado (con sus números $8R$ , $3\pi R^2$ , $\pi\sqrt{R/g}$ y sus autores); cual soltero dispositivo computacional ( $\sin\frac t2$ , $\cos\frac t2$ factorizaciones) impulsaron todas las Partes I, II y IV; como la relación intrínseca $y = s^2/8R$ geometría convertida en una ecuación diferencial lineal; y que capitulo de este libro se apoyó cada Parte.

Solución

Solución de Problema 24.1.

1. Rodar sin deslizarse significa que el punto de contacto tiene recorrido una distancia igual al arco de la rueda desenrollada: después girando por $t$ , el centro está en $(Rt, R)$ . El punto marcado se encuentra en la llanta en ángulo $t$ detrás la vertical hacia abajo (la rueda gira en el sentido de las agujas del reloj mientras avanza):

M(t) = \Omega(t) + R(-\sin t, -\cos t) = \bigl(R(t - \sin t),\ R(1 - \cos t)\bigr),

lo cual es correcto en $t = 0$ ( $M = (0,0)$ ) y en $t = \pi$ ( $M = (\pi R, 2R)$ , la parte superior).

2. $f'(t) = R(1 - \cos t,\ \sin t)$ y

\norm{f'}^2 = R^2\bigl((1-\cos t)^2 + \sin^2 t\bigr) = 2R^2(1 - \cos t) = 4R^2\sin^2\frac t2 ,

entonces $\norm{f'} = 2R\abs{\sin\frac t2}$ . Puntos singulares en $t \in 2\pi\Z$ : el cúspides en tierra (Ejercicio 24.2); el La parte superior del arco es $t = \pi$ , donde la velocidad $2R$ es máxima.

3. Factorizaciones de medio ángulo:

f'(t) = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr), \quad M - C = 2R\sin\frac t2\,\Bigl(-\cos\frac t2,\ \sin\frac t2\Bigr),

T - M = \bigl(R\sin t,\ R(1 + \cos t)\bigr) = 2R\cos\frac t2\,\Bigl(\sin\frac t2,\ \cos\frac t2\Bigr).

Para $0 < t < 2\pi$ , $\sin\frac t2 \neq 0$ : $M - C$ es ortogonal a la dirección tangente $\bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ (su producto es $-\sin\frac t2\cos\frac t2 + \sin\frac t2\cos\frac t2 = 0$ ), y $T - M$ es paralela a ella. La cuerda hasta la parte superior de la rueda is la tangente; el La cuerda hasta el punto de contacto es la normal.

4. En cada instante la rueda gira sobre su punto de contacto. punto (ese punto tiene velocidad cero: rueda sin deslizarse), entonces cada punto rígido de la rueda mueve ortogonalmente a la línea uniéndolo a $C$ , con velocidad (velocidad angular $1$ ) igual a esa distancia. Verificar: $\norm{M - C} = 2R\abs{\sin\frac t2} = \norm{f'(t)}$ .

5. $2R\,y(t) = 2R\cdot 2R\sin^2\frac t2 = 4R^2\sin^2\frac t2 = \norm{f'(t)}^2$ . La velocidad en altura $y$ es $\sqrt{2R\,y}$ — formalmente la ley $v = \sqrt{2gh}$ de libre caer, con el suelo tocando el techo; La parte IV convierte esto observación en un mecanismo de relojería.

6. Por Definición 24.9 y pregunta 2 ( $\sin\frac t2 \geq 0$ en $\intcc{0}{2\pi}$ ):

L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac t2\,\dd t = 2R\Bigl[-2\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R .

Teorema de Wren: cuatro diámetros exactamente.

7. $s(t) = \int_0^t 2R\sin\frac u2\,\dd u = 4R\bigl(1 - \cos\frac t2\bigr)$ ; $s(2\pi) = 4R(1+1) = 8R$ , consistente.

8. $\sigma(t) = \abs{s(t) - s(\pi)} = \abs{4R(1 - \cos\frac t2) - 4R} = 4R\abs{\cos\frac t2}$ , entonces $\sigma^2 = 16R^2\cos^2\frac t2$ ; y $2R - y = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , de donde $8R(2R - y) = 16R^2\cos^2\frac t2 = \sigma^2$ .

9. En el cúspide $t = 0$ (o $2\pi$ ): $\sigma = 4R$ , la mitad de $8R$ : el ápice divide a la mitad el arco. En ambos cálculos el La velocidad es $\abs{\text{trigonometric polynomial in } t/2}$ , cuyo La antiderivada es nuevamente trigonométrica: el longitud es un diferencia de valores de cosenos — números racionales veces $R$ — sin arco de círculo para medir, por lo tanto no hay $\pi$ . El círculo en sí tiene velocidad constante, por lo que es longitud integral produce el intervalo longitud $2\pi$ completo; la velocidad de la cicloide desaparece en los extremos y se integra algebraicamente.

10. El arco se barre con $x$ aumentando de $0$ a $2\pi R$ ( $x' = R(1 - \cos t) \geq 0$ , desaparece sólo en puntos aislados). Sustituyendo $x = x(t)$ en el área integral $\int_0^{2\pi R} y\,\dd x$ (Teorema 15.15) da $A = \int_0^{2\pi} y(t)\,x'(t)\,\dd t$ .

11.

A = \int_0^{2\pi} R(1 - \cos t)\cdot R(1 - \cos t)\,\dd t = R^2\int_0^{2\pi}\bigl(1 - 2\cos t + \cos^2 t\bigr)\dd t = R^2\Bigl(2\pi - 0 + \pi\Bigr) = 3\pi R^2 ,

utilizando $\int_0^{2\pi}\cos^2 = \pi$ . Exactamente tres zonas de rueda: La balanza de Galileo decía "sobre $3$ "; El cálculo de Roberval dice "exactamente".

12. Con $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $y\,x' = -3\sin^4 t\cos^2 t$ . Linealizar:

\sin^4 t\cos^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}\cdot\frac{\sin^2 2t}{4} = \frac{\sin^2 2t}{8} - \frac{\sin^2 2t\cos 2t}{8} ,

y más de $\intcc{0}{2\pi}$ : $\int\sin^2 2t = \pi$ , $\int \sin^2 2t\cos 2t = \bigl[\frac{\sin^3 2t}{6}\bigr] = 0$ . Entonces $\oint y\,\dd x = -3\cdot\frac\pi8$ , y el área encerrada es $\frac{3\pi}8$ (el signo registra el sentido antihorario orientación).

13. Para $(\cos t, \sin t)$ con $t$ de $\pi$ a $0$ , $x$ aumenta de $-1$ a $1$ y

\int_\pi^0 \sin t\cdot(-\sin t)\,\dd t = \int_0^\pi \sin^2 t\,\dd t = \frac\pi2 :

la fórmula devuelve el área del medio disco superior, como debe ser.

14. $x' = R(1 + \cos t) = 2R\cos^2\frac t2$ , $y' = R\sin t = 2R\sin\frac t2\cos\frac t2$ , entonces $\norm{f'} = 2R\cos\frac t2$ (no negativo en $\intcc{-\pi}{\pi}$ ). Arco de la parte inferior: $s(t) = \int_0^t 2R\cos\frac u2\,\dd u = 4R\sin\frac t2$ . entonces

y = R(1 - \cos t) = 2R\sin^2\frac t2 = 2R\Bigl(\frac{s}{4R}\Bigr)^{\!2} = \frac{s^2}{8R} .

15. Ahorro de energía con $v = \frac{\dd s}{\dd\tau}$ y $y = \frac{s^2}{8R}$ , $y_0 = \frac{s_0^2}{8R}$ :

\Bigl(\frac{\dd s}{\dd\tau}\Bigr)^{\!2} = 2g(y_0 - y) = \frac{2g}{8R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr) = \frac{g}{4R}\bigl(s_0^2 - s^2\bigr).

16. Diferenciando en $\tau$ : $2s's'' = -\frac{g}{4R}\,2ss'$ , por lo que donde sea $s' \neq 0$ (por lo tanto en todas partes por continuidad), $s'' = -\frac{g}{4R}s$ : el oscilador armónico. Por Teorema 5.10, $s(\tau) = A\cos\omega\tau + B\sin\omega\tau$ con $\omega = \sqrt{g/(4R)}$ ; las condiciones iniciales $s(0) = s_0$ , $s'(0) = 0$ dar $s(\tau) = s_0\cos\omega\tau$ .

17. La cuenta llega al fondo cuando $s = 0$ , es decir en $\omega\tau = \frac\pi2$ :

T_{\downarrow} = \frac{\pi}{2\omega} = \frac\pi2\sqrt{\frac{4R}{g}} = \pi\sqrt{\frac Rg}\,,

independiente de $s_0$ : liberado desde cualquier lugar del recipiente, todos Las cuentas llegan en el mismo instante: la tautocrona.

18. Sustituyendo $s = s_0\cos\omega\tau$ : el lado izquierdo es $s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ y el lado derecho es $\frac{g}{4R}s_0^2(1 - \cos^2\omega\tau) = s_0^2\omega^2\sin^2\omega\tau$ : igualdad exacta, por lo que no espuria Se introdujo la solución. Para un arco circular, $y$ no es proporcional a $s^2$ ( $y = \ell(1 - \cos\frac s\ell) = \frac{s^2}{2\ell} - \frac{s^4}{24\ell^3} + \dots$ ): el El término de restauración es solo aproximadamente lineal, por lo que el período de un péndulo circular se desplaza con amplitud, mientras que el la cicloide es rigurosamente constante.

19. $\pi\sqrt{R/g} = 1$ da $R = \frac{g}{\pi^2} \approx \frac{9.81}{9.87} \approx 0.994$ m — casi exactamente un metro. La oscilación completa toma $\frac{2\pi}\omega = 2\pi\sqrt{4R/g}$ , que es precisamente la fórmula de ángulo pequeño $2\pi\sqrt{\ell/g}$ para un péndulo de longitud $\ell = 4R$ : Huygens suspendió su péndulo de mejillas cicloidales de exactamente esa proporción.

20. En $t = \frac\pi2$ , $R = 1$ : $M = \bigl(\frac\pi2 - 1,\ 1\bigr)$ , $T = \bigl(\frac\pi2,\ 2\bigr)$ , entonces $T - M = (1, 1)$ . Y $f'(\frac\pi2) = (1 - 0,\ 1) = (1, 1)$ : el acorde para La cima es la velocidad, como se prometió.

21. Para la trocoide, $x'(t) = R - d\cos t$ y $y'(t) = d\sin t$ . Si $d < R$ : $x' \geq R - d > 0$ , el punto siempre avances; la velocidad nunca desaparece (su primer componente es positivo): ningún punto singular, una onda regular. Si $d > R$ : $x'(0) = R - d < 0 < R + d = x'(\pi)$ , entonces el punto se mueve hacia atrás cerca de los instantes de contacto y avanza hacia otra parte: la curva se cruza en bucles. Un punto en el ala de un ferrocarril. La rueda (debajo de la cabeza del riel, $d > R$ ) se desplaza hacia atrás en cada girar.

22. El acorde desde el cúspide $(\pi R, 2R)$ hasta el origen. tiene longitud $L = R\sqrt{\pi^2 + 4}$ y ángulo de pendiente $\alpha$ con $\sin\alpha = \frac{2R}{L}$ . Deslizándose desde el reposo con constante aceleración $g\sin\alpha$ : $L = \frac12 g\sin\alpha\,T^2$ , entonces

T = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = \sqrt{\frac{2L^2}{2Rg}} = \frac{L}{\sqrt{Rg}} = \sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{\frac Rg} \approx 3.72\sqrt{\frac Rg}\,,

contra $\pi\sqrt{R/g} \approx 3.14\sqrt{R/g}$ para la cicloide: el camino curvo es más rápido. De hecho, es lo más rápido posible. — la braquistocrona — un teorema del cálculo de variaciones, más allá de este volumen.

23. $\dfrac{\dd y}{\dd x} = \dfrac{y'}{x'} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \cot\dfrac t2$ (medio ángulo fórmulas). entonces

\frac{\dd^2y}{\dd x^2} = \frac{\dd}{\dd t}\Bigl(\cot\frac t2\Bigr)\cdot\frac{1}{x'(t)} = -\frac{1}{2\sin^2\frac t2}\cdot\frac{1}{2R\sin^2\frac t2} = -\frac{1}{4R\sin^4\frac t2} < 0 :

cóncavo en todo el arco; como $t \to 0^+$ o $2\pi^-$ el pendiente $\cot\frac t2 \to \pm\infty$ : tangentes verticales en el cúspides.

24. La dirección del acorde es $T - M \parallel \bigl(\sin\frac t2, \cos\frac t2\bigr)$ , que tiende a $(0, 1)$ . como $t \to 0^{+}$ : la tangente en cúspide es vertical — recuperado de geometría pura, sin expansión de Taylor.

25. (i) Teorema de Wren, $L = 8R$ ; área de Roberval, $A = 3\pi R^2$ (proporción conjeturada de Galileo $3$ ); Huygens tautocrona, $T_\downarrow = \pi\sqrt{R/g}$ . (ii) Cada El cálculo se realizó en las factorizaciones de medio ángulo $f' = 2R\sin\frac t2(\sin\frac t2, \cos\frac t2)$ y su tazón. analógico — una identidad que alimenta la tangente, longitud y reloj por igual. (iii) La relación intrínseca $y = s^2/8R$ convirtió el ecuación de energía en $s'' = -\frac{g}{4R}s$ , una ecuación lineal con coeficientes constantes cuyas soluciones son exactamente isócrono. (iv) La parte I utilizó el cálculo diferencial de Capítulo 14, Parte II–III el integral de Capítulo 15, Parte IV las ecuaciones diferenciales de Capítulo 5 — la cicloide es el plan de estudios de este libro enrollado en una curva.