द्वैत समष्टि, द्वैत आधार क्या है?

उदाहरण 2.2

आधार $(1, X, \dots, X^n)$ वाले $K_n[X]$ पर: द्वैत आधार $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ है (टेलर गुणांक)। द्वैत का एक और आधार: $n + 1$ भिन्न बिंदुओं पर मूल्यांकन $P \mapsto P(x_i)$ — $K_n[X]$ में उसका “पूर्व-द्वैत” आधार ठीक लाग्रांज बहुपदों $L_i$ का कुल है (प्रथम वर्ष का खंड), क्योंकि $L_i(x_j) = \delta_{ij}$। अंतर्वेशन ही द्वैतता है।

उदाहरण 2.4 ($\R^2$ का एक द्वैत आधार, पूरा परिकलित)

$\R^2$ के आधार $b_1 = (1, 1)$, $b_2 = (1, -1)$ के लिए: द्वैत आधार $(b_1^*, b_2^*)$ को $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$ पूरा करना चाहिए। $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$ लिखने पर शर्तें $\alpha + \beta = 1$ और $\alpha - \beta = 0$ देती हैं

जाँच के दो बिंदु: $b_1^*$ वह नहीं है जो $e_1^* + e_2^*$ का भोलेपन से मूल्यांकन करने पर मिले — द्वैत आधार पूरे आधार पर निर्भर करता है, अलग-अलग सदिशों पर नहीं ($b_2$ के स्थान पर $(0, 1)$ रखने से $b_1^*$ बदलकर $x \mapsto x$ हो जाता है)। और प्रसार सूत्र काम करता है: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$, जो किसी युग्म का सम/विषम अपघटन है — द्वैत आधार निर्देशांक निकालने के यंत्र हैं, और यह वाला सममित तथा प्रतिसममित भाग निकालता है।

उदाहरण 2.9 (परिवर्त, प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि)

मान लीजिए $u \colon \R^2 \to \R^3$ का विहित आधारों में आव्यूह $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ है। $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ के लिए $\R^2$ के आधार पर $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ परिकलित कीजिए:

अतः $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, और द्वैत आधारों में $u^{\mathsf T}$ का आव्यूह

है: अर्थात् अमूर्त परिवर्त ही पलटा हुआ आव्यूह है, और कुछ भी विश्वास के भरोसे नहीं छूटता। कार्यविधि पर ध्यान दीजिए: $A$ का $j$-वाँ स्तंभ नए आव्यूह की $j$-वीं पंक्ति इसलिए बना कि $\psi \circ u$ $u$ के निर्गमों को $\psi$ के गुणांकों से होकर पढ़ता है।