O que é Espaço dual, base dual?

Exemplo 2.2

Em $K_n[X]$ com a base $(1, X, \dots, X^n)$: a base dual é $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coeficientes de Taylor). Outra base do dual: as avaliações $P \mapsto P(x_i)$ em $n + 1$ pontos distintos — sua base “pré-dual” em $K_n[X]$ é exatamente a família dos polinômios de Lagrange $L_i$ (volume do primeiro ano de graduação), pois $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. A interpolação é dualidade.

Exemplo 2.4 (Uma base dual de $\R^2$, inteiramente calculada)

Para a base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$: a base dual $(b_1^*, b_2^*)$ deve satisfazer $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. Escrevendo $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, as condições $\alpha + \beta = 1$ e $\alpha - \beta = 0$ dão

Verificações de bom senso: $b_1^*$ não é $e_1^* + e_2^*$ avaliado ingenuamente — a base dual depende da base inteira, e não de cada vetor separadamente (substituir $b_2$ por $(0, 1)$ transforma $b_1^*$ em $x \mapsto x$). E a fórmula de desenvolvimento funciona: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, a decomposição par/ímpar de um par — as bases duais são extratoras de coordenadas, e esta extrai as partes simétrica e antissimétrica.

Exemplo 2.9 (A transposta, entrada por entrada)

Seja $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ nas bases canônicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calcule $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ na base de $\R^2$:

Logo $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ e, nas bases duais, a matriz de $u^{\mathsf T}$ é

a transposta abstrata é a matriz virada, sem nenhum cálculo que reste a aceitar por fé. Note o mecanismo: a $j$-ésima coluna de $A$ tornou-se a $j$-ésima linha da nova matriz porque $\psi \circ u$ lê as saídas de $u$ através dos coeficientes de $\psi$.