¿Qué es Operaciones con conjuntos?

Ejemplo 1.17 (Familiarizarse con el conjunto de las partes)

Para $E = \{a, b\}$:

cuatro elementos — y obsérvese la disciplina de tipos: $a \in E$, pero $\{a\} \in \mathcal P(E)$; los enunciados $a \in \mathcal P(E)$ y $\{a\} \subseteq \mathcal P(E)$ son ambos falsos tal como están escritos (el segundo exigiría que $a$ fuese un subconjunto de $E$). Iterando desde la nada: $\mathcal P(\emptyset) = \{\emptyset\}$ tiene un elemento, $\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)) = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ tiene dos, el siguiente tiene cuatro — los conjuntos de conjuntos son conjuntos ordinarios, y el Capítulo 2 confirmará la duplicación: $\abs{\mathcal P(E)} = 2^{\abs E}$. Mantener claros los niveles ($x$, $\{x\}$, $\{\{x\}\}$) es la mitad del trabajo en ejercicios como los Ejercicios 1.11 y 1.12.

Ejemplo 1.27 (El punto (2) no se puede mejorar)

En la Proposición 1.26 (2) no se pueden reforzar las conclusiones: que $g \circ f$ sea biyectiva no obliga a que $f$ sea sobreyectiva ni a que $g$ sea inyectiva. Tómese $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, con $f(1) = 1$ y $g(1) = g(2) = 1$: entonces $g \circ f = \mathrm{id}_E$ es biyectiva, pero $f$ no alcanza el elemento $2$ y $g$ colapsa los dos elementos. La moraleja es una regla de contabilidad precisa: la información sobre la composición pasa a la aplicación interior para la inyectividad y a la exterior para la sobreyectividad, nunca al revés. (El Ejercicio 1.9 construye el mismo fenómeno con conjuntos infinitos, donde es el motor de las inversas laterales.)

Ejemplo 1.32

En $\Z$, la congruencia módulo $n$ ($x \equiv y \pmod n$ cuando $n$ divide a $x - y$) es una relación de equivalencia; sus clases son los $n$ conjuntos de enteros con un resto dado en la división por $n$. Este ejemplo se convierte en el anillo $\Z/n\Z$ en el Capítulo 7.