Qu'est-ce que « Espace dual, base duale » ?

Exemple 2.2

Sur $K_n[X]$ avec la base $(1, X, \dots, X^n)$ : la base duale est $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coefficients de Taylor). Une autre base du dual : les évaluations $P \mapsto P(x_i)$ en $n + 1$ points distincts — sa base « préduale » dans $K_n[X]$ est exactement la famille des polynômes de Lagrange $L_i$ (volume de première année), puisque $L_i(x_j) = \delta_{ij}$. L’interpolation est la dualité.

Exemple 2.4 (Une base duale de $\R^2$, entièrement calculée)

Pour la base $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$ : la base duale $(b_1^*, b_2^*)$ doit vérifier $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$. En écrivant $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$, les conditions $\alpha + \beta = 1$ et $\alpha - \beta = 0$ donnent

Vérifications de bon sens : $b_1^*$ n’est pas $e_1^* + e_2^*$ évalué naïvement — la base duale dépend de la base entière, pas de chaque vecteur séparément (remplacer $b_2$ par $(0, 1)$ change $b_1^*$ en $x \mapsto x$). Et la formule de décomposition marche : $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, la décomposition paire/impaire d’un couple — les bases duales sont des extracteurs de coordonnées, et celle-ci extrait les parties symétrique et antisymétrique.

Exemple 2.9 (La transposée, coefficient par coefficient)

Soit $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matrice $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ dans les bases canoniques. Pour $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, calculons $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ sur la base de $\R^2$ :

Ainsi $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, et dans les bases duales la matrice de $u^{\mathsf T}$ est

la transposée abstraite est la matrice retournée, sans aucun calcul à croire sur parole. Notons le mécanisme : la $j$-ème colonne de $A$ est devenue la $j$-ème ligne de la nouvelle matrice parce que $\psi \circ u$ lit les sorties de $u$ à travers les coefficients de $\psi$.