Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

17Series de Laurent y teorema de los residuos

¿Qué le ocurre a una función holomorfa cerca de un punto donde no está definida? La respuesta es una tricotomía completa — punto evitable, polo o singularidad esencial — que se lee en una serie de potencias con dos colas, el desarrollo de Laurent. Un coeficiente de ese desarrollo, el residuo, controla toda integral de contorno alrededor de la singularidad: el teorema de los residuos convierte integrales definidas difíciles en álgebra finita, cuenta ceros de funciones (principio del argumento, Rouché) y demuestra el teorema de la aplicación abierta. Primero mejoramos el teorema de Cauchy, pasando de los dominios estrellados a su forma definitiva, sin homología — el elegante argumento de Dixon —, de modo que queden disponibles todos los contornos de índice nulo respecto del complementario.

17.1 El teorema global de Cauchy

Un ciclo $\Gamma$ es una suma formal finita de caminos cerrados $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ ; las integrales y los índices a lo largo de $\Gamma$ son las sumas correspondientes, y $\operatorname{im}\Gamma = \bigcup\operatorname{im}\gamma_j$ .

Teorema 17.1 (Cauchy, forma global)

Sean $\Omega \subseteq \C$ abierto, $f \in \mathcal H(\Omega)$ y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega$ tal que

\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0 \qquad\text{para todo } w \notin \Omega .

Entonces, para todo $z \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ ,

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\,\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(z)\,f(z), \qquad\text{y}\qquad \int_\Gamma f(w)\,\dd w = 0 .

Demostración (Dixon). Defínase $g \colon \Omega\times\Omega \to \C$ mediante

g(z, w) = \begin{cases} \dfrac{f(w) - f(z)}{w - z} & w \neq z,\\[4pt] f'(z) & w = z . \end{cases}

$g$ es continua: fuera de la diagonal, es claro. Cerca de un punto diagonal $(a, a)$ , desarróllese $f$ en serie de potencias en $a$ (el Teorema 16.10): $f(w) - f(z) = \sum_{n\geq1}c_n\bigl((w-a)^n - (z-a)^n\bigr)$ , y dividiendo cada término por $w - z$ (factorización de $u^n - v^n$ ) se obtiene, para $z, w \in D(a, r)$ ,

g(z, w) = \sum_{n\geq1}c_n\sum_{j=0}^{n-1}(w-a)^{\,j}(z-a)^{\,n-1-j},

válido también en la diagonal (cada suma interior se convierte en $n(z-a)^{n-1}$ , que suma $f'(z)$ ). Para $r$ pequeño, la serie converge uniformemente en $D(a,r)^2$ ( $\abs{\text{término}} \leq n\abs{c_n}r^{n-1}$ , sumable dentro del radio): la suma es continua.

Póngase $h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma g(z, w)\,\dd w$ en $\Omega$ : es continua (continuidad uniforme de $g$ en los compactos) y holomorfa — por Morera (el criterio del Teorema 16.15): para un triángulo $T \subseteq \Omega$ , Fubini da $\int_{\partial T}h = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\bigl(\int_{\partial T}g(z, w)\dd z\bigr)\dd w = 0$ , y la integral interior se anula porque $z \mapsto g(z, w)$ es holomorfa en $\Omega$ (en $z = w$ la singularidad es evitable: $g$ es continua allí y holomorfa en el resto — el argumento de extensión de la demostración del Teorema 16.9).

En el abierto $\Omega' = \{z \notin \operatorname{im}\Gamma : \operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 0\}$ , defínase $h_1(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}\dd w$ : holomorfa en $\Omega'$ (Morera o derivación bajo la integral). Para $z \in \Omega\cap\Omega'$ :

h(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w-z}\dd w - f(z)\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = h_1(z) .

Por hipótesis, $\Omega\cup\Omega' = \C$ ( $w \notin \Omega \Rightarrow \operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ ), de modo que $h$ y $h_1$ se pegan en una función entera $H$ . Como la componente no acotada del complementario de $\operatorname{im}\Gamma$ está contenida en $\Omega'$ y $h_1(z) \to 0$ cuando $\abs z \to \infty$ (cota ML), $H$ es acotada y tiende a $0$ : Liouville (el Corolario 16.12) da $H \equiv 0$ . Así, $h \equiv 0$ en $\Omega$ , que es la fórmula integral. Aplicándola, para $a \in \Omega\setminus\operatorname{im}\Gamma$ fijo, a $\tilde f(w) = (w - a)f(w)$ en $z = a$ :

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma f(w)\dd w = \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma \frac{\tilde f(w)}{w - a}\dd w = \operatorname{Ind}_\Gamma(a)\,\tilde f(a) = 0 .

∎

17.2 Series de Laurent y singularidades aisladas

Teorema 17.2 (Desarrollo de Laurent)

Sea $f$ holomorfa en la corona $A = \{r < \abs{z - a} < R\}$ ( $0 \leq r < R \leq \infty$ ). Entonces

f(z) = \sum_{n\in\Z}c_n\,(z - a)^n \qquad\text{en } A, \qquad c_n = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_\rho}\frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}}\,\dd w

para cualquier $r < \rho < R$ (con independencia de $\rho$ ), y las dos semiseries convergen normalmente en las subcoronas compactas. El desarrollo es único.

Demostración. Fíjese $r < \rho_1 < \abs{z - a} < \rho_2 < R$ y sea $\Gamma = C_{\rho_2} - C_{\rho_1}$ (la exterior en sentido positivo, la interior en sentido negativo): un ciclo en $A$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin A$ (puntos interiores al disco pequeño: $1 - 1 = 0$ ; exteriores al grande: $0 - 0$ ). Por el Teorema 17.1, $\operatorname{Ind}_\Gamma(z) = 1 - 0 = 1$ da

f(z) = \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_2}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w - \frac1{2\iu\pi}\int_{C_{\rho_1}}\frac{f(w)}{w - z}\dd w .

Desarróllese el primer núcleo como en el Teorema 16.10 (potencias de $\frac{z - a}{w - a}$ , de módulo $< 1$ ): la parte de índices no negativos $\sum_{n\geq0}c_n(z-a)^n$ . En el segundo, desarróllese al revés: $\frac{-1}{w - z} = \frac1{(z-a)(1 - \frac{w - a}{z - a})} = \sum_{m\geq0}\frac{(w-a)^m}{(z - a)^{m+1}}$ , normalmente convergente en $C_{\rho_1}$ : la parte negativa $\sum_{n\leq-1}c_n(z-a)^n$ con los coeficientes enunciados (índice $n = -m-1$ ). Independencia de $\rho$ : las integrales de los coeficientes sobre $C_{\rho}$ y $C_{\rho'}$ difieren en $\int_\Gamma$ sobre un ciclo de índice nulo de la holomorfa $\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}$ en $A$ : cero, de nuevo por el Teorema 17.1. Unicidad: intégrese $\sum c_n(z-a)^n$ contra $(z - a)^{-m-1}$ sobre $C_\rho$ término a término (convergencia normal): solo sobrevive $n = m$ . ∎

Definición 17.3

Si $f$ es holomorfa en un disco punteado $D(a, R)\setminus \{a\}$ , desarróllese por Laurent ( $r = 0$ ). Tres casos excluyentes:

todos los $c_n = 0$ para $n < 0$ : singularidad evitable (la serie de índices no negativos extiende $f$ holomorfamente a $a$ );
$c_n \neq 0$ para un número finito, al menos uno, de $n < 0$ : un polo de orden $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente, $f = g/(z-a)^m$ , $g$ holomorfa, $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente, $\abs{f(z)} \to \infty$ cuando $z\to a$ ;
infinitos $c_n \neq 0$ negativos: singularidad esencial.

El residuo es $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Una función holomorfa en $\Omega$ menos un conjunto de polos es meromorfa en $\Omega$ .

Teorema 17.4 (Riemann; Casorati–Weierstrass)

Sea $f$ holomorfa en $D(a,R)\setminus\{a\}$ .

(Riemann) Si $f$ está acotada cerca de $a$ , la singularidad es evitable.
(Casorati–Weierstrass) Si $a$ es esencial, entonces $f\bigl(D(a,\varepsilon)\setminus\{a\}\bigr)$ es denso en $\C$ para todo $\varepsilon$ .

Demostración. (1) Para $n < 0$ y $\rho \to 0$ : $\abs{c_n} \leq M\rho^{-n-1}\cdot\rho\cdot\rho^{-\,n}\dots$ por ML en $C_\rho$ : $\abs{c_n} \leq \frac{1}{2\pi}\,2\pi\rho\cdot M\rho^{-(n+1)} = M\rho^{-n} \to 0$ (cuando $-n > 0$ ): todos los coeficientes negativos se anulan. (2) Si algún valor $b$ no fuera aproximado: $\abs{f - b} \geq \delta$ cerca de $a$ , de modo que $g = 1/(f - b)$ es holomorfa y acotada cerca de $a$ : evitable por (1), y $g$ se extiende con valor $c$ . Si $c \neq 0$ , $f = b + 1/g$ está acotada cerca de $a$ : evitable — excluido. Si $c = 0$ , $g$ tiene un cero de orden finito $m$ en $a$ (el Teorema 16.13; $g \not\equiv 0$ ), y $f = b + 1/g$ tiene un polo de orden $m$ : excluido también. ∎

17.3 El teorema de los residuos

Teorema 17.5 (Teorema de los residuos)

Sean $\Omega$ abierto, $S \subseteq \Omega$ finito, $f \in \mathcal H(\Omega\setminus S)$ y $\Gamma$ un ciclo en $\Omega\setminus S$ con $\operatorname{Ind}_\Gamma(w) = 0$ para todo $w \notin \Omega$ . Entonces

\frac{1}{2\iu\pi}\int_\Gamma f(z)\,\dd z = \sum_{a\in S}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)\, \operatorname{Res}(f, a) .

Demostración. Para cada $a \in S$ , sea $P_a(z) = \sum_{n\leq-1}c_n^{(a)}(z - a)^n$ la parte principal de $f$ en $a$ : una serie convergente en $\C\setminus\{a\}$ (su radio en $1/(z-a)$ es infinito: la cola de Laurent converge para todo $\abs{z-a}$ pequeño y, siendo una serie de potencias en $(z-a)^{-1}$ , converge en todas partes), holomorfa allí. Entonces $g = f - \sum_{a\in S}P_a$ tiene singularidades evitables en cada punto de $S$ (su desarrollo de Laurent en $a$ no tiene parte negativa: las demás $P_{a'}$ son holomorfas en $a$ ), de modo que $g$ se extiende holomorfamente a $\Omega$ , y el Teorema 17.1 da $\int_\Gamma g = 0$ . Queda integrar cada $P_a$ : término a término (convergencia normal en el compacto $\operatorname{im}\Gamma$ , que evita $a$ ),

\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma(z - a)^n\,\dd z = 0 \ (n \leq -2: \text{primitiva } \tfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}), \qquad \frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma\frac{\dd z}{z - a} = \operatorname{Ind}_\Gamma(a),

de modo que $\frac1{2\iu\pi}\int_\Gamma P_a = c_{-1}^{(a)}\operatorname{Ind}_\Gamma(a)$ . Súmese sobre $a$ . ∎

Método 17.6 (Cálculo de residuos)

Polo simple: $\operatorname{Res}(f, a) = \lim_{z\to a}(z - a)f(z)$ ; para $f = g/h$ con $g(a) \neq 0$ , $h(a) = 0$ , $h'(a) \neq 0$ : $\operatorname{Res} = g(a)/h'(a)$ . Polo de orden $m$ : $\operatorname{Res}(f, a) = \frac1{(m-1)!}\lim_{z\to a}\bigl((z-a)^mf(z)\bigr)^{(m-1)}$ . Singularidades esenciales: desarróllese y léase $c_{-1}$ (por ejemplo, a partir de series conocidas). Verifíquese siempre qué polos rodea realmente el contorno, y con qué índice.

Ejemplo 17.7 (Los cuatro tipos clásicos de integral)

(a) Racional sobre $\R$ : para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , ciérrese con una semicircunferencia grande $S_R$ en el semiplano superior: allí el integrando es $O(R^{-4})$ , de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), y el teorema de los residuos con los polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, residuos $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ en un polo) da

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) Tipo Fourier: para $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — la semicircunferencia superior funciona porque allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ; tomando partes reales: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , lo que salda la fórmula admitida en el Ejercicio 10.10. (c) Trigonométrica sobre un periodo: sustitúyase $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) se convierte en un recuento de residuos dentro de la circunferencia unidad (Ejercicio 17.2). (d) Series: emparéjese $f$ con $\pi\cot(\pi z)$ , cuyos polos son los enteros con residuo $1$ : el problema de fin de semana suma así $\sum n^{-2}$ y $\sum n^{-4}$ .

El contorno semicircular para ∈t_ℝ x/1 + x4: cuando R ∈fty, el arco aporta O(R-3), y el teorema de los residuos cuenta los dos polos encerrados (en azul). Los dos polos inferiores (en gris) quedan fuera: índice 0. — El contorno semicircular para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ : cuando $R \to \infty$ , el arco aporta $O(R^{-3})$ , y el teorema de los residuos cuenta los dos polos encerrados (en azul). Los dos polos inferiores (en gris) quedan fuera: índice $0$ .

17.4 El principio del argumento y el teorema de Rouché

Teorema 17.8 (Principio del argumento)

Sea $f$ meromorfa en $\Omega$ , con ceros $z_j$ (de órdenes $m_j$ ) y polos $p_k$ (de órdenes $\mu_k$ ), y sea $\gamma$ un camino cerrado en $\Omega$ que los evita todos, con $\operatorname{Ind}_\gamma = 0$ fuera de $\Omega$ . Entonces

\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\,\dd z = \sum_j m_j\operatorname{Ind}_\gamma(z_j) - \sum_k \mu_k\operatorname{Ind}_\gamma(p_k)

(solo un número finito de términos es no nulo). Para un contorno simple recorrido en sentido positivo, la integral cuenta los ceros menos los polos interiores, con multiplicidad — y es igual al índice del camino imagen $f\circ\gamma$ alrededor de $0$ .

Demostración. Cerca de un cero de orden $m$ : $f = (z-a)^mg$ , $g(a) \neq 0$ , de modo que $\frac{f'}f = \frac m{z - a} + \frac{g'}g$ con el segundo término holomorfo cerca de $a$ : un polo simple de residuo $m$ . Cerca de un polo de orden $\mu$ : $f = (z-a)^{-\mu}g$ da residuo $-\mu$ . En el resto, $\frac{f'}f$ es holomorfa. (Los ceros y polos de índice no nulo están en una región compacta rodeada por $\gamma$ ; por el principio de identidad son allí finitos en número, $f \not\equiv 0$ .) Aplíquese el Teorema 17.5. La última observación: $\frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{f'}f = \frac1{2\iu\pi}\int_{f\circ\gamma}\frac{\dd w}w = \operatorname{Ind}_{f\circ\gamma}(0)$ (sustitúyase $w = f(\gamma(t))$ ). ∎

Teorema 17.9 (Rouché)

Sean $f, g$ holomorfas en $\Omega$ y $\gamma$ un camino cerrado con $\operatorname{Ind}_\gamma \in \{0,1\}$ , nulo fuera de $\Omega$ (un contorno simple). Si

\abs{g(z)} < \abs{f(z)} \qquad \text{en } \operatorname{im}\gamma,

entonces $f$ y $f + g$ tienen el mismo número de ceros (con multiplicidad) en la región $\{\operatorname{Ind}_\gamma = 1\}$ .

Demostración. Para $t \in \intcc01$ , $f_t = f + tg$ no tiene ningún cero en $\operatorname{im}\gamma$ ( $\abs{f_t} \geq \abs f - \abs g > 0$ ), de modo que

N(t) = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma \frac{f_t'(z)}{f_t(z)}\,\dd z

está bien definida; cuenta los ceros en la región encerrada (el Teorema 17.8; sin polos). $N$ es continua en $t$ (el integrando es continuo conjuntamente y los denominadores están uniformemente acotados inferiormente — convergencia dominada) y toma valores enteros: constante. $N(0) = N(1)$ . ∎

Corolario 17.10 (Teorema de la aplicación abierta)

Una función holomorfa no constante en un abierto conexo es una aplicación abierta. En particular (una vez más) vale el principio del máximo, y una biyección holomorfa tiene inversa holomorfa.

Demostración. Sea $f(a) = b$ ; $f - b$ tiene un cero de cierto orden finito $m \geq 1$ en $a$ (principio de identidad: $f \not\equiv b$ ). Elíjase $r$ con $f - b$ sin ceros en $\bar D(a, r)\setminus\{a\}$ (ceros aislados) y sea $\delta = \min_{\abs{z - a} = r}\abs{f(z) - b} > 0$ . Para $\abs{w - b} < \delta$ : en la circunferencia, $\abs{(b - w)} < \delta \leq \abs{f - b}$ , de modo que Rouché ( $f - b$ frente a la constante $b - w$ ) dice que $f - w$ tiene exactamente $m$ ceros en $D(a, r)$ : todo tal $w$ se alcanza — $f(D(a,r)) \supseteq D(b, \delta)$ : abierta. Principio del máximo: un máximo interior de $\abs f$ es imposible para $f$ no constante, pues su imagen alrededor de $f(a)$ contiene puntos de módulo mayor. Inversa: una biyección holomorfa $f$ es abierta, de modo que $f^{-1}$ es continua; el cero de $f - f(a)$ en $a$ es simple ( $m \geq 2$ daría $m$ preimágenes de los valores próximos — distintas, pues $f'$ solo se anula en puntos aislados, de modo que cerca de $a$ los $m$ ceros de $f - w$ son simples y distintos para $w$ pequeño genérico: contradicción con la inyectividad); entonces $f'(a) \neq 0$ y el cociente incremental de $f^{-1}$ converge: $\bigl(f^{-1}\bigr)'(b) = 1/f'(a)$ . ∎

17.5 Ejercicios

Ejercicio 17.1 ★

Clasifíquese la singularidad en $0$ y calcúlese el residuo:

\frac{\sin z}{z},\qquad \frac{\eu^z - 1}{z^2},\qquad \frac{1}{z(z-1)^2},\qquad \frac{\cos z}{z^3},\qquad \eu^{1/z},\qquad \frac1{\sin z} .

Dese además el residuo de la tercera en $z = 1$ y el de la última en $z = \pi$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.1.

$\frac{\sin z}z = 1 - \frac{z^2}6 + \cdots$ : evitable, residuo $0$ . $\frac{\eu^z - 1}{z^2} = \frac1z + \frac12 + \frac z6 + \cdots$ : polo simple, residuo $1$ . $\frac1{z(z-1)^2}$ : polo simple en $0$ con residuo $\frac1{(0-1)^2} = 1$ ; polo doble en $1$ con residuo $\frac{\dd}{\dd z}\bigl(\frac1z\bigr)\big|_{z=1} = -1$ . $\frac{\cos z}{z^3} = \frac1{z^3} - \frac1{2z} + \cdots$ : polo de orden $3$ , residuo $-\frac12$ . $\eu^{1/z} = \sum_{n\geq0} \frac{z^{-n}}{n!}$ : esencial, residuo $1$ . $\frac1{\sin z}$ : polos simples en $n\pi$ ; residuo $\frac1{\cos 0} = 1$ en $0$ , $\frac1{\cos\pi} = -1$ en $\pi$ (Método 17.6, $g/h'$ ).

Ejercicio 17.2 ★

Para $a > 1$ calcúlese, vía $z = \eu^{\iu t}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}} .

Compruébense los comportamientos límite $a \to 1^+$ y $a \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.2.

Con $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ :

\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t} = \oint_{\abs z = 1}\frac{2\,\dd z}{\iu\,(z^2 + 2az + 1)} .

Las raíces $z_\pm = -a \pm \sqrt{a^2 - 1}$ cumplen $z_+z_- = 1$ con $\abs{z_+} < 1 < \abs{z_-}$ ; el residuo en $z_+$ es $\frac{1}{z_+ - z_-} = \frac1{2\sqrt{a^2-1}}$ , de modo que la integral vale $\frac2\iu\cdot2\iu\pi\cdot\frac1{2\sqrt{a^2-1}} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ . Cuando $a \to 1^+$ , explota (el integrando tiene un pico en $t = \pi$ ); cuando $a \to \infty$ , se comporta como $\frac{2\pi}a$ , en consonancia con $\int\frac{\dd t}a$ .

Ejercicio 17.3 ★★

Calcúlense con contornos semicirculares, justificando las estimaciones sobre los arcos:

\int_\R\frac{x^2}{1 + x^6}\,\dd x = \frac\pi3, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1 + x^2)^{2}} = \frac\pi2 \quad\text{(recuperando el \text{Ejercicio 14.3})}.

Solución

Solución de Ejercicio 17.3.

Primera integral: polos superiores de $\frac{z^2}{1+z^6}$ en $p = \eu^{\iu\pi/6}, \iu, \eu^{5\iu\pi/6}$ ; en cada uno, $\operatorname{Res} = \frac{p^2}{6p^5} = \frac{p^3}{6p^6} = -\frac{p^3}6$ , y $p^3$ toma los valores $\iu, -\iu, \iu$ : suma de residuos $-\frac{\iu}{6}$ . El arco es $O(R^{-4})\cdot O(R) \to 0$ :

\int_\R\frac{x^2\,\dd x}{1 + x^6} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac \iu6\Bigr) = \frac\pi3 .

Segunda: polo doble en $\iu$ de $\frac1{(1+z^2)^2} = \frac1{(z-\iu)^2(z+\iu)^2}$ :

\operatorname{Res} = \frac{\dd}{\dd z}\,(z + \iu)^{-2}\Big|_{z=\iu} = \frac{-2}{(2\iu)^3} = \frac{-2}{-8\iu} = -\frac\iu4, \qquad \int_\R\frac{\dd x}{(1+x^2)^2} = 2\iu\pi\cdot\Bigl(-\frac\iu4\Bigr) = \frac\pi2 ,

en consonancia con el Ejercicio 14.3(b).

Ejercicio 17.4 ★★

Demuéstrese, para $t \geq 0$ y $a > 0$ :

\int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2 + a^2}\,\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at},

y dedúzcase por inversión la transformada de Fourier de $x \mapsto \eu^{-a\abs x}$ — comparando con Ejercicio 14.1.

Solución

Solución de Ejercicio 17.4.

Ciérrese $\frac{\eu^{\iu tz}}{z^2 + a^2}$ en el semiplano superior ( $t \geq 0$ ): allí $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ , de modo que el arco aporta $O(R^{-2})\cdot O(R) \to 0$ . El único polo encerrado $\iu a$ es simple con residuo $\frac{\eu^{-at}}{2\iu a}$ :

\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{x^2 + a^2}\dd x = \frac{\pi}{a}\,\eu^{-at}, \qquad\text{luego}\qquad \int_\R\frac{\cos(tx)}{x^2+a^2}\dd x = \frac\pi a\,\eu^{-a\abs t}

(parte real; par en $t$ ). Esta es la contrapartida por inversión de $\widehat{\eu^{-a\abs x}} = \frac{2a}{a^2+\xi^2}$ (el Ejercicio 14.1): los dos cálculos se confirman mutuamente a través de Teorema 14.5.

Ejercicio 17.5 ★★

Desarróllese $f(z) = \dfrac1{(z-1)(z-2)}$ en serie de Laurent en cada una de las tres regiones $\abs z < 1$ , $1 < \abs z < 2$ , $\abs z > 2$ . ¿Por qué difieren los tres desarrollos? Explíquese por qué el coeficiente de $z^{-1}$ en el segundo y el tercer desarrollos no es un residuo de $f$ en $0$ ( $f$ no tiene allí ninguna singularidad), y calcúlense los residuos verdaderos de $f$ , en $1$ y en $2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.5.

Fracciones simples: $f = \frac1{z-2} - \frac1{z-1}$ . En $\abs z < 1$ (Taylor): $f = \sum_{n\geq0}\bigl(1 - 2^{-n-1}\bigr)z^n$ . En $1 < \abs z < 2$ : $\frac1{z-2} = -\sum_{n\geq0}\frac{z^n}{2^{n+1}}$ y $-\frac1{z-1} = -\sum_{n\geq1}z^{-n}$ : una serie genuinamente bilátera. En $\abs z > 2$ : $f = \sum_{n\geq1}\bigl(2^{n-1} - 1\bigr)z^{-n}$ . Los tres difieren porque los desarrollos de Laurent van ligados a coronas, no a puntos: cada región tiene sus propios desarrollos geométricos. Los coeficientes de $z^{-1}$ ( $-1$ y $0$ , respectivamente) son integrales sobre circunferencias que rodean las singularidades interiores, no residuos en $0$ ( $f$ es holomorfa en $0$ ): para $1 < \abs z < 2$ , el coeficiente $-1$ vale $\operatorname{Res}(f, 1)$ ; para $\abs z > 2$ , el coeficiente $0$ vale $\operatorname{Res}(f,1) + \operatorname{Res}(f,2) = -1 + 1$ . Los residuos de $f$ : $-1$ en $1$ y $+1$ en $2$ .

Ejercicio 17.6 ★★

(a) Demuéstrese que $\eu^{1/z}$ tiene una singularidad esencial en $0$ y verifíquese Casorati–Weierstrass a mano: resuélvase $\eu^{1/z} = w$ explícitamente para cualquier $w \neq 0$ , exhibiendo soluciones arbitrariamente próximas a $0$ . (b) Demuéstrese que $\abs{\eu^{1/z}}$ no está acotada en ningún entorno punteado de $0$ y, sin embargo, $\eu^{1/z}$ no tiene ningún polo: ¿qué límite falla?

Solución

Solución de Ejercicio 17.6.

(a) La serie de Laurent $\sum_nz^{-n}/n!$ tiene infinitos términos negativos: esencial. Resolviendo $\eu^{1/z} = w$ ( $w \neq 0$ ): $\frac1z = \log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k$ , de modo que

z_k = \frac1{\log\abs w + \iu\arg w + 2\iu\pi k} \xrightarrow[k\to\infty]{} 0 :

todo valor no nulo se alcanza infinitas veces cerca de $0$ — más fuerte que la densidad. (b) A lo largo de $z = 1/x$ , $x \to +\infty$ : $\eu^x \to \infty$ ; a lo largo de $z = \iu/y$ : módulo $1$ . Un polo exige $\abs{f(z)} \to \infty$ por toda aproximación: aquí el límite sencillamente no existe, ni siquiera en $[0, +\infty]$ .

Ejercicio 17.7 ★★

Cuéntense con Rouché: (a) los ceros de $z^7 - 4z^3 + z - 1$ en $\abs z < 1$ ; (b) los ceros de $z^4 + 5z + 1$ en $\abs z < 1$ y en $1 < \abs z < 2$ ; (c) demuéstrese de nuevo d’Alembert–Gauss: un polinomio mónico de grado $n$ tiene $n$ ceros en cierto disco grande (compárese con $z^n$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 17.7.

(a) En $\abs z = 1$ : $\abs{z^7 + z - 1} \leq 3 < 4 = \abs{-4z^3}$ . Rouché con $f = -4z^3$ , $g = z^7 + z - 1$ : tres ceros en el disco. (b) En $\abs z = 1$ : $\abs{z^4 + 1} \leq 2 < 5 = \abs{5z}$ : un cero en $\abs z < 1$ . En $\abs z = 2$ : $\abs{5z + 1} \leq 11 < 16 = \abs{z^4}$ : cuatro ceros en $\abs z < 2$ . Luego tres ceros en la corona. (c) Para $P = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \dots$ : en $\abs z = R > 1 + \sum\abs{a_k}$ , $\abs{P - z^n} \leq \bigl(\sum\abs{a_k}\bigr)R^{n-1} < R^n = \abs{z^n}$ : $P$ tiene exactamente $n$ ceros en $D(0, R)$ — d’Alembert–Gauss con multiplicidad, por puro recuento.

Ejercicio 17.8 ★★★

(Hurwitz) Sea $f_n \to f$ uniformemente en los compactos, con $f_n \in \mathcal H(\Omega)$ , $\Omega$ conexo, $f \not\equiv 0$ . (a) Demuéstrese que si todas las $f_n$ carecen de ceros, también $f$ . (Si $f(a) = 0$ : principio del argumento en una circunferencia pequeña alrededor de $a$ , y el Teorema 16.15 para pasar al límite en $\int f_n'/f_n$ .) (b) Demuéstrese que si todas las $f_n$ son inyectivas, entonces $f$ es inyectiva o constante. (Aplíquese (a) a $z \mapsto f_n(z) - f_n(w)$ en $\Omega\setminus\{w\}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 17.8.

(a) Supóngase $f(a) = 0$ , $f \not\equiv 0$ : elíjase $r$ con $f$ sin ceros en la circunferencia $C = \partial D(a, r)$ (ceros aislados) y $m = \min_C\abs f > 0$ . Por el Teorema 16.15, $f_n \to f$ y $f_n' \to f'$ uniformemente en $C$ ; para $n$ grande, $\abs{f_n} \geq m/2$ en $C$ , de modo que

\frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f_n'}{f_n} \longrightarrow \frac1{2\iu\pi}\int_C\frac{f'}{f} \geq 1

(el límite cuenta el cero $a$ ; hay convergencia porque los numeradores convergen uniformemente y los denominadores están uniformemente acotados inferiormente). El miembro izquierdo es un entero que cuenta los ceros de $f_n$ en el disco: ha de valer $\geq 1$ a partir de cierto índice — en contradicción con la ausencia de ceros. Luego $f$ carece de ceros.

(b) Fíjese $w \in \Omega$ y aplíquese (a) en el abierto conexo $\Omega\setminus\{w\}$ (quitar un punto de un subconjunto abierto conexo de $\C$ conserva la conexión) a $g_n(z) = f_n(z) - f_n(w)$ , sin ceros allí por inyectividad y convergente a $g = f - f(w)$ . Si $f$ no es constante, $g \not\equiv 0$ en $\Omega\setminus\{w\}$ , de modo que $g$ carece allí de ceros: $f(z) \neq f(w)$ para todo $z \neq w$ . Como $w$ era arbitrario, $f$ es inyectiva.

Ejercicio 17.9 ★★★

Para $n \geq 2$ , intégrese $\frac1{1 + z^n}$ sobre la frontera del sector $\{0 \leq \arg z \leq \frac{2\pi}n,\ \abs z \leq R\}$ y dedúzcase

\int_0^{+\infty}\frac{\dd x}{1 + x^n} = \frac{\pi}{n\,\sin(\pi/n)} .

Verifíquese $n = 2$ frente a $\arctan$ , y el límite $n \to \infty$ .

Solución

Solución de Ejercicio 17.9.

La frontera del sector consta de $[0, R]$ , el arco $A_R$ y la semirrecta $\eu^{2\iu\pi/n}[0, R]$ recorrida al revés. Dentro está el único polo $p = \eu^{\iu\pi/n}$ de $\frac1{1+z^n}$ , con residuo $\frac1{np^{n-1}} = \frac{p}{np^n} = -\frac pn$ . En la semirrecta de vuelta, $z = \eu^{2\iu\pi/n}x$ da $z^n = x^n$ y $\dd z = \eu^{2\iu\pi/n}\dd x$ ; el arco es $O(R^{-n})\cdot O(R) \to 0$ . Por tanto,

\bigl(1 - \eu^{2\iu\pi/n}\bigr) \int_0^\infty\frac{\dd x}{1 + x^n} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/n}}n\Bigr), \quad\text{luego}\quad \int_0^\infty\frac{\dd x}{1+x^n} = \frac{2\iu\pi}{n\,\bigl(\eu^{\iu\pi/n} - \eu^{-\iu\pi/n}\bigr)} = \frac{\pi}{n\sin(\pi/n)} .

$n = 2$ : $\frac\pi{2\sin(\pi/2)} = \frac\pi2 = [\arctan]_0^\infty$ . Cuando $n \to \infty$ : el valor tiende a $1$ , y en efecto el integrando tiende a $\mathbf 1_{\intco01}$ (con dominante $\min(1, x^{-2})$ para $n \geq 2$ en el teorema de convergencia dominada).

Ejercicio 17.10 ★★

Sea $f$ una función racional con $\deg(\text{denominador}) \geq \deg(\text{numerador}) + 2$ . Demuéstrese que la suma de todos los residuos de $f$ es nula (intégrese sobre circunferencias cada vez mayores). Úsese esto para recalcular la descomposición en fracciones simples de $\frac1{z(z-1)(z-2)}$ sin álgebra lineal.

Solución

Solución de Ejercicio 17.10.

En $\abs z = R$ grande, $\abs f \leq C R^{-2}$ : $\abs{\oint_{C_R} f} \leq 2\pi R\cdot CR^{-2} \to 0$ . Pero para $R$ más allá de todos los polos, el teorema de los residuos da $\oint_{C_R}f = 2\iu\pi\sum_{\text{todos }p}\operatorname{Res}(f, p)$ : la suma total se anula. Para $f = \frac1{z(z-1)(z-2)}$ : residuos $\frac1{(-1)(-2)} = \frac12$ en $0$ , $\frac1{1\cdot(-1)} = -1$ en $1$ , $\frac1{2\cdot1} = \frac12$ en $2$ — que suman $0$ , como se predijo, y

\frac1{z(z-1)(z-2)} = \frac{1/2}{z} - \frac1{z - 1} + \frac{1/2}{z-2} :

los residuos son los coeficientes de las fracciones simples, y la identidad de suma nula proporciona gratis una comprobación de consistencia (o determina el último coeficiente a partir de los demás).

Ejercicio 17.11 ★★★

(El ojo de cerradura: la integral de reflexión de Euler) Para $0 < a < 1$ , calcúlese

I(a) = \int_0^{\infty}\frac{x^{a-1}}{1 + x}\,\dd x = \frac{\pi}{\sin(\pi a)}

integrando $f(z) = \frac{z^{a-1}}{1+z} = \frac{\eu^{(a-1)\log z}}{1 + z}$ (logaritmo con corte a lo largo de $\R_+$ , $\arg z \in \intoo0{2\pi}$ ) sobre el contorno de ojo de cerradura: hacia fuera por encima del corte, de $\varepsilon$ a $R$ , alrededor de $C_R$ , de vuelta por debajo del corte y alrededor de $C_\varepsilon$ . Justifíquese: los dos tramos rectos difieren en el factor $\eu^{2\iu\pi(a-1)}$ , las aportaciones de las circunferencias se anulan ( $R^{a-1}\cdot R \to 0$ y $\varepsilon^{a-1}\cdot\varepsilon \to 0$ ) y el único polo $z = -1$ tiene residuo $\eu^{\iu\pi(a - 1)}$ . Dedúzcase también $\Gamma(a)\Gamma(1 - a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ (escríbase $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = B(a, 1-a)$ por el Problema 10.1 y sustitúyase $t = \frac{x}{1+x}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 17.11.

En el ojo de cerradura, con la determinación elegida: justo encima del corte, $\log z = \ln x$ ; justo debajo, $\log z = \ln x + 2\iu\pi$ . Las cuatro piezas dan

\Bigl(1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}\Bigr)\int_\varepsilon^R \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x + \int_{C_R} + \int_{C_\varepsilon} = 2\iu\pi\operatorname{Res}(f, -1) .

Arcos: $\abs{f} \leq \frac{R^{a-1}}{R - 1}$ en $C_R$ , longitud $2\pi R$ : aportación $O(R^{a-1}) \to 0$ ( $a < 1$ ); $\abs f \leq \frac{\varepsilon^{a-1}}{1 - \varepsilon}$ en $C_\varepsilon$ , longitud $2\pi\varepsilon$ : $O(\varepsilon^a) \to 0$ ( $a > 0$ ). Residuo: en $z = -1 = \eu^{\iu\pi}$ , $\operatorname{Res} = \eu^{(a-1)\iu\pi}$ . Por tanto,

I(a) = \frac{2\iu\pi\,\eu^{\iu\pi(a-1)}}{1 - \eu^{2\iu\pi(a-1)}} = \frac{2\iu\pi}{\eu^{-\iu\pi(a-1)} - \eu^{\iu\pi(a-1)}} = \frac{\pi}{-\sin(\pi(a-1))} = \frac{\pi}{\sin\pi a} .

Reflexión de la gamma: $B(a, 1-a) = \int_0^1t^{a-1}(1-t)^{-a}\dd t$ ; la sustitución $t = \frac x{1+x}$ , $1 - t = \frac1{1+x}$ , $\dd t = \frac{\dd x}{(1+x)^2}$ la convierte en $\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{1+x}\dd x = I(a)$ , y la fórmula de Euler $B(a, 1-a) = \Gamma(a)\Gamma(1-a)/\Gamma(1)$ (el Problema 10.1) da $\Gamma(a)\Gamma(1-a) = \frac\pi{\sin\pi a}$ — en particular, $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ una vez más.

Ejercicio 17.12 ★★

(Recuento de ceros con el principio del argumento, numéricamente) Sea $P(z) = z^4 + 8z + 1$ . (a) ¿Cuántos ceros hay en el disco unidad? (Rouché frente a $8z + 1$ .) (b) ¿Cuántos en la corona $1 < \abs z < 3$ ? (Rouché frente a $z^4$ en $\abs z = 3$ .) Afínese: demuéstrese que todo cero tiene módulo $< 2.1$ . (c) ¿Cuántos en el semiplano derecho? (Cuéntense primero en $\abs z = 2$ ; síganse después las imágenes del eje imaginario: $P(\iu t) = t^4 + 1 + 8\iu t$ tiene parte real positiva en todo él, de modo que no hay ceros sobre el eje, y la variación del argumento a lo largo de él es calculable — conclúyase con un semidisco grande.)

Solución

Solución de Ejercicio 17.12.

(a) En $\abs z = 1$ : $\abs{z^4} = 1 < 7 \leq \abs{8z + 1}$ ( $\abs{8z} - 1 = 7$ ): $P$ tiene en $\mathbb D$ tantos ceros como $8z + 1$ , a saber, uno (en $-\frac18$ ).

(b) En $\abs z = 3$ : $\abs{8z + 1} \leq 25 < 81 = \abs{z^4}$ : Rouché frente a $z^4$ sitúa los cuatro ceros en $\abs z < 3$ , luego $4 - 1 = 3$ ceros en la corona $1 < \abs z < 3$ . Afinado: un cero con $\abs z = r \geq 2.1$ cumpliría $r^4 = \abs{8z + 1} \leq 8r + 1$ , pero $r^4 - 8r - 1$ es creciente para $r \geq 2$ y vale $19.45 - 16.8 - 1 = 1.65 > 0$ en $r = 2.1$ : imposible. Los tres ceros exteriores están, pues, en $1 < \abs z < 2.1$ . (Numéricamente: un cero real cerca de $-1.95$ y un par conjugado cerca de $1.04 \pm 1.73\iu$ , de módulo $2.02$ — por eso un intento de Rouché con radio exactamente $2$ ha de fallar: el teorema exige dominación estricta, y los ceros quedan justo fuera.)

(c) Sin ceros en $\iu\R$ : $\operatorname{Re}P(\iu t) = t^4 + 1 \geq 1$ . Ceros en el semiplano derecho: aplíquese el principio del argumento a la frontera del semidisco $\{\abs z \leq R,\ \operatorname{Re}z \geq 0\}$ . En el arco grande, $\arg P \approx \arg z^4$ gira $4\cdot\pi = 2\pi\cdot2$ (el arco abarca un ángulo $\pi$ ). A lo largo del eje imaginario, de $\iu R$ hasta $-\iu R$ : $P(\iu t) = (t^4 + 1) + 8\iu t$ permanece en el semiplano derecho ( $\operatorname{Re} > 0$ ), de modo que $\arg P$ varía dentro de $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ y vuelve con variación neta $\to 0$ cuando $R \to \infty$ (ambos extremos valen $\approx \arg t^4 = 0$ ). Índice total: $\frac{4\pi + 0} {2\pi} = 2$ : dos ceros en el semiplano derecho — en consonancia con la numérica: el par conjugado $\approx 1.04 \pm 1.73\iu$ tiene parte real positiva, y los ceros reales $\approx -0.125$ y $\approx -1.96$ , negativa.

17.6 Problema: $\zeta(2k)$ mediante la cotangente

Problema 17.1

Problema de fin de semana — sumar $\sum n^{-2k}$ con residuos

El teorema de los residuos suma series: emparejar una función racional con $\pi\cot(\pi z)$ , cuyos polos están en los enteros, convierte $\sum_{n}f(n)$ en un recuento de residuos. Demostraremos el método y calcularemos $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ — los valores hallados por series de Fourier en segundo año y por trazas de operadores en el Capítulo 15, ahora por integración de contorno.

Parte I — El núcleo cotangente.

Demostrar que $\pi\cot(\pi z)$ es meromorfa en $\C$ con polos simples exactamente en $z = n \in \Z$ , cada uno de residuo $1$ (calcúlese $\lim_{z\to n}(z-n)\pi\cot\pi z$ ).
Calcular el principio del desarrollo de Laurent en $0$ :

$\pi\cot(\pi z) = \frac1z - \frac{\pi^2}{3}\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 + O(z^5) ,$

dividiendo la serie de potencias de $\cos$ por la de $\sin$ (justifíquese la división: $\frac{\sin\pi z}{\pi z}$ es holomorfa y no nula cerca de $0$ , de modo que su inversa es holomorfa; identifíquense los coeficientes hasta el orden $3$ ).
Sea $C_N$ la frontera del cuadrado de vértices $(\pm1\pm\iu)(N + \frac12)$ . Demostrar que $\abs{\cot(\pi z)} \leq 2$ en $C_N$ para todo $N \geq 1$ . (En los lados verticales, $\cot(\pi(\pm(N + \frac12) + \iu y)) = \mp\tan(\iu\pi y)$ , de módulo $\abs{\tanh(\pi y)} \leq 1$ ; en los horizontales $\abs y = N + \frac12$ , acótese $\abs{\cot(\pi(x\pm\iu y))} \leq \coth(\pi y) \leq \coth(\pi/2) < 1.1$ .)

Parte II — El teorema de sumación.

Sea $f$ racional, holomorfa en los enteros, con $\deg(\text{denom}) \geq \deg(\text{num}) + 2$ . Usando el teorema de los residuos en $C_N$ y la cota de la pregunta 3, demuéstrese:

$\lim_{N\to\infty}\ \sum_{n = -N}^{N} f(n) = -\sum_{p\ \text{polo de}\ f} \operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)f(z),\,p\bigr).$
¿Dónde necesita el argumento la condición sobre los grados? Muéstrese con un ejemplo (tómese $f(z) = 1/(z + \frac12)$ ) que, con decaimiento más lento, el límite simétrico puede existir aunque la serie bilátera diverja — y que la fórmula calcula entonces el valor principal.

Parte III — Los valores.

Aplíquese el método a $f(z) = 1/z^2$ : aquí $f$ tiene su polo en un entero, de modo que hágase el argumento directamente — intégrese $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ sobre $C_N$ , demuéstrese que la integral $\to 0$ y calcúlese $\operatorname{Res}(g, 0)$ a partir de la pregunta 2. Conclúyase:

$2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}{3}, \qquad \zeta(2) = \frac{\pi^2}6 .$
Lo mismo con $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4}$ : calcúlese $\operatorname{Res}(g, 0)$ y dedúzcase $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .
Explíquese el patrón general: para todo $k \geq 1$ , $\zeta(2k)$ es $-\frac12$ veces el coeficiente de $z^{2k-1}$ en el desarrollo de Laurent de $\pi\cot(\pi z)$ en $0$ — un múltiplo racional de $\pi^{2k}$ . Calcúlese $\zeta(6)$ llevando la división de la pregunta 2 un paso más allá. ¿Qué dice el método sobre $\zeta(3)$ — y por qué no dice nada?

Parte IV — El desarrollo en fracciones simples de la cotangente.

Fíjese $w \in \C\setminus\Z$ y aplíquese el método de la Parte II a $f(z) = \dfrac{1}{(z - w)(z + w)}$ — obsérvese que $\pi\cot(\pi z)f(z)$ tiene ahora polos simples adicionales en $\pm w$ , cuyos residuos han de incorporarse al recuento. Dedúzcase el desarrollo en fracciones simples

$\pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},$

convergiendo la serie normalmente en los compactos de $\C\setminus\Z$ .
Recupérense de este desarrollo, desarrollando cada término en potencias de $w$ (justifíquese el intercambio), los mismos coeficientes de Laurent de la pregunta 2 — el círculo se cierra: la fórmula de Euler $\sum\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6$ es el coeficiente de $w$ en las dos caras de la cotangente. Compárese con la demostración por series de Fourier (segundo año) y con la demostración por trazas (el Problema 15.1): tres teorías, un número.

Parte V — El producto de Euler para el seno. El desarrollo de la pregunta 9 es la derivada logarítmica de un producto infinito; demostremos ahora honestamente la factorización de Euler de 1734.

Para $N \geq 1$ , póngase $P_N(z) = z\prod_{n=1}^{N}\bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\bigr)$ . Demuéstrese que $P_N$ converge, uniformemente en cada disco $\bar D(0, R)$ , a una función entera $P$ cuyos ceros son exactamente los enteros, todos simples. (Para $n \geq 2R$ , escríbase el factor como $\exp\log(1 - z^2/n^2)$ con el logaritmo principal del Ejercicio 16.3, acótese $\abs{\log(1+u)} \leq 2\abs u$ para $\abs u \leq \frac12$ mediante la serie y exponénciese la suma normalmente convergente de logaritmos; los factores restantes, en número finito, forman un polinomio. Conclúyase con Teorema 16.15.)
Demuéstrese que en $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{P'(z)}{P(z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} = \pi\cot(\pi z)$

(derívense los productos finitos, pásese al límite usando el Teorema 16.15 y la ausencia de ceros de $P$ fuera de $\Z$ , y cítese la pregunta 9).
Demuéstrese que $Q = \sin(\pi z)/P(z)$ se extiende a una función entera sin ceros con $Q' = 0$ , y conclúyase el producto de Euler:

$\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) \qquad (z \in \C) .$
(Wallis, 1655) Evalúese en $z = \frac12$ :

$\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} .$
Para $\abs z < 1$ , desarróllese el logaritmo del producto como serie doble (justifíquese la reordenación) y recupérese $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ identificando el coeficiente de $z^3$ en $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + \cdots$ — la cara multiplicativa del número de Euler.

Parte VI — Núcleos hermanos. La cotangente tiene parientes; cada uno pone precio a su propia familia de series.

Derívese término a término el desarrollo de la pregunta 9 (justificado por el Teorema 16.15) para obtener, normalmente en los compactos de $\C\setminus\Z$ ,

$\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} .$
Evalúese en $z = \frac12$ : $\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8$ ; y recupérese $\zeta(2)$ una vez más separando los enteros por paridad.
Verifíquese la identidad de duplicación $\tan\theta = \cot\theta - 2\cot(2\theta)$ y dedúzcase

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,$

normalmente en los compactos que evitan $\frac12 + \Z$ .
Desarróllese alrededor de $0$ ( $\abs z < \frac12$ ; Fubini de nuevo): con $\lambda(s) = \sum_{m\geq0}(2m+1)^{-s}$ ,

$\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} ;$

compárese con $\tan u = u + \frac{u^3}3 + O(u^5)$ para recuperar $\lambda(2) = \frac{\pi^2}8$ y obtener $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ , y contrástese después $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ vía $\lambda(4) = (1 - 2^{-4})\,\zeta(4)$ .
Verifíquese $\frac1{\sin\theta} = \cot\frac\theta2 - \cot\theta$ y dedúzcase

$\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .$

Compruébense los signos frente a los residuos de $\pi/\sin(\pi z)$ en los enteros.
Léase el coeficiente de $z$ : $\eta(2) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ , y confírmese la consistencia $\eta(2) = (1 - 2^{1-2})\,\zeta(2)$ .
(Final) Evalúese en $z = \frac12$ el desarrollo de la pregunta 20 y dedúzcase la fórmula de Leibniz

$\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$

Ciérrese con un breve párrafo: un núcleo por aritmética — qué núcleo pone precio a qué familia de series y por qué todos ellos son estructuralmente ciegos a $\zeta(3)$ .

Parte VII — La lista de precios completa: los números de Bernoulli.

Combínese el desarrollo en fracciones simples de $\pi z\cot(\pi z)$ con la función generatriz de los números de Bernoulli ( $\frac{w}{\eu^w - 1} = \sum_n\frac{B_n}{n!}w^n$ , el Problema 16.1, Parte VI): a partir de

$\pi z\cot(\pi z) = \iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1}$

(demuéstrese primero esta identidad), dedúzcase la forma cerrada

$\zeta(2k) = (-1)^{k+1}\, \frac{(2\pi)^{2k}\,B_{2k}}{2\,(2k)!} \qquad (k \geq 1).$
Verifíquese la fórmula frente a $B_2 = \frac16$ , $B_4 = -\frac1{30}$ , $B_6 = \frac1{42}$ : recupérense $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ y $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ , y calcúlese $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ .
(Recursión de Euler) Desarróllense ambos miembros de $\bigl(z\cot z\bigr)' = \cot z - z(1 + \cot^2z)$ — — o elévese al cuadrado directamente la serie de la cotangente — para demostrar

$\Bigl(k + \frac12\Bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k - 2j) \qquad (k \geq 2),$

y compruébese que calcula $\zeta(4)$ a partir de $\zeta(2)$ y $\zeta(6)$ a partir de $\zeta(2), \zeta(4)$ — todos los valores pares de zeta a partir de la única semilla $\frac{\pi^2}6$ , sin ninguna integración nueva.

Solución

Solución de Problema 17.1.

1. $\sin(\pi z)$ tiene ceros simples exactamente en $\Z$ ( $\sin\pi z = 0$ si y solo si $z \in \Z$ , y $(\sin\pi z)' = \pi\cos\pi z \neq 0$ allí), y $\cos(\pi n) \neq 0$ : $\pi\cot(\pi z) = \pi\cos(\pi z)/\sin(\pi z)$ tiene polos simples en $\Z$ con

\operatorname{Res}(\pi\cot\pi z,\ n) = \frac{\pi\cos(\pi n)}{\pi\cos(\pi n)} = 1

(regla de $g/h'$ , el Método 17.6).

2. $\frac{\sin(\pi z)}{\pi z} = 1 - \frac{(\pi z)^2}6 + \frac{(\pi z)^4}{120} - \cdots$ es holomorfa y no nula cerca de $0$ : su inversa es holomorfa (la Definición 16.1: cociente), con serie $1 + \frac{(\pi z)^2}{6} + \frac{7(\pi z)^4}{360} + \cdots$ (identifíquese: coeficientes al estilo $(1 - u)^{-1}$ a partir de $u = \frac{(\pi z)^2}6 - \frac{(\pi z)^4}{120}$ : el coeficiente de $z^4$ es $\frac1{36} - \frac1{120} = \frac{7}{360}$ ). Multiplíquese por $\cos(\pi z) = 1 - \frac{(\pi z)^2}2 + \frac{(\pi z)^4}{24} - \cdots$ y divídase por $z$ :

\pi\cot(\pi z) = \frac1z\Bigl[1 + \pi^2z^2\Bigl(\frac16 - \frac12\Bigr) + \pi^4z^4\Bigl(\frac7{360} - \frac1{12} + \frac1{24}\Bigr)\Bigr] + \cdots = \frac1z - \frac{\pi^2}3\,z - \frac{\pi^4}{45}\,z^3 - \cdots

( $\frac7{360} - \frac{30}{360} + \frac{15}{360} = -\frac8{360} = -\frac1{45}$ ).

3. Lados verticales $z = \pm(N + \frac12) + \iu y$ : por la $\pi$ -periodicidad de $\cot$ , $\cot(\pi z) = \cot(\pm\frac\pi2 + \iu\pi y) = -\tan(\iu\pi y) = -\iu\tanh(\pi y)$ , de módulo $\leq 1$ . Lados horizontales $z = x \pm \iu(N + \frac12)$ : a partir de $\abs{\cot(a + \iu b)}^2 = \frac{\cos^2a + \sinh^2b}{\sin^2a + \sinh^2b} \leq \frac{1 + \sinh^2b}{\sinh^2b} = \coth^2 b$ ,

\abs{\cot(\pi z)} \leq \coth\bigl(\pi(N + \tfrac12)\bigr) \leq \coth(\pi/2) < 1.1 .

Ambas cotas son $\leq 2$ .

4. Aplíquese el Teorema 17.5 a $F(z) = \pi\cot(\pi z)f(z)$ en $C_N$ ( $N$ más allá de todos los polos de $f$ ):

\frac1{2\iu\pi}\oint_{C_N}F = \sum_{n=-N}^{N}f(n) + \sum_p\operatorname{Res}(F, p),

aportando los polos enteros $f(n)$ (pregunta 1; $f$ es allí holomorfa). En $C_N$ : $\abs F \leq 2\pi\cdot C\abs z^{-2} \leq 2\pi C N^{-2}$ , y el perímetro es $8(N + \frac12)$ : la integral es $O(1/N) \to 0$ . Hágase $N \to \infty$ : la fórmula de sumación exhibida.

5. El decaimiento $\abs f = O(\abs z^{-2})$ mató la integral de contorno y hizo converger $\sum\abs{f(n)}$ . Para $f(z) = \frac1{z + \frac12}$ : las sumas simétricas $\sum_{-N}^N\frac1{n + \frac12}$ se telescopan a $0$ (los términos $n$ y $-n - 1$ se cancelan), y el miembro derecho es $-\operatorname{Res}\bigl(\frac{\pi\cot\pi z}{z + \frac12}, -\frac12\bigr) = -\pi\cot(-\frac\pi2) = 0$ : consistente — pero $\sum\abs{f(n)}$ diverge; el método calcula únicamente el límite simétrico (valor principal).

6. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^2}$ : polos en los enteros no nulos con residuos $\frac1{n^2}$ , y en $0$ donde, por la pregunta 2,

g(z) = \frac1{z^3} - \frac{\pi^2}{3z} - \frac{\pi^4}{45}z - \cdots : \qquad \operatorname{Res}(g, 0) = -\frac{\pi^2}3 .

La integral de contorno sobre $C_N$ tiende a $0$ como en la pregunta 4 ( $\abs{g} = O(N^{-2})$ en $C_N$ ). Por tanto, $0 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} - \frac{\pi^2}3$ : $2\zeta(2) = \frac{\pi^2}3$ , $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ .

7. $g(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{z^4} = \frac1{z^5} - \frac{\pi^2}{3z^3} - \frac{\pi^4}{45z} - \cdots$ : residuo en $0$ igual a $-\frac{\pi^4}{45}$ , y $0 = 2\zeta(4) - \frac{\pi^4}{45}$ : $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ .

8. Con $g = \pi\cot(\pi z)/z^{2k}$ : el residuo en $0$ es el coeficiente $a_{2k-1}$ de $z^{2k-1}$ en el desarrollo de $\pi\cot(\pi z)$ , y la anulación del contorno da $2\zeta(2k) + a_{2k-1} = 0$ : $\zeta(2k) = -a_{2k-1}/2$ , a múltiplo racional de $\pi^{2k}$ , pues lo son los coeficientes de la cotangente. Un paso más de división da $a_5 = -\frac{2\pi^6}{945}$ , de donde $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$ . Para $\zeta(3)$ : el núcleo natural $g = \pi\cot(\pi z)/z^3$ produce $\sum_{n\neq0}\frac1{n^3} = 0$ por imparidad — el método demuestra $0 = 0$ y es estructuralmente ciego a los valores impares de zeta (no se conoce ninguna forma cerrada para $\zeta(3)$ ; su irracionalidad, Apéry 1978, exigió ideas completamente distintas).

9. $F(z) = \frac{\pi\cot(\pi z)}{(z - w)(z + w)}$ tiene polos en los enteros (residuos $\frac1{n^2 - w^2}$ , con el signo debido: $f(n) = \frac1{(n-w)(n+w)} = \frac1{n^2 - w^2}$ ) y polos simples en $\pm w$ con residuos $\frac{\pi\cot(\pm\pi w)}{\pm2w} = \frac{\pi\cot(\pi w)}{2w}$ cada uno ( $\cot$ es impar). El argumento de la pregunta 4 ( $\abs f = O(\abs z^{-2})$ ) da

\sum_{n\in\Z}\frac1{n^2 - w^2} + \frac{\pi\cot(\pi w)}{w} = 0, \qquad\text{es decir}\qquad \pi\cot(\pi w) = \frac1w + \sum_{n\geq1}\frac{2w}{w^2 - n^2},

(el término $n = 0$ es $-\frac1{w^2}$ ; reagrúpese $\pm n$ ). Convergencia normal en los compactos de $\C\setminus\Z$ : para $\abs w \leq R$ y $n \geq 2R$ , $\abs{\frac{2w}{w^2 - n^2}} \leq \frac{2R}{n^2 - R^2} \leq \frac{8R}{3n^2}$ .

10. Para $\abs w \leq r < 1$ : $\frac{2w}{w^2 - n^2} = -\frac{2w}{n^2}\cdot\frac1{1 - w^2/n^2} = -2\sum_{k\geq0}\frac{w^{2k+1}}{n^{2k+2}}$ , con $\abs{\text{términos}} \leq 2r^{2k+1}/n^{2k+2}$ , sumable sobre $(n, k)$ : Fubini para series reordena

\pi\cot(\pi w) = \frac1w - 2\sum_{k\geq0}\zeta(2k+2)\,w^{2k+1} .

Identificando con la pregunta 2: $-2\zeta(2) = -\frac{\pi^2}3$ y $-2\zeta(4) = -\frac{\pi^4}{45}$ — los mismos valores. Tres caminos hacia $\frac{\pi^2}6$ : Parseval (series de Fourier), la traza del operador de Green de la cuerda y los dos desarrollos de la cotangente; que una suma sobre frecuencias, una traza de operador y una integral de contorno coincidan no es casual — cada una es una cara de la misma identidad espectral.

11. Fíjese $R \geq 1$ y sea $n_0$ el menor entero $\geq 2R$ . Para $\abs z \leq R$ y $n \geq n_0$ : $\abs{z^2/n^2} \leq \frac14$ , de modo que $1 - z^2/n^2 \in \bar D(1, \frac14)$ , donde el logaritmo principal es holomorfo, y

\Bigl|\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr)\Bigr| \leq \sum_{k\geq1}\frac1k\,\Bigl|\frac{z^2}{n^2}\Bigr|^k \leq \frac{\abs{z^2/n^2}}{1 - \abs{z^2/n^2}} \leq \frac{2R^2}{n^2} :

la suma $S(z) = \sum_{n\geq n_0}\log(1 - z^2/n^2)$ converge normalmente en $\bar D(0, R)$ , con sumas parciales holomorfas $S_N$ y $\abs{S_N} \leq 2R^2\zeta(2)$ uniformemente. Como $\abs{\eu^a - \eu^b} \leq \eu^{\max(\abs a,\abs b)}\abs{a - b}$ (cota del valor medio en el segmento), los productos de cola $\prod_{n_0\leq n\leq N} = \eu^{S_N}$ convergen uniformemente en $\bar D(0, R)$ hacia la función sin ceros $\eu^S$ . Multiplicando por el polinomio fijo $z\prod_{n<n_0}(1 - z^2/n^2)$ : $P_N \to P$ uniformemente en $\bar D(0, R)$ , y el Teorema 16.15 hace $P$ holomorfa allí; siendo $R$ arbitrario, $P$ es entera. En $\bar D(0, R)$ , los ceros de $P$ son los del factor polinómico — los enteros de módulo $\leq R$ , cada uno simple ( $(1 - z/n)(1 + z/n)$ tiene ceros simples distintos y $\eu^S$ no tiene ninguno): el conjunto de ceros de $P$ es $\Z$ , todos simples.

12. Derivación logarítmica del producto finito, fuera de sus ceros:

\frac{P_N'(z)}{P_N(z)} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{-2z/n^2}{1 - z^2/n^2} = \frac1z + \sum_{n=1}^{N}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

En un compacto $K \subseteq \C\setminus\Z$ : $P_N \to P$ y $P_N' \to P'$ uniformemente (el Teorema 16.15), y $\min_K \abs P > 0$ ( $P$ solo se anula en $\Z$ ), de modo que a partir de cierto índice $\abs{P_N} \geq \frac12\min_K\abs P$ y $P_N'/P_N \to P'/P$ uniformemente en $K$ . El miembro central converge a $\frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2} = \pi\cot(\pi z)$ por la pregunta 9: luego $P'/P = \pi\cot(\pi z)$ en $\C\setminus\Z$ .

13. $\sin(\pi z)$ y $P$ son enteras con el mismo conjunto de ceros $\Z$ , todos simples (preguntas 1 y 11). Cerca de $m \in \Z$ , escríbanse $\sin(\pi z) = (z - m)\,\sigma(z)$ y $P(z) = (z - m)\,\psi(z)$ con $\sigma, \psi$ holomorfas y no nulas en $m$ (factorícense las series de potencias): $Q = \sin(\pi z)/P = \sigma/\psi$ se extiende holomorfamente y sin ceros a través de cada entero, y carece de ceros en $\C\setminus\Z$ por ser cociente de funciones sin ceros. Allí,

\frac{Q'}{Q} = \frac{(\sin\pi z)'}{\sin\pi z} - \frac{P'}{P} = \pi\cot(\pi z) - \pi\cot(\pi z) = 0 ,

de modo que la función entera $Q'$ se anula en $\C\setminus\Z$ , luego en todas partes por continuidad: $Q$ es constante. Cuando $z \to 0$ : $\sin(\pi z)/z \to \pi$ y $P(z)/z \to 1$ , de modo que $Q = \pi$ :

\sin(\pi z) = \pi z\prod_{n\geq1} \Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) .

14. En $z = \frac12$ : $1 = \sin\frac\pi2 = \frac\pi2\prod_{n\geq1}\bigl(1 - \frac1{4n^2}\bigr) = \frac\pi2\prod\frac{4n^2-1}{4n^2}$ , de modo que

\frac\pi2 = \prod_{n\geq1}\frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^N \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \lim_{N\to\infty} \frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdots(2N)(2N)} {1\cdot3\cdot3\cdot5\cdots(2N-1)(2N+1)} :

el producto de Wallis, corolario de un renglón de la factorización de Euler.

15. Para $\abs z \leq r < 1$ , todo factor está en $D(1, r^2) \subseteq D(1, 1)$ , de modo que $P(z)/z = \exp\bigl( \sum_{n\geq1}\log(1 - z^2/n^2)\bigr)$ : cada producto parcial es la exponencial de una suma parcial, y ambos miembros pasan al límite por continuidad de $\exp$ . La serie doble

\sum_{n\geq1}\log\Bigl(1 - \frac{z^2}{n^2}\Bigr) = -\sum_{n\geq1}\sum_{k\geq1}\frac{z^{2k}}{k\,n^{2k}} = -\sum_{k\geq1}\frac{\zeta(2k)}k\,z^{2k} = -\zeta(2)\,z^2 + O(z^4)

se reordena por Fubini para series: $\sum_{n,k} \frac{r^{2k}}{kn^{2k}} \leq \sum_k\zeta(2k)r^{2k} \leq \zeta(2)\frac{r^2}{1-r^2} < \infty$ . Por tanto,

P(z) = z\,\exp\bigl(-\zeta(2)z^2 + O(z^4)\bigr) = z - \zeta(2)\,z^3 + O(z^5) ,

y la pregunta 13 compara esto con $\sin(\pi z) = \pi z - \frac{\pi^3}6z^3 + O(z^5)$ : $\pi\zeta(2) = \frac{\pi^3}6$ , es decir, $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ . La cara aditiva (pregunta 10) y la cara multiplicativa calculan el mismo número.

16. En un compacto $K \subseteq \C\setminus\Z$ , las sumas parciales $S_N = \frac1z + \sum_{n\leq N}\bigl( \frac1{z-n} + \frac1{z+n}\bigr)$ (pregunta 9, con los términos reagrupados como $\frac{2z}{z^2-n^2} = \frac1{z-n} + \frac1{z+n}$ ) convergen uniformemente a $\pi\cot(\pi z)$ , de modo que el Teorema 16.15 da $S_N' \to (\pi\cot\pi z)' = -\pi^2/\sin^2(\pi z)$ uniformemente en $K$ . Como $S_N' = -\sum_{\abs n\leq N}(z - n)^{-2}$ :

\frac{\pi^2}{\sin^2(\pi z)} = \sum_{n\in\Z}\frac1{(z - n)^2} ,

con convergencia normal en los compactos de $\C\setminus\Z$ (términos $O(n^{-2})$ ).

17. En $z = \frac12$ , el miembro izquierdo vale $\pi^2$ ; en el derecho, $(\frac12 - n)^2 = \frac{(2n-1)^2}4$ con $2n - 1$ recorriendo exactamente una vez todos los enteros impares cuando $n$ recorre $\Z$ :

\pi^2 = \sum_{n\in\Z}\frac{4}{(2n-1)^2} = 8\sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2}, \qquad \sum_{m\geq0}\frac1{(2m+1)^2} = \frac{\pi^2}8 .

Separación por paridad: $\zeta(2) = \frac{\pi^2}8 + \sum_{n\geq1}\frac1{(2n)^2} = \frac{\pi^2}8 + \frac{\zeta(2)}4$ , de modo que $\frac34\zeta(2) = \frac{\pi^2}8$ y $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ una vez más.

18. Con $c = \cot\theta$ y $\cot(2\theta) = \frac{c^2-1}{2c}$ : $\cot\theta - 2\cot(2\theta) = c - \frac{c^2-1}c = \frac1c = \tan\theta$ . Por tanto, $\pi\tan(\pi z) = \pi\cot(\pi z) - 2\pi\cot(2\pi z)$ , y la pregunta 9 en $z$ y en $2z$ da

\pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2}, \qquad 2\pi\cot(2\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{8z}{4z^2 - n^2} .

Ambas series convergen absolutamente en cada $z$ fijo fuera de los polos, de modo que la diferencia puede reagruparse a voluntad: en la segunda serie, los términos pares $n = 2m$ dan $\frac{8z}{4z^2 - 4m^2} = \frac{2z}{z^2 - m^2}$ y cancelan por completo la primera serie, dejando

\pi\tan(\pi z) = -\sum_{m\geq0}\frac{8z}{4z^2 - (2m+1)^2} = \sum_{m\geq0}\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} ,

normalmente en los compactos que evitan $\frac12 + \Z$ (términos $O(m^{-2})$ ).

19. Para $\abs z \leq r < \frac12$ :

\frac{8z}{(2m+1)^2 - 4z^2} = \frac{8z}{(2m+1)^2} \sum_{k\geq0}\Bigl(\frac{4z^2}{(2m+1)^2}\Bigr)^{k},

con $\sum_{m,k}8r\,(4r^2)^k(2m+1)^{-2k-2} < \infty$ , ya que $4r^2 < 1$ : Fubini reordena la suma doble en

\pi\tan(\pi z) = \sum_{k\geq0}8\cdot4^k\,\lambda(2k+2)\,z^{2k+1} .

Frente a $\pi\tan(\pi z) = \pi^2z + \frac{\pi^4}3z^3 + O(z^5)$ : el coeficiente de $z$ da $8\lambda(2) = \pi^2$ — la pregunta 17 de nuevo — y el de $z^3$ da $32\lambda(4) = \frac{\pi^4}3$ , es decir, $\lambda(4) = \frac{\pi^4}{96}$ . Quitando los denominadores pares, $\lambda(4) = \zeta(4) - 2^{-4}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)$ : $\zeta(4) = \frac{16}{15}\cdot \frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ , en consonancia con la pregunta 7.

20. $\cot\frac\theta2 - \cot\theta = \frac{\cos\frac\theta2\,\sin\theta - \cos\theta\,\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac{\sin\frac\theta2}{\sin\frac\theta2\,\sin\theta} = \frac1{\sin\theta}$ , siendo el numerador $\sin(\theta - \frac\theta2)$ . Con $\theta = \pi z$ , la pregunta 9 en $\frac z2$ se lee $\pi\cot\frac{\pi z}2 = \frac2z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2}$ , de modo que

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \pi\cot\frac{\pi z}2 - \pi\cot(\pi z) = \frac1z + \sum_{n\geq1}\frac{4z}{z^2 - 4n^2} - \sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2 - n^2} .

La convergencia absoluta permite reagrupar por paridad: los $n = 2m$ pares de la serie sustraída aportan $\frac{2z}{z^2-4m^2}$ , dejando $+\frac{2z}{z^2-4m^2}$ de la primera suma, mientras que los $n$ impares sobreviven con signo $-$ :

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + \sum_{n\geq1}(-1)^n\,\frac{2z}{z^2 - n^2} .

Comprobación de signos: $\operatorname{Res}\bigl(\pi/\sin(\pi z), n\bigr) = \pi/(\pi\cos\pi n) = (-1)^n$ (el Método 17.6), y $(-1)^n\frac{2z}{z^2 - n^2} = \frac{(-1)^n}{z-n} + \frac{(-1)^n}{z+n}$ lleva exactamente ese residuo en $\pm n$ .

21. Para $\abs z \leq r < 1$ , desarrollando cada término como en la pregunta 19 ( $(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2} = (-1)^{n-1}\frac{2z}{n^2}\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ ) y aplicando Fubini:

\frac{\pi}{\sin(\pi z)} = \frac1z + 2\sum_{k\geq0}\eta(2k+2)\,z^{2k+1}, \qquad \eta(s) = \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^s} .

Lado de Taylor: $\sin(\pi z) = \pi z(1 - \frac{(\pi z)^2}6 + O(z^4))$ da $\frac\pi{\sin\pi z} = \frac1z + \frac{\pi^2}6z + O(z^3)$ : $2\eta(2) = \frac{\pi^2}6$ , de modo que $\eta(2) = \frac{\pi^2}{12}$ . Consistencia: $\eta(2) = \zeta(2) - 2\sum_n(2n)^{-2} = (1 - 2^{1-2})\zeta(2) = \frac{\zeta(2)}2 = \frac{\pi^2}{12}$ .

22. En $z = \frac12$ , la pregunta 20 da

\pi = 2 + \sum_{n\geq1}(-1)^n\frac{1}{\frac14 - n^2} = 2 + 4\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)} .

Con $\frac1{(2n-1)(2n+1)} = \frac12\bigl(\frac1{2n-1} - \frac1{2n+1}\bigr)$ , y siendo convergentes ambas series alternadas (criterio de Leibniz), la suma se parte como $\frac12\bigl[L - (1 - L)\bigr] = L - \frac12$ , donde $L = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$ y $\frac13 - \frac15 + \frac17 - \cdots = 1 - L$ . Por tanto, $\pi = 2 + 4(L - \frac12) = 4L$ :

\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots

La moraleja: cada núcleo es meromorfo con polos en una progresión aritmética y residuos prescritos. La cotangente pone residuo $1$ en todo entero y suma $f(n)$ ; su derivada eleva al cuadrado los polos y pone precio a $\lambda(2)$ ; la tangente traslada los polos a $\frac12 + \Z$ y pone precio a los denominadores impares; $\pi/\sin$ conserva los polos enteros pero alterna los residuos $(-1)^n$ , de ahí las series alternadas. Los núcleos de primer orden son todos funciones impares: emparejar $n$ con $-n$ duplica los coeficientes de potencias pares y aniquila los impares, de modo que $\zeta(2k)$ brota mecánicamente mientras que $\zeta(3)$ no aparece jamás. La ceguera es de paridad, no falta de técnica.

23. Con $w = 2\iu\pi z$ :

\iu\pi z + \frac{2\iu\pi z}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{2\iu\pi z} + 1}{\eu^{2\iu\pi z} - 1} = \iu\pi z\,\frac{\eu^{\iu\pi z} + \eu^{-\iu\pi z}}{\eu^{\iu\pi z} - \eu^{-\iu\pi z}} = \pi z\,\frac{\cos\pi z}{\sin\pi z} = \pi z\cot(\pi z) .

Por tanto, usando la función generatriz en $w = 2\iu\pi z$ (y cancelando $B_1 = -\frac12$ el término $\iu\pi z$ , pues los $B$ impares se anulan más allá):

\pi z\cot(\pi z) = \sum_{k\geq0}\frac{B_{2k}}{(2k)!} (2\iu\pi z)^{2k} = 1 + \sum_{k\geq1}(-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!} z^{2k} .

Por otra parte, el desarrollo en fracciones simples (Parte IV) da $\pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (desarróllese cada $\frac{2z^2}{z^2 - n^2} = -2\sum_k\frac{z^{2k}}{n^{2k}}$ y súmese sobre $n$ ; la convergencia normal justifica el intercambio para $\abs z < 1$ ). Comparando coeficientes: $-2\zeta(2k) = (-1)^k\frac{(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}$ , la fórmula enunciada.

24. $k = 1$ : $\frac{(2\pi)^2}{2\cdot2}\cdot\frac16 = \frac{\pi^2}6$ . $k = 2$ : $-\frac{(2\pi)^4}{2\cdot24} \cdot\bigl(-\frac1{30}\bigr) = \frac{16\pi^4}{48\cdot30} = \frac{\pi^4}{90}$ . $k = 3$ : $\frac{(2\pi)^6}{2\cdot720} \cdot\frac1{42} = \frac{64\pi^6}{1440\cdot42} = \frac{\pi^6}{945}$ .

25. Escríbase $C(z) = \pi z\cot(\pi z) = 1 - 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k}$ (pregunta 23). Derivación directa de $C = \pi z\cot(\pi z)$ , usando $(\cot u)' = -1 - \cot^2u$ :

zC'(z) = \pi z\cot(\pi z) - \pi^2z^2\bigl(1 + \cot^2(\pi z)\bigr) = C - \pi^2z^2 - C^2 .

Desarróllense ahora ambos miembros en potencias de $z^2$ . Miembro izquierdo: $\sum_k(-4k)\,\zeta(2k)\,z^{2k}$ . Miembro derecho: elevando al cuadrado la serie,

C - C^2 = 2\sum_{k\geq1}\zeta(2k)z^{2k} - 4\sum_{k\geq2}\Bigl(\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j) \zeta(2k-2j)\Bigr)z^{2k},

y el término $-\pi^2z^2 = -6\zeta(2)z^2$ solo ajusta $k = 1$ . Comparando los coeficientes de $z^{2k}$ para $k \geq 2$ :

-4k\,\zeta(2k) = 2\,\zeta(2k) - 4\sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\,\zeta(2k-2j),

es decir, $\bigl(k + \frac12\bigr)\zeta(2k) = \sum_{j=1}^{k-1}\zeta(2j)\zeta(2k-2j)$ . (En $k = 1$ la identidad se lee $-4\zeta(2) = 2\zeta(2) - 6\zeta(2)$ : una comprobación de consistencia, no información nueva.) Aplicaciones: $k = 2$ : $\frac52\zeta(4) = \zeta(2)^2 = \frac{\pi^4}{36}$ , luego $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$ ; $k = 3$ : $\frac72\zeta(6) = 2\zeta(2)\zeta(4) = \frac{\pi^6}{270}$ , luego $\zeta(6) = \frac{2}{7}\cdot\frac{\pi^6}{270} = \frac{\pi^6}{945}$ . Una sola semilla trascendente ( $\zeta(2) = \frac{\pi^2}6$ ) y el álgebra pura genera todos los valores pares de zeta.

Términos definidos en este capítulo

residuo

Ver los 395 términos del glosario

17.1 El teorema global de Cauchy

17.2 Series de Laurent y singularidades aisladas

17.3 El teorema de los residuos

17.4 El principio del argumento y el teorema de Rouché

17.5 Ejercicios

17.6 Problema: ζ(2k)\zeta(2k)ζ(2k) mediante la cotangente

Términos definidos en este capítulo

17.6 Problema: $\zeta(2k)$ mediante la cotangente