¿Qué es Espacio dual, base dual?

Ejemplo 2.2

En $K_n[X]$ con la base $(1, X, \dots, X^n)$, la base dual es $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coeficientes de Taylor). Otra base del dual: las evaluaciones $P \mapsto P(x_i)$ en $n + 1$ puntos distintos; su base “predual” en $K_n[X]$ es exactamente la familia de los polinomios de Lagrange $L_i$ (volumen del primer año), ya que $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. La interpolación es dualidad.

Ejemplo 2.4 (Una base dual de $\R^2$, calculada por completo)

Para la base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$, la base dual $(b_1^*, b_2^*)$ ha de cumplir $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. Escribiendo $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, las condiciones $\alpha + \beta = 1$ y $\alpha - \beta = 0$ dan

Comprobaciones de sensatez: $b_1^*$ no es $e_1^* + e_2^*$ evaluado ingenuamente; la base dual depende de la base entera y no de cada vector por separado (al sustituir $b_2$ por $(0, 1)$, $b_1^*$ pasa a ser $x \mapsto x$). Y la fórmula de desarrollo funciona: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, la descomposición en parte par e impar de un par; las bases duales son extractores de coordenadas, y esta extrae las partes simétrica y antisimétrica.

Ejemplo 2.9 (La traspuesta, entrada a entrada)

Sea $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ en las bases canónicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calculemos $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sobre la base de $\R^2$:

Luego $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, y en las bases duales la matriz de $u^{\mathsf T}$ es

la traspuesta abstracta es la matriz volteada, sin dejar ningún cálculo a la fe. Obsérvese el mecanismo: la columna $j$-ésima de $A$ pasó a ser la fila $j$-ésima de la nueva matriz porque $\psi \circ u$ lee las salidas de $u$ a través de los coeficientes de $\psi$.