Wat is Duale ruimte, duale basis?

Voorbeeld 2.2

Op $K_n[X]$ met basis $(1, X, \dots, X^n)$ is de duale basis $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (de taylorcoëfficiënten). Een andere basis van de duale ruimte: de evaluaties $P \mapsto P(x_i)$ in $n + 1$ verschillende punten — de bijbehorende “antiduale” basis in $K_n[X]$ is precies de familie van de lagrangeveeltermen $L_i$ (volume van bachelorjaar 1), want $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. Interpolatie is dualiteit.

Voorbeeld 2.4 (Een duale basis van $\R^2$, volledig uitgerekend)

Voor de basis $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ van $\R^2$ moet de duale basis $(b_1^*, b_2^*)$ voldoen aan $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. Met $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$ geven de voorwaarden $\alpha + \beta = 1$ en $\alpha - \beta = 0$

Twee controles. Ten eerste is $b_1^*$ niet de naïeve uitkomst $e_1^* + e_2^*$ — de duale basis hangt van de hele basis af, niet van elke vector afzonderlijk (vervang $b_2$ door $(0, 1)$ en $b_1^*$ wordt $x \mapsto x$). Ten tweede klopt de ontwikkelingsformule: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, de ontbinding van een paar in een even en een oneven deel — duale basissen zijn coördinaatlezers, en deze leest het symmetrische en het antisymmetrische deel af.

Voorbeeld 2.9 (De getransponeerde, term voor term)

Zij $u \colon \R^2 \to \R^3$ met matrix $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ in de canonieke basissen. Bereken voor $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ de vorm $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ op de basis van $\R^2$:

Dus $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, en in de duale basissen is de matrix van $u^{\mathsf T}$

de abstracte getransponeerde is de gekantelde matrix, en er blijft niets over dat op goed vertrouwen moet worden aangenomen. Let op het mechanisme: de $j$-de kolom van $A$ werd de $j$-de rij van de nieuwe matrix, omdat $\psi \circ u$ de uitvoer van $u$ door de coëfficiënten van $\psi$ heen leest.